四川省泸州市多校2025-2026学年高二下学期期末联合考试数学试题

**基本信息** 立足高二数学核心内容，以巴黎奥运会志愿者服务等真实情境为载体，通过分层设计考查数学抽象、逻辑推理与数学建模等素养，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|直线截距、抛物线焦点、等差数列等|基础概念辨析，如第3题结合等差与等比数列性质| |多项选择|3/18|双曲线性质、数列递推、函数零点等|多维度能力考查，如第11题综合函数零点与极值点| |填空|3/15|排列组合、函数单调性、几何体体积等|空间想象与运算能力，如第14题翻折后外接球表面积| |解答|5/77|数列通项与求和、概率分布列、立体几何证明、椭圆综合、函数导数应用|情境化与综合性强，如第16题以奥运志愿者为背景考条件概率与分布列，第19题分层考查函数单调性、最值及恒成立问题|

四川省泸州市多校联考2025一2026学年下学期期末联合考试 高二年级数学试题参考答案 一、选择题：本大题共11个小题，第1~8题每小题5分，第9~11题每小题6分，共58分。 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 11 答案 D A A D C D BC AD BCD 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.54 13.a>1 14.39元 三、解答题：本大题共5个小题，共77分。 15.(本小题满分13分) 解：(1)因为数列{4}是等差数列，且满足a=3,4+a4+a6=21, 所以☑2十44十a6=3☑4=21，…（1分) 解得：4=7，… …（2分) 所以公差d=2,则a=3+(n-2)×2=2n-1, (4分) 又因为当n=1时，b1=S1=2-b,… 。。。。 (5分) 解得b=1;… …(6分) 因为Sn+bn=2,即Sn=2-bn①， 所以当n≥2时，S-1=2-bn-1②，…(7分) 由①-②得：b,=-b,+b1,即L=}(n≥2)， …(8分) bm-12 所以数列{b,}是首项为1，公比为号的等比数列，故b, …（9分） 1 (2)由(1)得：cn=4+bn=2n-1+ …（11分) 所以数列{c,}的前n项和T,=n+21- -(2 …（13分) 2 高二下·数学试题参考答案第1页共6页 16.(本小题满分15分) 解：(1)设“汤姆选择中有200米服务”为事件A;“汤姆选择中有1500米服务”为事件B,…（1分) 则P(A=忌2 C 1 …(3分) C4_1 P(AB)C 5 (5分) 1 所以P(B|A)= P(AB)52 P(A)15 …（7分) 2 （2)X的取值可能为：0,1,2,3；…(8分) 且P(X=0)= CC2 1 (9分) Ci。6 P(x=1)=cC-1 C。2 …(10分) P(X=2)-C010 =C%C4-3 (11分) P(X=3)= cc2-1 C。30 (12分) 所以X的分布列为： F 0 2 3 1 J 1 6 10 30 ……(13分) 所以E(X)=0×2+1×+2×3+3×1=6 1 3 …(15分) 6210 305 17.(本小题满分15分) 解：（1)连接AB,AC1, 因为点2为线段AB的中点，四边形ABBA为矩形， 所以A,Q,B三点共线，则点Q为AB,的中点；…(1分) 因为点P,Q分别为BC和AB的中点， 高二下·数学试题参考答案第2页共6页 所以Pg∥AC;… …（2分) 在直三棱柱ABC-AB,C1中，AC⊥BC, 所以BC⊥平面ACCA, (3分) 又因为AC1C平面ACCA,所以BC⊥AC: (4分) 又因为AC=A4,所以四边形ACCA为正方形， 所以AC⊥AC;… …(5分) 所以A4C∩BC=C, 所以AC⊥平面ABC;… (6分) 因为PQ∥AC1, 所以PQ1平面ABC.…（7分) (2)以C为原点，分别以CA,CB,CC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，·(8分) 则B(0,2,0),B(0,2,2),A(2,0,2),P(0,1,2),…(9分) 设2(x,y,), 设B0=BA,所以(xy-2,)=(2,-2,2), x=22 即 y=2-21,所以2(22,2-22,22)；…(10分) z=2入 设平面APB的一个法向量为=(：，y,三)， BP=(0,-1,2),PA=(2,-1,0),… …(11分) 8 「-y+2z1=0 由 24-片=0，令为=2，得：%=2.1，…(12分） 又因为B,Q=(22,-22,21-2): 设B2与平面ABP所成角为0， 由题意得：sin0=os(,Be列 高二下·数学试题参考答案第3页共6页 2元-41+21-2 1 3 …（13分) √6×V2)2+（-2)2+(21-2)2√6V322-2元+1 求得：入=1或 1 …（4分) 26 蔽当B0A或8QBA时，2Q与平面4BP所成角的正弦值为B 1 …（15分) 6 18.（本小题满分17分) 解：(1)由己知得： (x-2列+y25 …(1分) x-2W2 化简得： 2-V2)2+2y2=(k-2W2)2, (2分) 所以xy=1, 4+2 …(3分) 即点D的轨迹方程为：+1.一 …(4分) (2)若直线MN,PQ其中一个斜率不存在， 则易知： 1 1-111,13 …(5分) w'Pg4F216816 若直线N,PO斜率均存在， 设直线N的方程为：y=k,M(5,), (r 联立4+2=1，整理得：(2+1)=4，解得：s= 2k2+1 …(6分) y=kx 同理，设直线PO的方程为：y三x,P(5y), x+y=1 联立42 k2+2 2 ,整理得： …(7分) 1 R x=4,解得：= Vk2+2 y--Ex 所o-om=小4 21+k2 …(8分) Vk2+2 由椭圆的对称性知：N=2O4=2, 网-am- ,…（9分) 所以 11-1+2k2k2+23(2+1)3 MNPO161+2)161+k2)161+k2)16 …(10分) 高二下·数学试题参考答案第4页共6页 综上所述·+P四为定值，且定值为G 1 1 …（11分) 16 (3)由(2)知若直线MN,PQ斜率均存在， lOM]- W1+k2 2k2+1 lOP=+ Vk2+2 a=lOMIO-x2+E×2+e 20+k2) …(12分) 2V2k2+1Vk2+2V2k2+1k2+2 则S2MoP= 40+k2 4k4+8k2+4 2k2+1k2+22k4+5k2+2 令t=k2∈(0，+m),则S2Mop= _4t2+8t+4 …(13分) 2t2+5t+2 令p0-营号e®四 4+8+42(2r+50+2-2L-2 f0-27+5+22r+5t+2 27+50+22-2 2t 2+5+2…(14分） 因为45>22到子+5=9，当议当2子11时今号成立15分) 2-2≤-2 20 2+5+29,9+5 t t 50=2? 2t+5+ 所以9s线we<2.即音≤S%wgp5.…《16分) 3 若直线MN,PO其中一个斜率不存在，S△Mop GloMlo-x2x 综上所述，△MOP的面积的取值范围 …（17分） 3 19.(本小题满分17分) 解：(1)由题可知∫'(x)=+a,…（1分) 当a≥0时，∫'(x)>0,函数f(x)在R上单调递增；…(2分) 当a<0时，若x<h(-a),f'(x)<0,若x>n(-a),f'(x)>0,…(3分) 所以函数∫(x)在(-o∞，h(-a)上单调递减，在(h(-a),+∞）上单调递增.…(4分) (2)当a=1时，h(x)=e-n(x+1),x>-1, 高二下·数学试题参考答案第5页共6页 (x)=e-1 x+1 …（5分) 因为当x>-1时，y=和y=-1单调递增，所以函数h(d)单调递增，…(6分) x+1 又h(0)=0,所以当x∈(-1,0)时，h(x)<0,函数h(x)在(-1,0)上单调递减，…(7分) 当x∈(0，+o)时，h(x)>0,函数h(x)在(0，+o∞)上单调递增，…(8分) 所以函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值为h(0)=1.… …(9分) (3)当a=0时，不等式y(x)≥g(x)+x+1恒成立， 即e之血x+m+1对任意>0恒成立，即m≤e_r-上对任意>0恒成立，…(10分) 设r()=e血x_1，xe0,+n), P-c1-eh …(11分) x2 G(x)=xe*+lnx,xE(0,+c), G(x)=2xe+x'e+1>0, 所以G(X)在(0，十0)上单调递增；…(12分) c0=e0,c个目- +n=ee-1<e0-1=0, 由零点存在定理，存在（月 使得G(6)=0,即xeo+nx=0,…(13分) 所以当x∈(0，)时，G(x)<0,F'()<0,当x∈(，+∞)时，G(x)>0,F(x)>0, 即F(x)在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增， 所以F(9mn=F()=e-n6-1 …(14分） 因为xe0=-ln,所以e=-血=1n1=lnLe 1 in 。。。。。。。。。。 (15分) 令s(x)=xe,xe(0,+o),(x)=(x+1)e>0,即s(x)在(0，+w)上单调递增， 所以5n号，即飞=h5, 所拟60二1所以060--=。正1，…（16分 名 所以m≤1，即实数的取值范围为(-0，].… …（17分) 高二下·数学试题参考答案第6页共6页四川省泸州市多校联考2025一2026学年下学期期末联合考试 高二年级数学试题 数学试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至4页。 试卷满分150分，考试时间共120分钟。 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、班级、准考证号准确填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3.填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔 绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.直线x-2型=2在y轴上的截距为() 3 B.3 c D.-3 3 2。已知抛物线方程为x三y,则它的焦点是C) A.1,0) B.0,1) c. D.oG 3.若等差数列{a}的公差不为0，a4=10,且4,4，a6成公比为q的等比数列，则q=() A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知向量AB=1,a,-2),AC=（-3,6,6),若A,B,C三点共线，则a=() A.-2 B.2 C.±2 D.1 3 的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中x2的系数是() A.32 B.64 C.80 D.160 6.设圆C:x2+y2+2x+2y+1=0(a∈R),直线：x-y+1=0,直线1与圆C相交所得到的弦长为2， 则圆C的半径为() A.3 B.2 C.1+√5 D.√ 高二下·数学试题第1页共4页 7.己知随机变量X的分布如图：若E(x)=0,则D(2x+5)=() a B.7 X -2 0 1 C.28 P 3 D.22 6 8. 现有编号分别为A(i=1,2,3)的三个盒子，其中A盒中共20个小球，其中红球6个，A,盒中共20 个小球，其中红球5个，4盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件A: “该球为红球”，事件B,:“该球出自编号为A（i=1,2,3)的盒中”，则下列说法正确的是() A4B）动 B.w:号 c医9 D.若从所有红球中随机抽一个，则该球来自A盒的概率最小 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 ，已知双唐线心号5=1(a>0)的左右两个共点分别是5,5：生范列8，则() A.a=4 B.双曲线C的离心率为2 C.双曲线C的渐近线方程为√3x±y=0 D.若M是双曲线C上一点，且M=5,则△FM的周长为22或14 10.己知数列{a}满足4+2a+…+2”-4=n.2”,数列{a}的前n项和为n,则() A.4=6 B.数列{a}是等比数列 C.S4,S,S2构成等差数列 1 D.数列{一 a·a+1 的前2025项和为2025 4054 11.已知函数f(x)=4x3-6x2+(2-)x,则下列结论正确的是() A.当a=2时，则f(x)有三个零点 B.当a=2且x∈(0,1)时，f(sinx)<f(sin2x) C.Vx∈R,fx)+f1-x)=-a D.若f()存在极值点x1,x3和对称中心(，)(x1<x<x2),且f(4)=f(),f(3)=f(x), 其中x4≠x1,x3≠x2,则x4-3,x2-x1,x0-出1成等比数列 高二下·数学试题第2页共4页 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 注意事项： (1)非选择题的答案必须使用05毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后， 再用05毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。 (2)本部分共8个小题，共92分。 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.从1,2,3,4,5,6六个数中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的 三位数的个数为 (用具体数字作答)· 13.己知函数f(x)=(x-alnx在区间[1,2]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 14.已知DE是边长为6的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿直线DE翻折至△ADE,则当三棱锥 A-CED的体积最大时，四棱锥A-BCDE外接球O的表面积为 四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 己知数列{a}是等差数列，且满足4=3，a2+a4+a6=21,数列bn}的前n项和为S,且Sn+b=2. (1)求数列{4}及数列{bn}的通项公式： (2)若cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn· 16.(本小题满分15分) 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行， 以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志 愿者可服务多个项目.8月7日，100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育 场举行. (1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择 1500米服务的概率： (2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加 5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查，将其中参加800米服 务的人数记作X,求随机变量X的分布列和数学期望 高二下·数学试题第3页共4页 17.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，AC⊥BC,AC=BC=A4=2,点P为棱BC1的中点，点Q为线 段AB上的一动点. (1)求证：当点Q为线段AB的中点时，PQ⊥平面ABC； (2)当点Q位于线段AB的什么位置时，B2与平面ABP所成角的正弦 值为② ,请说明理由。 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴，离心率为e= 且椭圆C上一点到两焦点的距离之和为4. 2 (1)求椭圆C的方程： 1 (2)设N,PQ是椭圆C过原点O的两条弦，且MN⊥PQ,求证： 1一为定值： MN PO (3)在(2)的条件下，求△MOP的面积的取值范围. 19.(本小题满分17分) 己知函数f(x)=ex+ax,g(x)=ax+n(x+a. (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)当a=1时，求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值： (3)当a=0时，若不等式xf(x)≥g(x)+mx+1恒成立，求实数m的取值范围. 高二下·数学试题第4页共4页四川省泸州市多校联考2025一2026学年下学期期末联合考试 高二年级数学试题参考答案 一、选择题：本大题共11个小题，第1~8题每小题5分，第9~11题每小题6分，共58分。 题号 2 6 7 P 9 9 11 答案 D A C A D C D BC AD BCD 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.54 13.a>1 14.39π 三、解答题：本大题共5个小题，共77分。 15.(本小题满分13分) 解：(1)因为数列{an}是等差数列，且满足4，=3，a2+a4+a6=21, 所以a2+a4+a6=3a4=21 …………………………………………………（1 分) 解得：a4=7 …（2 分) 所以公差d=2,则am=3+(n-2x2=2n-1, …………………………………………(4 分) 又因为当n=1时，6=S=2-b, …(5 分) 解得：b=1,… ……（6 分) 因为Sm+bn=2,即Sn=2-b①， 所以当n≥2时，Sn-1=2-b1② 分) 高二下·数学试题参考答案第1页 共10页 b。-1 由①-②得：b=-b+b1,即b12(n≥2)，…（8 分) 1）- = 所以数列b}是首项为1，公比为2的等比数列，故” 2 ;……………………(9 分) G=a,+b.=2n-1+ (2)由(1)得： ………(1] 分) =a2-y1-r （2 2 所以数列{c}的前n项和 ……………………(13 分) 16.(本小题满分15分) 解：（1)设“汤姆选择中有200米服务”为事件A;“汤姆选择中有1500米服务”为事件B,…(1 分) C_1 则 …(3 分) C4-1 (AB=35…( 分) 1 P(AB)_5_2 所以P(B)=P④-5. …(7 2 分) (2)X的取值可能为：0,1,2,3；…(8 分) 高二下·数学试题参考答案第2页 共10页 且Px=0)-cC=1 6,9 ……(9 分) P(X=1)= cc-1 C。 2 …(10 分) P(X=2)= cci_3 C010,……( 分) P(x-3)-CCi_1 C030.… (12 分) 所以X的分布列为： 0 2 3 力 1 1 3 1 6 2 10 30 分) 所以E(X)=0×2+1x)+2x3+3x1-6 1 6 2 10 305· …(15 分) 17.(本小题满分15分) AB AC 解：(1)连接， AB ABBA 因为点兰为线段的中点，四边形 为矩形， 所以A,,B三点共线，则点为AB的中点；…(1 分) 高二下·数学试题参考答案第3页 共10页 因为点P,分别为BCB的中点 Q∥AC 所以 …(2 分) 在直三棱柱 tMBC-ABG中，AC L BC. ACCA 所以BC1平面 ，…(3 分) ACC平面4ACCA,所以 BC⊥AC 又因为平面 …(4 分) AC=AA ACCA 又因为 所以四边形 为正方形， AC⊥AC 所以 分) 所以AC∩BC=C AC⊥ABC 所以 一平面 ;………………(6 分) Q∥AC 因为 所以01平面4BC.(7 分) (②)以C为原点，分别C1,B,CC所在直线为轴，'辅。“销建立空同直角坐标系，…(8 分) 则B(0,20),B(02,2）.4(20,2)P0,12) …(9 C B 分) 设e(x) 高二下·数学试题参考答案第4页 B 共10页 设0=2B,所以ky-2)2,-2,2）, x=2元 y=2-21 即 2=2克，所以0(2,2-2元，22)(10分） 设平面4PB的一个法向量为%=(：，，)， BP=(0,-1,2）PA=(2,-1,0) ，…(1l 分) ∫n·BP=0 -y+2z1=0 由PA=0,得：2x-片=0，令y=2,得：=(1,2,1)，…(12 分) 又因为B0-(2,-22,21-2) BO 设与平面 ABP 所成角为， 由题意得：sinB=cos(,B, 22-41+21-2 1 √2 V6×V(22+(-222+(2元-2yV6V322-2+13，…(13 分) 11 求得：1=2或6， ……(]4 分) √2 故当 B8A0BA时，Bg与平面4P所成角的E孩值为3， 2或 分) 18.(本小题满分17分) x-可+y2迈 解：(1)由己知得： x-22 2,… 高二下·数学试题参考答案第5页 共10页 分) 化简得：20-2+2y2=(-25 分) + 所以4+2=1 ……(3 分) x2,y2 即点D的轨迹方程为：4+之= + …(4 分) (2)若直线MN,PO其中一个斜率不存在， 111,1113 则易知： MwPg"平+2i6816 …………………………(5 分) 若直线MN,PO斜率均存在， 设直线MN的方程为：y=c,M(,y) （x2+y=1 42 2 联立=，整理得：(2+1=4，解得：风=2欢1…(6 分) 同理，设直P0的方程为：少=，P化，)， +y-1 42 联立 1， 2k,…(7 y--kx 整理得：(+2x=4解得：k k2月 Vk2+2 分) o-ik-om- √k2+2,……(8 分) 高二下·数学试题参考答案第6页 共10页 由椭圆的对称性知： MN=20M=4W+ V2k2+1, IPol-2l0- √k2+2,…（9 分) 1 1.1+2k2k2+23(k2+1）3 所以MWPg16+k)161+k2)161+16…(10 分) 11 综上所述，MPg为定值，且定值为16.…(11 分) (3)由(2)知若直线MN,PQ斜率均存在， oM-2+g1om=21+ V2k2+1, Vk2+2, SAMOn -OMIO-x2+k 20+k2) 2 2V2k2+1Vk2+2V2k2+12+2 ………………………(12 分) 46+k2} 4k4+8k2+4 8wopx2+102+2)2k*+52+2; 则 412+8t+4 令t=k2∈0，+o）, S2MoP=2r2+5t+2, ……………(13 分) 4t2+8t+4 令f0=27+51+2,te(0,+切) f0=+4422r++2-2-2 2t 2r2+5t+22t2+5t+2 22+51+22214。 f;…(14 分) 天为2子452月5-9.当1取当2片.01-1时号发立. 2 高二下·数学试题参考答案第7页 共10页 分) 0<2 >22≤ 2 所以2t+5+ -9.9 20 2t+5+ t 16 所以9 f)=2-2 22 2t+5+ 所以9 ,即3 分) 若直线MN,P№其中一个斜率不存在， SAM0r=M-x2x 综上所述，△MOP的面积的取值范周V② (17 分) 19.(本小题满分17分) 解：(1)由题可知 f(x)=e"+a 分) 当a20时，)>0」 0,函数儿闪在R上单调递增；…(2 分) 当a<0时，若<n(a,f(k0,若>h(-a）f(>0 …(3 分) 所以函数f(四在，lh(←a》上单调递减，在（血(-a）+切)上单调递增.…《4 分) (2当a=l时，h)=e-h6r+l).x>-1 h(x)=e*- x+1, 分) 高二下·数学试题参考答案第8页 共10页 因为当-1时个y=心和y=一中单河选培，所以西数)单调适，…(6 分) 又0=0，所以当(10时，)0，函数刊在10)上单调递减，…(7 分) 当∈Q,四）时，)>0，质数在0+回)上单调道增，…8 ,函数 分) 所以函数=()8（的最小值为h0）=1.…（9 分) (3)当a=0时，不等式()2g()+mr+恒成立， 即xe≥nx+mr+1对任意r>0恒成立，即m≤e-nr- x对任意x>0恒成立，…(10 分) 设F(小e*-nr1 xx,xE(0,+o). +子e*+x F(x)=e*-1-lnx+1 x2x2 分) 令Ga=re+mr、xe(0,+o) Gy)=2xe+re+1>0, 所以G()在0+切)上单调递增： …（12 分) 由60=e0.c日---1e-10 白要点存在完瑰，东在 使得G()=0,即®+ln,=0,…(13 ， 分) 高二下·数学试题参考答案第9页 共10页 所以当eQ)时，G()k0,F)k0,当e(,w)时G(>0,F'国>0， 即F(在0，)上单调递减，在，+切)上单调递增， F(x)min=F(o)=e Int_1 所以 X0X0; …(14 分) neo=h6=ln1=nLen号 因为6e0=-l血0，所以0000，…（15 分) 令)=0，xe0,+四），（国=(+e>0.即在0+切）上单调递弹， 所以七=m x,即x。=-nx, e%=I )m=e--↓=1--1=1 所以，所以 X%X%X0X0X0,…（16 分) 所以m≤1，即实数m的取值范围为0，) 分) 高二下·数学试题参考答案第10 页共10页 四川省泸州市多校联考2025—2026学年下学期期末联合考试 高 二 年 级 数 学 试 题 数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至4页。试卷满分150分，考试时间共120分钟。 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、班级、准考证号准确填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3．填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1． 直线在y轴上的截距为（ ） A． B． C． D． 2． 已知抛物线方程为，则它的焦点是（ ） A． B． C． D． 3． 若等差数列的公差不为0，，且，，成公比为的等比数列，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4． 已知向量，，若，，三点共线，则（ ） A． B．2 C． D． 5． 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A．32 B．64 C．80 D．160 6． 设圆（），直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（ ） A．3 B．2 C． D． 7． 已知随机变量的分布如图：若，则（ ） 0 1 2 A． B．7 C． D．22 8． 现有编号分别为（）的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个．现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为（）的盒中”，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．若从所有红球中随机抽一个，则该球来自盒的概率最小 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． 已知双曲线（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（ ） A． B．双曲线的离心率为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 10．已知数列满足…，数列的前项和为，则（ ） A． B．数列是等比数列 C．，，构成等差数列 D．数列的前2025项和为 11．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．当时，则有三个零点 B．当且时， C．， D．若存在极值点，和对称中心（），且，，其中，，则，，成等比数列 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。 （2）本部分共8个小题，共92分。 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．从1，2，3，4，5，6六个数中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数的个数为__________（用具体数字作答）． 13．已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围为__________． 14．已知是边长为6的正三角形的一条中位线，将沿直线翻折至，则当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知数列是等差数列，且满足，，数列的前项和为，且． （1）求数列及数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16．（本小题满分15分） 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目．8月7日，100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场举行． （1）志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米服务的概率； （2）为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5000米服务，4名参加800米服务．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中参加800米服务的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望． 17．（本小题满分15分） 如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上的一动点． （1）求证：当点为线段的中点时，平面； （2）当点位于线段的什么位置时，与平面所成角的正弦值为，请说明理由． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为4． （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆过原点的两条弦，且，求证：为定值； （3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的最小值； （3）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． ( 高二下 · 数学试题 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $