2.2.3 课时1 两条直线的相交、平行与重合 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

两条直线的相交、平行与重合 2.2.3 课时1 作者编号：、32200 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合. 3.能应用两直线平行、重合关系，求参数或直线方程. 【学习目标】 作者编号：、32200 关键词： 不相交 代表没有交点 直线平行的定义：在同一个平面内不相交的两条直线 【复习回顾】 作者编号：、32200 问题：已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 直线l1，l2的图象如图所示. 点M既在直线l1上，也在直线l2上. 满足直线l1的方程x＋y－5＝0， 也满足直线l2的方程x－y－3＝0， 即交点坐标是方程组的解. 【新课讲授】 作者编号：、32200 讨论：如何依据直线方程判定两直线的位置关系？ 点在直线上 点的坐标满足直线的方程 充要条件 位置关系判定：联立方程组分析解的情况. 【新课讲授】 作者编号：、32200 若直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则可得方程组 解得 (k1-k2)x=-(b1-b2). （1）当且仅当k1-k2≠0，即k1≠k2，方程有唯一解： （2）当且仅当k1-k2=0且-(b1-b2)≠0，即k1=k2且b1≠b2时，方程无解. 此时直线l1与l2没有交点，即l1//l2. 即直线l1与l2有唯一的交点，其坐标为： 【新课讲授】 作者编号：、32200 （3）当且仅当k1-k2≠0且-(b1-b2)=0，即k1≠k2且b1=b2时，方程有无数组解. 此时直线l1与l2有无穷多个交点，即l1、l2重合. (k1-k2)x=-(b1-b2). 综上：若直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则： l1与l2相交⇔k1≠k2； l1与l2平行⇔k1=k2且b1≠b2； l1与l2重合⇔k1=k2且b1=b2. 【新课讲授】 作者编号：、32200 思考：斜截式方程能不能表示全部直线？那么如何根据直线方程判断任意两直线的位置关系？ 考虑直线的一般式方程. 【新课讲授】 作者编号：、32200 设直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0，它们的一个法向量分别为v1=(A1，B1)和v2=(A2，B2). 从向量的角度： (1)l1与l2相交⟺ (2)l1与l2平行或重合 ⟺ v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1 v1与v2共线，即A1B2=A2B1 【新课讲授】 作者编号：、32200 在v1与v2共线时，存在v1=λv2，且 代入l1可得：(A2x+B2y)+C1=0，即 A2x+B2y+=0. 例如，直线x-1=0与直线2x-2=0重合，直线x+y-=0与直线2x+2y+1=0也重合. 此时方程组有无穷多组解的充要条件为C2= . 因此A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0重合的充要条件是存在实数λ，使得 作者编号：、32200 l1与l2相交 l1与l2平行     l1与l2重合    A1B2≠A2B1 当A1=A2，B1=B2，则直线l1与l2 ①平行的充要条件是C1≠C2；②重合的充要条件是C1=C2. 综上可得：若直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0， 作者编号：、32200 例1 判断下列各组直线的位置关系. 如果相交，求出交点的坐标： (1) l1：x-y=0； l2：3x+3y -10=0; (2) l1：3x-y +4=0； l2：6x -2y -1=0; (3) l1：3x+4y-5=0； l2：6x+8y-10=0. 解: (1)解方程组 所以，l1与l2相交，交点是 得 【新课讲授】 作者编号：、32200 ①×2-②得9=0， 矛盾， 这个方程组无解， 所以 l1与l2无公共点， l1//l2. (2) l1：3x-y +4=0； l2：6x -2y -1=0; (3) l1：3x+4y-5=0； l2：6x+8y-10=0. ①×2得6x+8y-10=0， ①和②可以化成同一个方程， 即①和②表示同一条直线， l1与l2重合. (2) 解方程组 ① ② (3) 解方程组 ① ② 【新课讲授】 作者编号：、32200 例2 判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)l1:y=3x+2， l2:y=3x+1； (2)l1:x+2y-1=0， l2:x+2y=0; (3)l1:x+2=0， l2:2x=1. 解：(1)设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 在y轴上的截距分别为b1，b2， 则由l1，l2的方程可知k1=k2=3，且b1≠b2， 所以l1∥l2. 【新课讲授】 作者编号：、32200 例2 判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (2)l1:x+2y-1-0， l2:x+2y=0; (3)l1:x+2=0， l2:2x=1. (2)设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2. 因为l1，l2的方程分别可化为 所以k1=k2= ，且b1≠b2，所以l1∥l2. (3)由l1，l2的方程可知，l1⊥x轴，l2⊥x轴， 且两条直线l1，l2在x轴上的截距不相同，所以l1∥l2. 【新课讲授】 作者编号：、32200 判断两条直线是否平行的步骤 【归纳总结】 作者编号：、32200 例3 求经过点A(2，3)，且平行于直线l：2x+y-1=0的直线的方程. 解：依据条件设所求直线的方程为2x+y+C=0. 又直线过点A(2，3)，∴2×2+3+C=0， 解得C=-7， 所以所求直线的方程为2x+y-7=0. 【新课讲授】 作者编号：、32200 一般地，直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中的系数A，B确定直线的斜率，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线的方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C). 【归纳总结】 作者编号：、32200 根据本节课所学回答下列问题： 1.直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，分别满足什么条件时，l1与l2相交、平行和重合？ 2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0，分别满足什么条件时，l1与l2相交、平行和重合？ 【课堂总结】 作者编号：、32200 1.已知直线 与 相交，则它们的交点坐标是( @ 26@ ) A. B. C. D. 2.过点A(2，5)和点B(－4，5)的直线与直线y＝3的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 3.已知直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则m的值等于( ) A.－18 　　　　B.－2 　　　　C.2 　　　　D.18 B B C 【课堂练习】 作者编号：、32200 $$