精品解析：海南省白沙黎族自治县白沙中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期 高二年级期中考试数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 设在处可导，且，则等于（ ） A. 6 B. C. D. 2 3. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 4. 二项式的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 5. 是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 6. 某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每人只报一项，每项最多有1人，则这 3名学生的参赛的不同方法有（   ） A. 24种 B. 48种 C. 64种 D. 81种 7. 已知随机变量，则概率最大时，的取值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知随机变量，若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为，则（ ） A. 服从二项分布 B. 的值最小为1 C. D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. ，则 B. ，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 11. 已知某批产品的质量指标服从正态分布，且，现从该批产品中随机取3件，用表示这3件产品的质量指标值位于区间的产品件数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 13. 若随机变量，则__________，__________. 14. 已知，则：被除的余数是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 16. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 17. 设函数 （1）讨论的单调性； （2）求在区间的最大值和最小值． 18. 口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球 （1）正好是白球､红球各一个的取法有多少种？ （2）至少有一个白球的取法有多少种？ （3）两球的颜色相同的取法有多少种？ 注：结果均用数字作答． 19. 某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. （1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. （2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. （3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期 高二年级期中考试数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导后，代入即可构造方程求得结果. 【详解】，，解得：. 故选：B. 2. 设在处可导，且，则等于（ ） A. 6 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求值. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 3. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】C 【解析】 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 4. 二项式的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式定理的通项公式列方程，求出，求出项的系数即可． 【详解】由二项式定理的通项公式得：， 令，解得：，所以的系数为：， 故选：B． 5. 是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可. 【详解】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，只有选项C符合， 故选：C 6. 某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每人只报一项，每项最多有1人，则这 3名学生的参赛的不同方法有（   ） A. 24种 B. 48种 C. 64种 D. 81种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】由于每班每项限报1人，故当前面的学生报了某项之后，后面的学生不能再报， 由分步乘法计数原理，共有种不同的参赛方法； 故选：A 7. 已知随机变量，则概率最大时，的取值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的随机变量取值的概率公式建立不等关系，可得最大值时的． 【详解】依题意， 由， 即，解得或. 故选：C. 8. 已知随机变量，若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由随机变量的期望和方差公式解方程组计算即可. 【详解】因为，， 所以， 即，所以， 所以． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为，则（ ） A. 服从二项分布 B. 的值最小为1 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】随机变量服从超几何分布进而否定选项A；求得随机变量的最小值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D. 【详解】依题意知随机变量服从参数为6，4，3的超几何分布，故A错误； 的所有可能取值为1，2，3，所以的值最小为1，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 10. 下列命题正确的有（ ） A. ，则 B. ，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式和求导的四则运算逐一判断即可. 【详解】对于A项，，则，故A项正确； 对于B项，，故B项错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为，故，故D正确. 故选：AD. 11. 已知某批产品的质量指标服从正态分布，且，现从该批产品中随机取3件，用表示这3件产品的质量指标值位于区间的产品件数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性、概率公式，结合二项分布的公式，可得答案. 【详解】由正态分布的概念可知，故A正确； 由正态分布的性质得，故B错误； 则1件产品的质量指标值位于区间的概率为 所以，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 【答案】##0.525 【解析】 【分析】根据题意，利用条件概率的计算公式，求得，结合，即可求解. 【详解】由， 可得，所以 因为，所以. 故答案为：. 13. 若随机变量，则__________，__________. 【答案】 ①. 3 ②. 18.9 【解析】 【分析】先根据二项分布的性质求出和，再根据期望和方差的性质可求得结果. 【详解】因为，所以，， 所以，. 故答案为：；. 14. 已知，则：被除的余数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】令得，令得，即得，由，利用二项式定理展开即可求解. 【详解】因为， 所以令时，， 令时，， 所以， 又， 所以除以的余数是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 16. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 .【解析】 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【小问1详解】 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 【小问2详解】 依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 17. 设函数 （1）讨论的单调性； （2）求在区间的最大值和最小值． 【答案】（1）函数在上单调递增；在上单调递减； （2）在区间上的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式求出函数的单调递增区间，解不等式求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又. 令，解得或；令，解得. 所以函数在上单调递增；在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增. 所以当时，函数取得最小值， 又，， 而， 所以当时，函数取得最大值为：. 即在区间上的最大值为，最小值为. 18. 口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球 （1）正好是白球､红球各一个的取法有多少种？ （2）至少有一个白球的取法有多少种？ （3）两球的颜色相同的取法有多少种？ 注：结果均用数字作答． 【答案】（1）80 （2）108 （3）73 【解析】 【分析】（1）由分步乘法即可得解； （2）分为白球、红球各一个和两个全是白球，结合分类加法即可得解； （3）分为两球全是白球和两球全是红球，结合分类加法即可得解. 【小问1详解】 取出1个白球，有8种取法；取出1个红球，有10种取法， 所以取出两个球正好是白球、红球各一个的取法有种． 【小问2详解】 至少有一个白球分为白球、红球各一个和两个全是白球， 取出的两个球全是白球的取法有种， 所以至少有一个白球共有种取法． 【小问3详解】 两球的颜色相同分为两球全是白球和两球全是红球， 取出的两个球全是红球的取法有种， 所以两球的颜色相同的取法有种． 19. 某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. （1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. （2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. （3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由. 【答案】（1） 0 1 2 ，数学期望： （2） 0 1 2 ，数学期望： （3） 因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小， 即，第（1）不中奖的概率比第问小，即， 回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽. 回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可； （2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可； （3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可. 【小问1详解】 若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为， 因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即， 所以的所有可能取值为，则 ， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问2详解】 若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $