精品解析：广东省东莞市常平中学等三校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

2023-2024学年度第二学期期中三校联考 高一数学 命题人：东莞市常平中学 陈洪波 审题人：东莞市常平中学 陈财丰 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 第Ⅰ卷（非选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则的虚部为（ ） A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i 【答案】B 【解析】 【分析】由复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意复数，则的虚部为-4. 故选：B. 2. 在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则判断即可. 【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形. 故选：A 3. 菱形的边长为2，且，（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积计算公式可得. 【详解】菱形的边长为2，且，的夹角为，. 故选：C. 4. 在△ABC中， 角 A， B， C所对的边分别为a， b， c， 则角C为（ ） A. 15° B. 45° C. 15°或105° D. 45°或135° 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理直接求解. 【详解】由正弦定理可得，，即， 所以， 由知，又， 或. 故选：D 5. 已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图为圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高． 【详解】设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径，侧面展开图的圆心角为， ，可得母线长， 圆锥的高． 故选：B 6. 已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，则下面命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据线、面的位置关系判断各选项即可. 【详解】对于A，由，，根据面面平行的传递性，可得，故A正确； 对于B，由，，则可能平行，也可能相交，故B错误； 对于C，由，，则可能平行、相交、异面，故C错误； 对于D，由，，则或，故D错误. 故选：A. 7. 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，选取相距40m的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，则A，B间的距离为 A. m B. m C. m D. m 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，首先由正弦定理求得AD的长度，然后利用余弦定理求解AB的长度即可. 【详解】由题知，即，在中，. 在中，，所以， 由正弦定理得，所以. 在中，， 由余弦定理得. 所以,故选D． 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 8. 点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（ ） A. 重心、外心、内心、垂心 B. 外心、重心、内心、垂心 C. 重心、垂心、外心、内心 D. 外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【解析】 【分析】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【详解】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示： 易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图： 由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，为复数z的共轭复数，，.则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合复数模、共轭复数及复数的运算法则逐项计算判断. 【详解】对于A，，， 所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，都是虚数，不能比较大小，故C错误； 对于D，， 故D正确. 故选：ABD. 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是 C. 若，则 D. 若，则在方向上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量的夹角、投影向量及向量共线的坐标运算求解即可． 【详解】若，则，即，A选项正确； 若， 结合A可知此时，且夹角为180°，B选项错误； 因为，所以， 由于， 所以，解得， C选项结论错误. 若，，则向量在上的投影向量为，D选项正确； 故选：AD 11. 如图，空间四边形中，分别是边，的中点，分别在线段上，且满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是梯形 C. 当时，四边形是空间四边形 D. 当时，直线相交于一点 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角形的中位线和相似比结合平行四边形和梯形的判定判断AB，利用异面直线的概念判断C，假设直线相交于一点，利用线面平行的性质定理判断D. 【详解】选项A：在中，因为分别是边，的中点，所以且， 当时，分别为中点，所以在中可得且， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 又分别为中点，所以，又， 当时有，平行四边形为矩形， 所以四边形不一定是矩形，A错误； 选项B：当时，，所以，且， 则由A可知且，所以四边形是梯形，B正确； 选项C：当时，不平行于，又因为平面，平面， 所以是异面直线，四边形是空间四边形，C正确； 选项D：不妨设直线相交于一点， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为直线相交于点，所以平面， 因为平面平面，所以， 所以可得，矛盾，D错误； 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数对应的点到原点的距离是，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义和两点间距离公式求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以即，解得， 故答案为： 13. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，四边形是正方形，这个八面体的表面积为，则正方形的边长是_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据多面体表面积求法计算可得结果. 【详解】设正方形的边长为， 则这个八面体的表面中所有的正三角形边长均为， 所以其表面积为，解得. 故答案为：2 14. 若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用数量积公式求出，再求出，最后代入向量的夹角公式得解. 【详解】是夹角为的两个单位向量，则， ， ， ，， ，. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19各17分，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 求当为何实数时，复数满足： （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）位于第四象限． 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）令虚部为0即可求解； （2）令实部为0，且保证虚部不为0； （3）根据复数的几何意义，令实部为正，虚部为负进行求解. 【详解】（1）由得或 ∴当或时，复数为实数； （2）由，得； ∴当时，复数为纯虚数； （3）由，解得 ∴当时，复数位于第四象限． 【点睛】复数的分类、复数的几何意义要注意实部、虚部的符号，尤其是纯虚数，往往忽视虚部不为0. 16. 已知：，，向量与的夹角为． （1）求； （2）求； （3）若与垂直，求实数m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义求解即可； （2）由，再将代入即可得答案； （3）由，结合模长和数量积的计算公式，即可得出答案. 【小问1详解】 因为，，向量与的夹角为 所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 若与垂直， 则， 即，解得：. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而得解； （2）由余弦定理求得，再利用三角形面积公式即可得解． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，又， ，即，由，得. 【小问2详解】 由余弦定理知， 即，则，解得（负值舍去）， . 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F． （1）求证：平面； （2）求证：F为的中点； 【答案】（1） 证明：如图所示： 连接AC交BD于点G，连接GE， 因为ABCD为平行四边形， 所以G为AC的中点，又E为PC的中点， 所以，又平面BDE，平面BDE， 所以平面； （2） 因为底面为平行四边形， 所以， 又 平面ABEF， 平面ABEF， 所以 平面ABEF，又平面平面， 所以， 又因为E 为PC的中点， 所以F为的中点. 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于点G，连接GE，根据ABCD为平行四边形，得到G为AC的中点，再由E为PC的中点，得到，再利用线面平行的判定定理证明； （2）先由，利用线面平行的判定定理得到 平面ABEF，再利用线面平行的性质定理得到求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为BC的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N． （1）用，表示； （2）若，，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得出，然后即可得出答案； （2）先根据已知结合（1）的结论得出，然后根据三点共线得出，即可得出答案； （3）先用得出，然后根据数量积的运算律可推得.根据（2）的结论可得出，，，换元，可得出.然后根据对勾函数的单调性可得出，根据二次函数的性质，即可得出答案. 【小问1详解】 因为D为BC中点， 所以，. 又因为， 所以. 【小问2详解】 若，， 所以，， 所以. 因为M，O，N三点共线， 所以， 所以，. 【小问3详解】 因为，，， 所以， . 由（2）得，得，， 令，，则， 得. 根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以， 所以，. 因为， 所以，根据二次函数的性质可知， 所以的取值范围为. 【点睛】思路点睛：用基底表示出向量，根据向量数量积的运算律得出的表达式，然后根据的关系化简，进而根据基本不等式以及二次函数的性质，即可得出答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期中三校联考 高一数学 命题人：东莞市常平中学 陈洪波 审题人：东莞市常平中学 陈财丰 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 第Ⅰ卷（非选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则的虚部为（ ） A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i 2. 在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 3. 菱形的边长为2，且，（ ） A. B. C. 2 D. 4. 在△ABC中， 角 A， B， C所对的边分别为a， b， c， 则角C为（ ） A. 15° B. 45° C. 15°或105° D. 45°或135° 5. 已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图为圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 3 6. 已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，则下面命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，选取相距40m的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，则A，B间的距离为 A. m B. m C. m D. m 8. 点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（ ） A. 重心、外心、内心、垂心 B. 外心、重心、内心、垂心 C. 重心、垂心、外心、内心 D. 外心、重心、垂心、内心 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，为复数z的共轭复数，，.则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是 C. 若，则 D. 若，则在方向上的投影向量为 11. 如图，空间四边形中，分别是边，的中点，分别在线段上，且满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是梯形 C. 当时，四边形是空间四边形 D. 当时，直线相交于一点 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数对应的点到原点的距离是，则实数___________． 13. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，四边形是正方形，这个八面体的表面积为，则正方形的边长是_______. 14. 若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为________． 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19各17分，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 求当为何实数时，复数满足： （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）位于第四象限． 16. 已知：，，向量与的夹角为． （1）求； （2）求； （3）若与垂直，求实数m的值． 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A； （2）若，求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F． （1）求证：平面； （2）求证：F为的中点； 19. 如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为BC的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N． （1）用，表示； （2）若，，求的值； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $