精品解析：江苏扬州市江都区2024-2025学年高一第二学期期中测试数学试题

2024－2025学年度高一下学期数学期中测试 （试题满分150分，考试时间120分钟） 2025.04 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设点的坐标为，因为点，所以. 又因为，所以，解得，即点坐标为. 2. 已知，则＝（ ） A. 1 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用同角三角函数基本关系求出，再代入两角和的正切公式计算即可得到结果. 【详解】由及，得，所以， 所以. 3. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求出的值，再结合大边对大角的性质排除不符合条件的增解即可求解. 【详解】在中，根据正弦定理可得，  将，，代入，得， 由于，因此可能为或， 又因为，根据大边对大角的性质，可得， 已知，因此，故不符合条件，舍去， 综上，，故C正确. 4. 若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“函数在区间上有零点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】取，显然在区间上有零点，且零点为， 但，所以函数在区间上有零点推不出， 又由零点存在性定理知，若，函数在区间上的图象是一条不间断的曲线， 则函数在区间上有零点， 所以“函数在区间上有零点”是“”的必要不充分条件. 5. 已知向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用得出，再利用向量夹角公式即可. 【详解】， ， ， ， 又， 与的夹角为 故选： 6. 大运塔为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一，某同学为测量大运塔的高度，在大运塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部和大运塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则大运塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在中求出的长，再在中利用正弦定理求出的长，最后在中利用三角函数定义求出的长. 【详解】根据题意，在中，，，， 所以. 由题意可知，， 又，，且，，三点共线，所以. 在中，. 由正弦定理得， 即，解得. 在中，，， 所以. 因此大运塔的高度约为. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用两角和与差的正弦公式，结合已知条件即可求解. 【详解】 ，即 故选：D. 8. 如图，在中，为角的平分线，若，，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线定理得出与的比值，再结合正弦定理和倍角公式即可求得. 【详解】因为为角的平分线，所以， 又因为，所以，不妨设， 在中，， 又，所以，即， 因为在中，，所以，所以. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由三角恒等变换公式逐一判断即可. 【详解】对于A，因为 ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D正确. 10. 对于平面向量、、，下列选项正确的是（ ） A. 若非零向量、满足，则 B. 若为平面的一组基底，则也是平面的一组基底 C. 若，且，则 D. 非零向量、，则向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项；利用平面向量基底的概念可判断B选项；利用平面向量垂直的数量积关系可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若非零向量、满足，则， 即，所以，故，A对； 对于B选项，若为平面的一组基底，不妨设与共线， 则存在，使得，整理可得， 若，整理可得，与题意不符，矛盾， 故，所以，故与共线，这与为平面的一组基底矛盾， 故假设不成立，即也是平面的一组基底，B对； 对于C选项，若，且，则， 若，则；若，则.C错； 对于D选项，非零向量、，则向量在向量上的投影向量为 ，D对. 11. 在中，角、、所对的边分别为、、，下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，有两个解，则的范围是 D. 若边上的高为，则时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用大角对大边以及正弦定理可判断A选项；利用正弦定理、二倍角的正弦公式以及正弦函数的基本性质可判断B选项；数形结合可判断C选项；利用三角形的面积公式、余弦定理以及三角恒等变换、三角函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，A对； 对于B选项，若，由正弦定理可得，即， 在中，、中至少有一个锐角，不妨设为锐角，则， 由可知， 由得，即， 因为、，所以、， 所以或，则或， 故为等腰三角形或直角三角形，B错； 对于C选项，如下图所示， 要使得有两解，则，即，即， 故的取值范围是，C对； 对于D选项，若边上的高为， 则，即，即， 由余弦定理可得，所以， 所以 ， 因为，所以， 故当时，即当时，取得最大值，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由同角三角函数基本关系求出的值，再根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以 . 13. 在中，已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解. 【详解】在中，，， 则，解得， 由，得， 因此， 所以. 14. 已知函数的零点为．若，则的值是______；若函数的零点为，则的值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）在定义域内单调增，结合零点存在性定理可知； （2）利用代数变形得，再结合在定义域上单调增，可得，即. 【详解】（1）因为， ，所以， 由零点存在性定理可知，存在，使得. 又因为在定义域内单调增，所以零点唯一. 综上可知，. （2）由题可知， 即，于是可得. 所以， 所以，. 显然在定义域上单调增. 所以，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若与平行，求的值； （2）若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示运算即可求解； （2）根据向量的坐标运算求，再结合向量垂直的坐标表示运算即可求解. 【小问1详解】 已知向量，，由于，则，解得. 【小问2详解】 已知向量，，则， 由于，所以，即，解得. 16. 已知，且； （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的平方关系和倍角公式进行求解. （2）由及的范围求出的值，将凑成，即可根据两角差的余弦公式展开求解. 【小问1详解】 因为，且， 所以. 所以. 【小问2详解】 因为，所以. 又因为，所以. 所以. 所以 . 17. 在中，已知，点D在边BC上，满足，设． （1）用表示； （2）求AD的长； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算得； （2）利用，分别计算，代入计算可得； （3）利用平面向量基本定理，将用表示，得到，代入的值计算可得. 【小问1详解】 因为， . 【小问2详解】 由数量积的定义，可知， 由，所以， 可知. 【小问3详解】 ， 所以. 18. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，周长为6，求边上的高； （3）若，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理消元，再用辅助角公式化简三角等式，即可求出角； （2）结合周长条件与余弦定理求出，再利用等面积法即可求出边上的高； （3）由向量的数量积可得到角的范围，然后利用正弦定理边角互化和三角恒等变换化简，最后借助正切函数的单调性即可求出范围. 【小问1详解】 由正弦定理，得，代入已知等式， 得，化简得：， 即，即， 因为，所以，所以，解得. 【小问2详解】 由题意知，且，所以， 由余弦定理得：， 即，解得， 设边上的高为，所以，即， 解得. 【小问3详解】 因为，即，所以， 因为为的内角，所以，又因为，所以， 所以，即，所以. 由正弦定理可得：， 因为，所以， 因为在单调递增，所以， 所以，即. 19. 克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．如图，半圆O的直径为2cm，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，且为正三角形． （1）当时，求四边形的周长； （2）当在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； （3）若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，只需用余弦定理计算即可求周长； （2）设，由已知结合余弦定理可得，计算和的面积之和即可. （3）由定理可得，可得到的最大值，由对角互补结合余弦定理可得和，由角平分线性质可得，由相交弦定理可得，再用余弦定理计算，即可计算. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得：， 因为为正三角形，所以， 所以四边形的周长为； 【小问2详解】 设，在中，， 四边形的面积为 ， 所以当，即时，四边形的面积取到最大值为； 【小问3详解】 由定理可得， 又为正三角形，， 所以，即的最大值为，当且仅当时取等号， 所以， 设，则，解得，即， 由（2）易得， 在中，由余弦定理得：， 所以，即为的角平分线， 由角平分线性质可得，，故， 由易得四点共圆， 由相交弦定理，即 解得或（因为点在圆O内，舍去）， 在中，， 所以 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度高一下学期数学期中测试 （试题满分150分，考试时间120分钟） 2025.04 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则＝（ ） A. 1 B. 7 C. D. 3. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“函数在区间上有零点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 大运塔为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一，某同学为测量大运塔的高度，在大运塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部和大运塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则大运塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，为角的平分线，若，，则（ ） A. B. C. D. 0 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于平面向量、、，下列选项正确的是（ ） A. 若非零向量、满足，则 B. 若为平面的一组基底，则也是平面的一组基底 C. 若，且，则 D. 非零向量、，则向量在向量上的投影向量为 11. 在中，角、、所对的边分别为、、，下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，有两个解，则的范围是 D. 若边上的高为，则时，取得最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 在中，已知，，则______． 14. 已知函数的零点为．若，则的值是______；若函数的零点为，则的值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若与平行，求的值； （2）若与垂直，求的值． 16. 已知，且； （1）求的值； （2）若，求的值． 17. 在中，已知，点D在边BC上，满足，设． （1）用表示； （2）求AD的长； （3）求． 18. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，周长为6，求边上的高； （3）若，求的范围． 19. 克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．如图，半圆O的直径为2cm，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，且为正三角形． （1）当时，求四边形的周长； （2）当在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； （3）若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $