专题01 相交线与平行线（贵州专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01 对顶角、邻补角的计算 题型02 垂直的计算 题型03 垂线段最短的应用 题型04 同位角、内错角、同旁内角的认识与判断 题型05 平行线的性质及其应用 题型06 平行线的判定与性质 题型07 命题与真假命题的判断 题型08 平移及其有关的作图与计算 对顶角、邻补角的计算题型01 1．（2024秋•贵阳期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，若∠AOC＝30°，则∠BOD的度数是 　 　 ． 2．（2024秋•遵义期末）如图，已知点A，点B，点C，点D，点E． （1）按语句画出图形：画直线AB，线段DE与直线AB交于点O；作射线OC． （2）在（1）所画图中，若∠AOD＝60°，OC平分∠DOB，求∠BOC的度数． 垂直的计算题型02 1．（2024春•仁怀市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，若∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 2．（2024春•贵州期末）下面是小红根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程． 条件及问题 思路方法 解答过程 知识要素 如图，直线AB、CD相交于点O， EO⊥CD，OF是∠AOE的角平分线， ∠COF＝38°，求∠BOD的度数． 因为EO⊥CD， 所以∠EOC＝　 　 °， 因为∠COF＝38°， 所以∠EOF＝　 　 °， 又因为OF平分∠AOE， 所以∠　 ＝∠　 　 ＝　 　 °． 因为∠COF＝38°， 所以∠AOC＝52°﹣38°＝14°， 则∠　 　 ＝∠　 　 ＝　 °． 垂直的定义 角平分线的定义 互为余角的定义 对顶角的性质 垂线段最短的应用题型03 1．（2024春•贵州期末）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段CD的长度，其依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（2024秋•遵义期末）如图所示，小炎同学的家在B处，星期天，她到奥林匹克体育中心（A处）进行长跑训练，想尽快赶到目的地，请你帮助她选择一条最近的路（　　） A．B→Q→D→C→A B．B→D→C→E→A C．B→D→C→P→A D．B→Q→D→P→A 3．（2024秋•南明区期末）噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．人距离声源越远，听到的声音越小，受到的危害就越小．如图，工厂A处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在 　 　 （填B或C）点受到的危害较小． 同位角、内错角、同旁内角的认识与判断题型04 1．（2024秋•云岩区期末）如图，直线a，b被直线c所截，∠1的同位角是 　 　 ． 平行线的性质及其应用题型05 1．（2024秋•播州区期末）如图，将一个含30°角的直角三角板和直尺按如图方式摆放，若∠1＝14°，则∠2的度数为（　　） A．74° B．64° C．54° D．44° 2．（2024秋•白云区期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝58°，∠2的度数为（　　） A．32° B．58° C．68° D．122° 3．（2024秋•威宁县期末）小王将一副三角板在桌面上摆出了如图所示的图案，点C在DF上，且AC∥EF，则∠BCF的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 4．（2024秋•金沙县期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝18°，则∠HFD为（　　） A．23° B．33° C．36° D．38° 5．（2024春•贵州期末）如图，AB∥CD，∠DEF＝45°，则∠A的度数为（　　） A．135° B．65° C．45° D．35° 6．（2024春•贵州期末）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，E在CD上，BF平分∠DBE．若∠BED＝70°，则∠CBF的度数为 　 　 °． 7．（2024秋•贵阳期末）如图，BD∥AC，点E在线段AB的延长线上，∠1＝38°∠C＝75°，则∠ABC的度数是　 　 ． 8．（2024春•仁怀市期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，若∠AFD′＝50°，则∠CEF的度数为（　　） A．75° B．65° C．60° D．55° 9．（2024春•遵义期末）如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，∠BDE＝23°，则∠BED的度数为（　　） A．124° B．134° C．144° D．157° 10．（2024春•黔西南州期末）如图，已知∠BAC＝90°，DE与AC相交于点F，BD∥EC且∠ABD+∠CED＝180°． （1）求证：DE⊥AC； （2）连接BE，若∠BDE＝60°，且∠ABE：∠ABD＝1：3，求∠CEB的度数． 11．（2024秋•金沙县期末）平面内的两条直线有相交和平行的位置关系． （1）AB∥CD，如图a，点P在AB、CD外部时，由AB∥CD，有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D． （2）如图b，将点P移到AB、CD内部，以上结论是否成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论． 12．（2024秋•云岩区期末）数学社团的同学们在研究“生活中的数学”时，发现字母“e”可以看成如图1所示的几何图形．已知∠A＝∠B，∠B和∠1互为补角． （1）小林同学研究了AB与CD两条线段所在直线的位置关系，获得结论：AB∥CD．请你写出证明过程； （2）小明、小颖、小丽三名同学继续对该问题展开了探究，请你根据对话内容，补充一个满足条件的∠E的度数，然后求出∠G的度数． 平行线的判定与性质题型06 1．（2024秋•贵州期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（　　） A．∠2＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠4 D．∠1+∠5＝180° 2．（2024秋•贵州期末）如图所示，若∠1+∠2＝180°，∠3＝100°，则∠4的大小为　 　 ． 3．（2024春•黔西南州期末）如图，一个三角尺的直角顶点在直线b上，∠1＝55°，∠2＝60°，则∠3的大小为（　　） A．145° B．150° C．155° D．160° 4． （2024秋•南明区期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，CE平分∠ACD，∠BAC＝50°，当∠MAC为 　 　 时，AM∥CE． 5．（2024秋•南明区期末）已知：如图，直线EF分别交AB，CD于点H，G，∠E＝∠F，∠B＝∠D，求证：∠AHG+∠DGH＝180°． 6．（2024春•遵义期末）如图，DG∥AB，∠1＝∠2，求证：∠ADF＝∠EFB． （1）完成下面的解答过程． 解：∵DG∥AB，（已知） ∴∠1＝∠3． （ 　 　 ） ∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠2＝∠3．（等量代换） ∴DA∥　 　 ． （ 　 　 ） ∴∠ADF＝∠EFB．（两直线平行，同位角相等） （2）在（1）的条件下，若∠FEA＝125°，AD平分∠BAC．求∠BAC的度数． 7．（2024秋•观山湖区期末）已知：如图，CE是△ABC的角平分线，点D在CE的延长线上，过点D作∠EDF＝∠ACE，交AE于点F． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝36°，∠DFE＝68°时，求∠AEC的度数． 8．（2024春•仁怀市期末）如图，AB∥CD，∠A＝∠C，∠ABD的平分线BE交CD的延长线于点E，∠BDC的平分线DF交AB的延长线于点F． （1）求证：AD∥BC； （2）若∠E＝35°，求∠BDF的度数． 9．（2024春•贵州期末）如图，直线EA，DB交于点F，点C在AD的左侧，且满足∠BDC＝∠ABF，∠BAD+∠DCE＝180°． （1）判断AD与EC是否平行？并说明理由； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥EA于点E，∠BAF＝52°，求∠ABF的度数． 10．（2024秋•贵州期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF． （1）AE与FC的位置关系如何？为什么？ （2）AD与BC的位置关系如何？为什么？ （3）BC平分∠DBE吗？为什么？ 命题与真假命题的判断题型07 1．（2024秋•碧江区 期末）下列命题中，属于真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．若a+b＞0，则a＞0，b＞0 C．内错角相等，两直线平行 D．若a∥b，b∥c，则b⊥c 2．（2024秋•观山湖区期末）下列句子中属于命题的是（　　） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线l外一点作l的垂线 D．两直线平行，同位角相等 平移及其有关的作图与计算题型08 1．（2024春•仁怀市期末）下列运动属于平移的是（　　） A．空中放飞的风筝 B．乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程 D．茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行 2．（2024秋•贵阳期末）如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠2＝50°，则∠1的度数是（　　） A．40° B．50° C．90° D．130° 3．（2024秋•金沙县期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A（0，0），B（6，0），C（5，5）． （1）求三角形ABC的面积； （2）如果将三角形ABC先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A′B′C′，画出三角形A′B′C′，并写出三角形A′B′C′的各顶点坐标． 4．（2024秋•清镇市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF的顶点均在格点上． （1）△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别是：A：　 　 ，B：　 　 ，C：　 　 ； （2）△ABC与△DEF关于 　 　 对称（填“x轴”或“y轴”）； （3）在平面直角坐标系内作出△DEF向下平移5个单位的图形． 5．（2024春•仁怀市期末）如图，在平面直角坐标系网格中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．将△ABC平移，使顶点A平移到点D处，得到△DEF． （1）画出平移后的△DEF； （2）求△ABC的面积； （3）在y轴是否存在点P，使得△PBC的面积为△ABC的面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2024春•遵义期末）如图，将长方形纸片ABCD依次折叠两次：第一次以MN为折痕，使点A落在CD上的点E处；第二次以HG为折痕，使点N与点E重合，点B落在点B′处．若∠DEM＝20°，则∠EHG的度数为 　 　 ． 2．（2024秋•贵州期末）如图所示，将两个三角尺的直角顶点重合． （1）写出以C为顶点的相等的角； （2）若∠ACB＝150°，求∠DCE的度数； （3）写出∠ACB与∠DCE之间所具有的数量关系： （4）当三角尺ACD不动时，将三角尺ECB的EC边与AC边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠ACE（0°＜∠ACE＜90°）等于多少度时，这两个三角尺各有一条边互相垂直、直接写出∠ACE角度的所有可能值，不用说明理由． 3．（2024春•贵州期末）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45° （1）观察猜想 将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝　 　 °． （2）操作探究 将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数； （3）深化拓展 将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转 　 　 °时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果） 4．（2024春•仁怀市期末）如图，MN∥PQ，AB∥CD，∠BDC的平分线DF交AB于点F，∠DBN的平分线BE交CD的延长线于点E． （1）若∠BAC＝30°，BD⊥CD，则∠BED的度数为 　 　 度； （2）若∠DGB+∠DCA＝180°，试探索∠BDC，∠EBN，∠DGB的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若∠DBN＝2∠BAC，试探究的值是否为定值，若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出值． 5．（2024秋•金沙县期末）已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ． （1）如图1，直接写出∠APE，∠PEQ，∠CQE之间的数量关系； （2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝150°时，求出∠PFQ的度数； （3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝60°时，直接写出∠PFQ的度数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01 对顶角、邻补角的计算 题型02 垂直的计算 题型03 垂线段最短的应用 题型04 同位角、内错角、同旁内角的认识与判断 题型05 平行线的性质及其应用 题型06 平行线的判定与性质 题型07 命题与真假命题的判断 题型08 平移及其有关的作图与计算 对顶角、邻补角的计算题型01 1．（2024秋•贵阳期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，若∠AOC＝30°，则∠BOD的度数是 　30°　 ． 【答案】30°． 【解答】解：∵∠AOC＝30°， ∴∠BOD＝∠AOC＝30°， 故答案为：30°． 2．（2024秋•遵义期末）如图，已知点A，点B，点C，点D，点E． （1）按语句画出图形：画直线AB，线段DE与直线AB交于点O；作射线OC． （2）在（1）所画图中，若∠AOD＝60°，OC平分∠DOB，求∠BOC的度数． 【答案】（1）见解析； （2）60°． 【解答】解：（1）如图所示：直线AB，线段DE与直线AB交于点O；作射线OC． （2）由条件可知∠BOC+∠COD＝180°﹣60°＝120°， ∵OC平分∠DOB， ∴， ∴∠BOC是60°． 垂直的计算题型02 1．（2024春•仁怀市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，若∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【答案】B 【解答】解：∵EO⊥CD， ∴∠EOD＝90°， ∵∠1＝55°， ∴∠BOD＝∠EOD﹣∠1＝90°﹣55°＝35°， ∴∠2＝∠BOD＝35°， 故选：B． 2．（2024春•贵州期末）下面是小红根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程． 条件及问题 思路方法 解答过程 知识要素 如图，直线AB、CD相交于点O， EO⊥CD，OF是∠AOE的角平分线， ∠COF＝38°，求∠BOD的度数． 因为EO⊥CD， 所以∠EOC＝　90　 °， 因为∠COF＝38°， 所以∠EOF＝　52　 °， 又因为OF平分∠AOE， 所以∠　AOF　 ＝∠　EOF　 ＝　52　 °． 因为∠COF＝38°， 所以∠AOC＝52°﹣38°＝14°， 则∠　BOD　 ＝∠　AOC　 ＝　14　 °． 垂直的定义 角平分线的定义 互为余角的定义 对顶角的性质 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为EO⊥CD， 所以∠EOC＝90°， 因为∠COF＝38°， 所以∠EOF＝52°， 又因为OF平分∠AOE， 所以∠AOF＝∠EOF＝52°． 因为∠COF＝38°， 所以∠AOC＝52°﹣38°＝14°， 则∠BOD＝∠AOC＝14°． 故答案为：90；52；AOF；EOF；52；BOD；AOC；14． 垂线段最短的应用题型03 1．（2024春•贵州期末）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段CD的长度，其依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【解答】解：由图可知，线段CD的长度是小明的跳远成绩． 故选：A． 2．（2024秋•遵义期末）如图所示，小炎同学的家在B处，星期天，她到奥林匹克体育中心（A处）进行长跑训练，想尽快赶到目的地，请你帮助她选择一条最近的路（　　） A．B→Q→D→C→A B．B→D→C→E→A C．B→D→C→P→A D．B→Q→D→P→A 【答案】B 【解答】解：∵两点之间线段最短， ∴小炎同学到奥林匹克体育中心（A处）进行长跑训练，想尽快赶到目的地最近的一条路是B→D→C→E→A， 故选：B． 3．（2024秋•南明区期末）噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．人距离声源越远，听到的声音越小，受到的危害就越小．如图，工厂A处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在 　B　 （填B或C）点受到的危害较小． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图象得，AB＞AC， ∴人站在B点受到的危害较小． 故答案为：B． 同位角、内错角、同旁内角的认识与判断题型04 1．（2024秋•云岩区期末）如图，直线a，b被直线c所截，∠1的同位角是 　∠4　 ． 【答案】∠4． 【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1的同位角是∠4． 故答案为：∠4． 平行线的性质及其应用题型05 1．（2024秋•播州区期末）如图，将一个含30°角的直角三角板和直尺按如图方式摆放，若∠1＝14°，则∠2的度数为（　　） A．74° B．64° C．54° D．44° 【答案】A 【解答】解：如图：， ∵∠1＝14°， ∴∠3＝30°﹣∠1＝30°﹣14°＝16°， ∴∠4＝90°﹣16°＝74°， ∴∠2＝∠4＝74°， 故选：A． 2．（2024秋•白云区期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝58°，∠2的度数为（　　） A．32° B．58° C．68° D．122° 【答案】B 【解答】解：如图： 由题意得：AB∥CD， ∴∠1＝∠2＝58°， 故选：B． 3．（2024秋•威宁县期末）小王将一副三角板在桌面上摆出了如图所示的图案，点C在DF上，且AC∥EF，则∠BCF的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】A 【解答】解：∵AC∥EF， ∴∠ACF＝∠F＝45°， ∵∠ACB＝30°， ∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝15°． 故选：A． 4．（2024秋•金沙县期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝18°，则∠HFD为（　　） A．23° B．33° C．36° D．38° 【答案】B 【解答】解：过点G作AB平行线交EF于P， 由题意易知，AB∥GP∥CD， ∴∠EGP＝∠AEG＝18°， ∴∠PGF＝72°， ∴∠GFC＝∠PGF＝72°， ∴∠HFD＝180°﹣∠GFC﹣∠GFP﹣∠EFH＝33°． 故选：B． 5．（2024春•贵州期末）如图，AB∥CD，∠DEF＝45°，则∠A的度数为（　　） A．135° B．65° C．45° D．35° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠AEC， ∵∠AEC＝∠DEF＝45°， ∴∠A＝45°． 故选：C． 6．（2024春•贵州期末）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，E在CD上，BF平分∠DBE．若∠BED＝70°，则∠CBF的度数为 　35　 °． 【答案】35． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BED＝70°， ∵BC平分∠ABD，BF平分∠DBE， ∴∠CBD∠ABD，∠DBF∠DBE， ∴∠CBD﹣∠DBF（∠ABD﹣∠DBE）， ∴∠CBFABE70°＝35°． 故答案为：35． 7．（2024秋•贵阳期末）如图，BD∥AC，点E在线段AB的延长线上，∠1＝38°∠C＝75°，则∠ABC的度数是　67°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BD∥AC， ∴∠2＝∠C＝75°， ∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣38°﹣75°＝67°． 8．（2024春•仁怀市期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，若∠AFD′＝50°，则∠CEF的度数为（　　） A．75° B．65° C．60° D．55° 【答案】B 【解答】解：设∠CEF＝α， ∵四边形ABCD为长方形， ∴AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CEF＝α，∠DFE+∠CEF＝180°， ∴∠DFE＝180°﹣∠CEF＝180°﹣α，∠D'FE＝∠AFE+∠AFD′＝α+50°， 根据折叠的性质得：∠D'FE＝∠DFE， ∵α+50°＝180°﹣α， 解得：α＝65°， 即∠CEF＝α＝65°， 故选：B． 9．（2024春•遵义期末）如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，∠BDE＝23°，则∠BED的度数为（　　） A．124° B．134° C．144° D．157° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠CBD＝∠BDE＝23°． 由折叠可知∠DBE＝∠CBD＝23°， ∴∠BED＝180°﹣23°﹣23°＝134°． 故选：B． 10．（2024春•黔西南州期末）如图，已知∠BAC＝90°，DE与AC相交于点F，BD∥EC且∠ABD+∠CED＝180°． （1）求证：DE⊥AC； （2）连接BE，若∠BDE＝60°，且∠ABE：∠ABD＝1：3，求∠CEB的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）100°． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC， ∵BD∥EC， ∴∠BDE＝∠CED， ∵∠ABD+∠CED＝180°， ∴∠ABD+∠BDE＝180°， ∴AB∥DE， ∴DE⊥AC； （2）解：∵AB∥DE，∠BDE＝60°， ∴∠ABD＝180°﹣60°＝120°， ∵∠ABE：∠ABD＝1：3， ∴∠ABE∠ABD120°＝40°， ∴∠BED＝∠ABE＝40°， ∵BD∥EC， ∴∠BDE＝∠CED＝60°， ∴∠CEB＝∠CED+∠BED＝60°+40°＝100°． 11．（2024秋•金沙县期末）平面内的两条直线有相交和平行的位置关系． （1）AB∥CD，如图a，点P在AB、CD外部时，由AB∥CD，有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D． （2）如图b，将点P移到AB、CD内部，以上结论是否成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：以上结论不成立，结论是∠BPD＝∠B+∠D 如图b所示：延长BP交CD于点E． ∵AB∥CD ∴∠B＝∠BED 又∵∠BPD＝∠BED+∠D， ∴∠BPD＝∠B+∠D． 12．（2024秋•云岩区期末）数学社团的同学们在研究“生活中的数学”时，发现字母“e”可以看成如图1所示的几何图形．已知∠A＝∠B，∠B和∠1互为补角． （1）小林同学研究了AB与CD两条线段所在直线的位置关系，获得结论：AB∥CD．请你写出证明过程； （2）小明、小颖、小丽三名同学继续对该问题展开了探究，请你根据对话内容，补充一个满足条件的∠E的度数，然后求出∠G的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解答】解：（1）∵∠A＝∠B，∠B和∠1互为补角， ∴∠A和∠1互为补角，并且是同旁内角， ∴AB∥CD． （2）如果∠E＝86°， 则∠AFE＝360°﹣107°﹣107°﹣86°＝60°， ∴∠CFG＝∠AFE＝60°， 又∵∠1＝180°﹣107°＝73°， ∴∠G＝73°﹣60°＝13°． 平行线的判定与性质题型06 1．（2024秋•贵州期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（　　） A．∠2＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠4 D．∠1+∠5＝180° 【答案】B 【解答】解：∵∠2＝∠5， ∴a∥b， ∵∠4＝∠5， ∴a∥b， ∵∠1+∠5＝180°， ∴a∥b， 故选：B． 2．（2024秋•贵州期末）如图所示，若∠1+∠2＝180°，∠3＝100°，则∠4的大小为　80°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠5＝180°， ∴∠1＝∠5， ∴AB∥CD， ∴∠4＝∠6， ∵∠3＝100°， ∴∠6＝180°﹣∠3＝80°， ∴∠4＝80°， 故答案为：80°． 3．（2024春•黔西南州期末）如图，一个三角尺的直角顶点在直线b上，∠1＝55°，∠2＝60°，则∠3的大小为（　　） A．145° B．150° C．155° D．160° 【答案】C 【解答】解：如图， ∵∠1＝55°，∠2＝60°， ∴∠5＝90°﹣60°＝30°，∠4＝55°﹣30°＝25°， ∴∠3＝180°﹣∠4＝180°﹣25°＝155°． 故选：C． 4． （2024秋•南明区期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，CE平分∠ACD，∠BAC＝50°，当∠MAC为 　65°　 时，AM∥CE． 【答案】65°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵∠BAC＝50°， ∴∠ACD＝180°﹣∠BAC＝130°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACB∠ACD＝65°， ∴当∠MAC＝∠ACB＝65°，AM∥CE， 故答案为：65°． 5．（2024秋•南明区期末）已知：如图，直线EF分别交AB，CD于点H，G，∠E＝∠F，∠B＝∠D，求证：∠AHG+∠DGH＝180°． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：∵∠E＝∠F， ∴DE∥BF， ∴∠B＝∠BAE， ∵∠B＝∠D， ∴∠BAE＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠AHG+∠DGH＝180°． 6．（2024春•遵义期末）如图，DG∥AB，∠1＝∠2，求证：∠ADF＝∠EFB． （1）完成下面的解答过程． 解：∵DG∥AB，（已知） ∴∠1＝∠3． （ 　两直线平行，内错角相等　 ） ∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠2＝∠3．（等量代换） ∴DA∥　EF　 ． （ 　同位角相等，两直线平行　 ） ∴∠ADF＝∠EFB．（两直线平行，同位角相等） （2）在（1）的条件下，若∠FEA＝125°，AD平分∠BAC．求∠BAC的度数． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；EF；同位角相等，两直线平行； （2）110°． 【解答】（1）证明：∵DG∥AB（已知）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴DA∥EF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠ADF＝∠EFB（两直线平行，同位角相等）； （2）∵DA∥EF， ∴∠FEA+∠3＝180°， ∵∠FEA＝125°， ∴∠3＝180°﹣125°＝55°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠3＝110°． 7．（2024秋•观山湖区期末）已知：如图，CE是△ABC的角平分线，点D在CE的延长线上，过点D作∠EDF＝∠ACE，交AE于点F． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝36°，∠DFE＝68°时，求∠AEC的度数． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）106°． 【解答】（1）证明：∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵∠EDF＝∠ACE， ∴∠EDF＝∠BCD， ∴DF∥BC； （2）解：∵DF∥BC， ∴∠B＝∠DFE＝68°， ∵∠A＝36°， ∴∠ACB＝180°﹣36°﹣68°＝76°， ∴∠ACE76°＝38°， ∴∠AEC＝180°﹣36°﹣38°＝106°． 8．（2024春•仁怀市期末）如图，AB∥CD，∠A＝∠C，∠ABD的平分线BE交CD的延长线于点E，∠BDC的平分线DF交AB的延长线于点F． （1）求证：AD∥BC； （2）若∠E＝35°，求∠BDF的度数． 【答案】（1）详见解析； （2）35°． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠CBF， ∵∠A＝∠C， ∴∠A＝∠CBF， ∴AD∥BC； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC， ∴，， ∴∠DBF＝∠BDF， ∴BE∥DF， ∴∠CDF＝∠E＝35°， ∴∠DBF＝∠CDF＝35°． 9．（2024春•贵州期末）如图，直线EA，DB交于点F，点C在AD的左侧，且满足∠BDC＝∠ABF，∠BAD+∠DCE＝180°． （1）判断AD与EC是否平行？并说明理由； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥EA于点E，∠BAF＝52°，求∠ABF的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）AD∥EC，理由如下： ∵∠BDC＝∠ABF， ∴AB∥CD， ∴∠BAD＝∠CDA， ∵∠BAD+∠DCE＝180°， ∴∠CDA+∠DCE＝180°， ∴AD∥EC； （2）∵CE⊥EA于点E， ∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝90°， ∵∠BAF＝52°， ∴∠BAD＝38°， ∴∠CDA＝∠BAD＝38°， ∵DA平分∠BDC， ∴∠BDC＝2∠CDA＝76°， ∴∠ABF＝∠BDC＝76°． 10．（2024秋•贵州期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF． （1）AE与FC的位置关系如何？为什么？ （2）AD与BC的位置关系如何？为什么？ （3）BC平分∠DBE吗？为什么？ 【答案】（1）AE∥FC，理由见解析； （2）AD∥BC，理由见解析； （3）BC平分∠DBE，理由见解析． 【解答】解：（1）AE∥FC．理由如下： ∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠CDB＝180°（邻补角定义）， ∴∠1＝∠CDB， ∴AE∥FC（同位角相等两直线平行）； （2）AD∥BC．理由如下： ∵AE∥CF， ∴∠C＝∠CBE（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠A＝∠C， ∴∠A＝∠CBE， ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）； （3）BC平分∠DBE．理由如下： ∵AD平分∠BDF， ∴∠FDA＝∠ADB， ∵AE∥CF，AD∥BC， ∴∠FDA＝∠A＝∠CBE，∠ADB＝∠CBD， ∴∠EBC＝∠CBD， ∴BC平分∠DBE． 命题与真假命题的判断题型07 1．（2024秋•碧江区 期末）下列命题中，属于真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．若a+b＞0，则a＞0，b＞0 C．内错角相等，两直线平行 D．若a∥b，b∥c，则b⊥c 【答案】C 【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、若a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题，例如4+（﹣3）＞，而4＞0，﹣3＜0，不符合题意； C、内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； D、若a∥b，b∥c，则b∥c，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 2．（2024秋•观山湖区期末）下列句子中属于命题的是（　　） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线l外一点作l的垂线 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解答】解：A、美丽的天空，不是命题，不符合题意； B、你的作业完成了吗？，不是命题，不符合题意； C、过直线l外一点作l的垂线，不是命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，是命题，符合题意； 故选：D． 平移及其有关的作图与计算题型08 1．（2024春•仁怀市期末）下列运动属于平移的是（　　） A．空中放飞的风筝 B．乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程 D．茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行 【答案】D 【解答】解：A、空中放飞的风筝不是平移，不符合题意； B、乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式不是平移，不符合题意； C、篮球被运动员投出并进入篮筐的过程不是平移，不符合题意； D、茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行属于平移，符合题意； 故选：D． 2．（2024秋•贵阳期末）如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠2＝50°，则∠1的度数是（　　） A．40° B．50° C．90° D．130° 【答案】B 【解答】解：∵将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2， ∴l1∥l2， ∵∠1＝50°， ∴∠2的度数是50°． 故选：B． 3．（2024秋•金沙县期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A（0，0），B（6，0），C（5，5）． （1）求三角形ABC的面积； （2）如果将三角形ABC先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A′B′C′，画出三角形A′B′C′，并写出三角形A′B′C′的各顶点坐标． 【答案】（1）15； （2）答案如图，A′（2，1），B′（8，1），C′（7，6）． 【解答】解：（1）∵A（0，0），B（6，0），C（5，5）， ∴AB＝6， ∵△ABC中AB边上的高为5， ∴． （2）画出三角形A′B′C′如图所示， ∵三角形ABC先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A′B′C′， ∴点A，B，C分别向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，B′，C′， ∴A′（2，1），B′（8，1），C′（7，6）． 4．（2024秋•清镇市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF的顶点均在格点上． （1）△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别是：A：　（1，1）　 ，B：　（3，2）　 ，C：　（2，4）　 ； （2）△ABC与△DEF关于 　y轴　 对称（填“x轴”或“y轴”）； （3）在平面直角坐标系内作出△DEF向下平移5个单位的图形． 【答案】（1）（1，1）；（3，2）；（2，4）． （2）y轴． （3）见解答． 【解答】解：（1）由图可得，A（1，1），B（3，2），C（2，4）． 故答案为：（1，1）；（3，2）；（2，4）． （2）由图可知，△ABC与△DEF关于y轴对称． 故答案为：y轴． （3）如图，△D'E'F'即为所求． 5．（2024春•仁怀市期末）如图，在平面直角坐标系网格中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．将△ABC平移，使顶点A平移到点D处，得到△DEF． （1）画出平移后的△DEF； （2）求△ABC的面积； （3）在y轴是否存在点P，使得△PBC的面积为△ABC的面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）图见解析； （2）4.5或； （3）存在，P的坐标为（0，7）或（0，﹣5）． 【解答】解：（1）根据题意，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．将△ABC平移，使顶点A平移到点D处，且D（2，﹣1）， 根据题意，得到平移规律为向右平移5个单位，向下平移5个单位， 故E（1，﹣4），F（4，﹣4），画图如下： 则△DEF即为所求． （2）根据题意，得△ABC的面积为： 或． （3）设点P的坐标为 （0，m）， 根据题意，得， 解得m＝7或m＝﹣5， ∴P的坐标为（0，7）或（0，﹣5）． 1．（2024春•遵义期末）如图，将长方形纸片ABCD依次折叠两次：第一次以MN为折痕，使点A落在CD上的点E处；第二次以HG为折痕，使点N与点E重合，点B落在点B′处．若∠DEM＝20°，则∠EHG的度数为 　55°　 ． 【答案】55°． 【解答】解：如图所示： ∵将长方形纸片ABCD依次折叠两次：第一次以MN为折痕，使点A落在CD上的点E处； ∴AB∥CD，∠1+∠2＝∠A＝90°，∠3＝∠5， ∵第二次以HG为折痕，使点N与点E重合，点B落在点B′处． ∴EH＝NH，∠1＝∠3，∠EHG＝∠NHG， ∵∠DEM＝20°，AB∥CD， ∴∠DEN+90°+∠3+∠5＝180°， ∴20°+90°+2∠3＝180°， 解得∠3＝35°， 在△EHN中，∠EHG+∠NHG+∠1+∠3＝180°， ∴2∠EHG+2∠3＝2∠EHG+70°＝180°， 解得∠EHG＝55°， 故答案为：55°． 2．（2024秋•贵州期末）如图所示，将两个三角尺的直角顶点重合． （1）写出以C为顶点的相等的角； （2）若∠ACB＝150°，求∠DCE的度数； （3）写出∠ACB与∠DCE之间所具有的数量关系： （4）当三角尺ACD不动时，将三角尺ECB的EC边与AC边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠ACE（0°＜∠ACE＜90°）等于多少度时，这两个三角尺各有一条边互相垂直、直接写出∠ACE角度的所有可能值，不用说明理由． 【答案】（1）∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB； （2）30°； （3）∠ACB与∠DCE互补； （4）30°、45°、60°、75°． 【解答】解：（1）根据同角的余角相等可得： ∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB； （2）∵∠ACB＝150°，∠BCE＝90°， ∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°， ∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°； （3）∵∠ACB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE+∠DCE＝90°+90°＝180°， ∴∠ACB与∠DCE互补； （4）CE⊥AD时，∠ACE＝30°， EB⊥CD时，∠ACE＝45°， BE⊥AD时，∠ACE＝75°， CB⊥AD时，∠ACE＝60°， 即∠ACE角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°． 3．（2024春•贵州期末）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45° （1）观察猜想 将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝　105　 °． （2）操作探究 将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数； （3）深化拓展 将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转 　75或255　 °时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠ECN＝45°，∠ENC＝30°， ∴∠CEN＝105°． 故答案为：105°． （2）∵OD平分∠MON， ∴∠DON∠MON90°＝45°， ∴∠DON＝∠D＝45°， ∴CD∥AB， ∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°；． （3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F， ∵CD∥MN， ∴∠OFD＝∠M＝60°， 在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD， ＝180°﹣45°﹣60°， ＝75°， 当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F， ∵CD∥MN， ∴∠DFO＝∠M＝60°， 在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴旋转角为75°+180°＝255°， 综上所述，当边OC旋转75°或255°时，边CD恰好与边MN平行． 故答案为：75或255． 4．（2024春•仁怀市期末）如图，MN∥PQ，AB∥CD，∠BDC的平分线DF交AB于点F，∠DBN的平分线BE交CD的延长线于点E． （1）若∠BAC＝30°，BD⊥CD，则∠BED的度数为 　60　 度； （2）若∠DGB+∠DCA＝180°，试探索∠BDC，∠EBN，∠DGB的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若∠DBN＝2∠BAC，试探究的值是否为定值，若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出值． 【答案】（1）60； （2）∠BDC＝2∠EBN+∠DGB，理由见解答过程； （3）是定值，定值为2． 【解答】解：（1）∵MN∥PQ， ∴∠ABN＝180°﹣∠BAC＝150°， ∵BD⊥CD，AB∥CD， ∴BD⊥AB， ∴∠BDC＝∠BDE＝∠ABD＝90°， ∴∠NBD＝∠ABN﹣∠ABD＝60° ∵BE平分∠DBN， ∴∠DBE∠DBN＝30°， ∴∠BED＝180°﹣（∠DBE+∠BDE）＝180°﹣（30°+90°）＝60°， 故答案为：60； （2）∠BDC＝2∠EBN+∠DGB，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°，∠BAC＝∠DCQ， ∵∠DGB+∠DCA＝180°， ∴∠DGB＝∠CAB， ∴DG∥AC， ∴∠CDG＝∠DCQ， ∴∠CDG＝∠BAC＝∠DGB， ∵MN∥PQ， ∴DG∥MN， ∴∠DBN＝∠BDG， ∵BE平分∠DBN， ∴∠DBN＝2∠EBN， ∴∠BDG＝∠DBN＝2∠EBN， ∴∠BDC＝∠BDG+∠CDG＝2∠EBN+∠DGB； （3）是定值，理由如下： 设∠BAC＝2α， ∴∠DBN＝2∠BAC＝4α， ∵BE平分∠DBN， ∴∠EBN＝EBD∠DBN＝2α， 由（2）可知：MN∥DG∥AC，∠CDG＝∠BAC＝2α， ∴∠BDG＝∠DBN＝4α，∠DGB＝∠BAC＝2α， ∵∠BDC＝2∠EBN+∠DGB＝2×2α+2α＝6α，DF平分∠BDC， ∴∠FDC∠BDC＝3α， ∴∠FDG＝∠FDC﹣∠CDG＝3α﹣2α＝α， ∵∠BDC+∠BDE＝180°，∠BDE+∠EBD+∠BED＝180°， ∴∠BDC＝∠EBD+∠BED， ∴∠BED＝∠BDC﹣∠EBD＝6α﹣2α＝4α， ∴∠BED﹣∠DGB＝4α﹣2α＝2α， ∴2． 5．（2024秋•金沙县期末）已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ． （1）如图1，直接写出∠APE，∠PEQ，∠CQE之间的数量关系； （2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝150°时，求出∠PFQ的度数； （3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝60°时，直接写出∠PFQ的度数． 【答案】（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE，理由见解析； （2）∠PFQ＝105°； （3）∠PFQ＝150°． 【解答】解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE， 如图1，作EH∥AB， ∴∠APE＝∠PEH， ∵EH∥AB，AB∥CD， ∴EH∥CD， ∴∠CQE＝∠QEH， ∵∠PEQ＝∠PEH+∠QEH， ∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE； （2）如图2，过点E作EM∥AB，作NF∥AB， 同理∠PEQ＝∠APE+∠CQE＝150°， ∵∠BPE＝180°﹣∠APE，∠EQD＝180°﹣∠CQE， ∴∠BPE+∠EQD＝360°﹣（∠APE+∠CQE）＝210°， ∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD， ∴，， ∴， 同理∠PFQ＝∠BPF+∠DQF＝105°； （3）如图3，过点E作EM∥CD，作NF∥AB， 设∠QEM＝α，则∠DQE＝180°﹣α， ∵QH平分∠DQE， ∴， ∴， ∵EM∥CD，AB∥CD， ∴AB∥EM， ∴∠BPE＝180°﹣∠PEM＝120°﹣α， ∵PF平分∠BPE， ∴， 同理∠PFQ＝∠BPF+∠DQF＝150°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$