专题03 平行四边形（贵州专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题03 平行四边形 题型概览 题型01 平行四边形的性质 题型02 平行四边形的判定 题型03 三角形的中位线 题型04 矩形的性质 题型05 矩形的判定 题型06 直角三角形斜边的中线 题型07 菱形的性质 题型08 菱形的判定 题型09 正方形的性质 题型10 正方形的判定 平行四边形的性质题型01 1．（2024春•安顺期末）如图，将平行四边形ABCD的一边延长至点E，若∠A＝120°，则∠1＝（　　） A．120° B．60° C．50° D．40° 2．（2024春•黔东南州期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若∠ADB＝90°，BD＝6，AD＝4，则AC的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 3．（2024春•黔南州期末）在▱ABCD中，∠B+∠D＝150°，则∠A的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 4．（2024春•平桥区期末）在平行四边形ABCD 中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A．1：2：1：2 B．1：2：2：1 C．1：2：3：4 D．1：1：2：2 5．（2024春•贵阳期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则BC的长可能是（　　） A．10 B．8 C．7 D．6 6．（2024春•金沙县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝8，BE平分∠ABC交AD于点E，点F是DC的中点，连接EF交BC的延长线于点G，则BG＝　 　 ． 7．（2024春•金沙县校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是　 　 ． 8．（2024春•铜仁市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF． 平行四边形的判定题型02 1．（2024春•威宁县期末）下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠C，AB＝CD B．AB＝BC，CD＝AD C．AB＝CD，AD∥BC D．AB＝CD，AB∥CD 2．（2024春•黔西南州期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AB＝DC C．AO＝CO，AB＝DC D．AD∥BC，AB＝DC 3．（2024春•安顺期末）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A．对角线互相平分 B．一组对边平行且相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行，另一组对边相等 4．（2024春•南明区校级期末）四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，添加一个条件　 　 ，则使四边形ABCD成为平行四边形． 5．（2024秋•桐梓县校级期末）已知（如图），在四边形ABCD中AB＝CD，过A作AE⊥BD交BD于点E，过C作CF⊥BD交BD于F，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 6．（2024春•六盘水期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB和CD上，AE＝CF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若BF平分∠ABC，且BC＝5，BE＝3，求▱ABCD的周长． 7．（2023秋•贵阳期末）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，BF∥CE，CF∥BE，BC，EF交于点O． （1）判断四边形BFCE的形状，并说明理由； （2）若过点E作EG∥BC交DC于点G，画出线段EG，判断线段EG与EF的数量关系，并说明理由． 8．（2024春•织金县期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上 （1）给出以下条件；①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO； （2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 9．（2024春•金沙县期末）在四边形ABCD中，AD∥BC．连结对角线AC，BD交于点E，且AE＝CE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）若AC⊥BC，已知AB＝5，AC＝4，求BD的长． 三角形的中位线题型03 1．（2024春•黔东南州期末）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE＝16米，则A、B两点间的距离为（　　） A．30米 B．32米 C．36米 D．48米 2．（2024春•金沙县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（　　） A．45° B．50° C．60° D．65° 3．（2024春•铜仁市期末）如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，D、E分别为AC、BC的中点，连接DE，则DE长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2024春•安顺期末）如图，在△ABC中，AC＝2，∠CAB＝120°，D是BC的中点，E是AB上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为 　 　 ． 5．（2024春•织金县期末）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝6，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E为BC的中点，则DE的长为 　 　 ． 6．（2024春•南明区校级期末）如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证DE＝CF； （2）求EF的长． 矩形的性质题型04 1．（2024秋•威宁县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝BD B．OA＝OC，OB＝OD C．AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC 2．（2024秋•水城区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若BD＝6，则OA的长为（　　） A．3 B． C． D．6 3．（2024秋•观山湖区期末）如图，在长方形ABCD中，若∠DAM＝∠CBM＝45°，AD＝1，则△ABM的周长是 　 　 ． 4．（2024秋•贵州期末）一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是21cm2，则该矩形的面积为（　　） A．60cm2 B．70cm2 C．120cm2 D．140cm2 5．（2024春•安顺期末）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E． （1）求证：四边形CDBE是平行四边形； （2）若AC＝8，求EC的长． 矩形的判定题型05 1．（2024春•黔南州期末）已知AC，BD是▱ABCD的对角线，要判定▱ABCD为矩形，可添加的一个条件是（　　） A．AC＝BD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AB＝CD 2．（2024春•铜仁市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件： ①AB∥CD，②AD＝BC． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形； （2）在（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积． 3．（2024春•铜仁市期末） 学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形ABCD是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面ABCD是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边AD，BC，CD，AB的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形ABCD是不是一个矩形． 【问题解决】 （1）小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，对角线BD的长是100厘米，则四边形ABCD是矩形吗？为什么？ （2）爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形ABCD是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 直角三角形斜边的中线题型06 1．（2024秋•金沙县期末）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为（　　） A．2.4 k m B．3.6 k m C．4.2 k m D．4.8 k m 2．（2024秋•水城区期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是斜边上的中点，连接CD，若CD＝4，则AB＝ 　 　 ． 菱形的性质题型07 1．（2024春•遵义期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若∠B＝60°，AC＝6，则EF的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 2．（2024春•铜仁市期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝140°，则∠DAC等于（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 3．（2024春•贵州期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝120°，BD＝4，则对角线AC的长为（　　） A． B． C．4 D．8 4．（2024春•贵州期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点，连接OE．若AC，BD＝2，则OE的长为 　 　 ． 5．（2024春•铜仁市期末）如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接AE，若AD＝DE，∠AEB＝105°，则∠BAE的度数为 　 　 °． 6．（2024春•安顺期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是　 　 ． 7．（2024春•黔南州期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，以DC为边，在平行四边形ABCD外侧作菱形DCFE，连接AE，BF． （1）求证：四边形ABFE为平行四边形； （2）当时，求BF的长． 菱形的判定题型08 1．（2024秋•贵阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 2．（2024秋•遵义期末）小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形内部框架AECF为菱形． （2）若AE⊥AD，F为DE的中点，，求四边形AECF的周长． 3．（2024秋•遵义期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，∠1＝∠2．有下列条件：①AB＝BC；②AC⊥BD． （1）从①②中任选一个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形； （2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB，求菱形ABCD的面积． 4．（2024春•黔西南州期末）如图1，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD交AE于点D，连接CD，且AB∥DC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如图2，若DM⊥BF交BF于点M，且AC＝8，OM＝5，求菱形的边长． 正方形的性质题型09 1．（2024秋•贵州期末）如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE＝AC，则∠E＝（　　） A．90° B．45° C．30° D．22.5° 2．（2024秋•汇川区期末）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（　　） A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，） 3．（2024秋•金沙县期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PDEC，其中正确的是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 正方形的判定题型10 1．（2024春•铜仁市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，AD∥BC，则下列说法错误的是（　　） A．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B．若BD平分∠ABC，则四边形ABCD是菱形 C．若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 D．若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 2．（2024秋•水城区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，过E点作EF⊥AD于点F，连接AC． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若，求∠DAC的度数． 3．（2024秋•桐梓县校级期末）如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH＝2，连接CF． （1）当DG＝2时，求证：菱形EFGH为正方形； （2）设DG＝x，试用含x的代数式表示△FCG的面积． 1．（2024春•铜仁市期末）如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED，延长BE交AD于点F，若∠DEB＝α，则∠AFE的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•黔南州期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，AC为对角线，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，交AC于点G，点F为BC的中点，连接EF，则EF的长为（　　） A．22 B．22 C．21 D．21 3．（2024春•铜仁市期末）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 4．（2023秋•黔东南州期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝4，点P是一动点，且AP＝2，点Q是BP的中点，则CQ的最小值为 　 　 ． 5．（2024春•黔西南州期末）在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且∠DOC＝120°，AC＝6，BD＝4，则AD+BC的最小值是 　 　 ． 6．（2024春•黔东南州期末）在正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，连接DE，过点D作DF⊥DE（点F在直线DE的下方），且DF＝DE，连接EF． （1）【动手操作】 在图①中画出线段DF，EF；∠ADE与∠CDF的数量关系是：　 　 ； （2）【问题解决】 利用（1）题画出的图形，在图②中试说明B，C，F三点在一条直线上； （3）【问题探究】 取EF的中点P，连接CP，利用图③试求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 题型概览 题型01 平行四边形的性质 题型02 平行四边形的判定 题型03 三角形的中位线 题型04 矩形的性质 题型05 矩形的判定 题型06 直角三角形斜边的中线 题型07 菱形的性质 题型08 菱形的判定 题型09 正方形的性质 题型10 正方形的判定 平行四边形的性质题型01 1．（2024春•安顺期末）如图，将平行四边形ABCD的一边延长至点E，若∠A＝120°，则∠1＝（　　） A．120° B．60° C．50° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝120°， ∴∠BCD＝∠A＝120°， ∴∠1＝180°﹣∠BCD＝60°， 故选：B． 2．（2024春•黔东南州期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若∠ADB＝90°，BD＝6，AD＝4，则AC的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝6，AD＝4， ∴，， ∵∠ADB＝90°， ∴， ∴AC＝2OA＝10， 故选：C． 3．（2024春•黔南州期末）在▱ABCD中，∠B+∠D＝150°，则∠A的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，∠B+∠C＝180°， ∵∠B+∠D＝150°， ∴∠B＝∠D＝75°， ∴∠A＝180°﹣∠B＝180°﹣75°＝105°， 故选：B． 4．（2024春•平桥区期末）在平行四边形ABCD 中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A．1：2：1：2 B．1：2：2：1 C．1：2：3：4 D．1：1：2：2 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴A正确， 故选：A． 5．（2024春•贵阳期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则BC的长可能是（　　） A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OCAC＝3，OBBD＝4， 在△BOC中：4﹣3＜BC＜4+3， 即1＜BC＜7， ∴AB的长可能为6． 故选：D． 6．（2024春•金沙县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝8，BE平分∠ABC交AD于点E，点F是DC的中点，连接EF交BC的延长线于点G，则BG＝　11　 ． 【答案】11． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC＝8，AD∥BC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝5， ∴DE＝3， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠FCG，∠DEF＝∠G， ∵点F是DC的中点， ∴DF＝CF， ∴△EDF≌△GCF（AAS）， ∴DE＝CG＝3， ∴BG＝BC+CG＝8+3＝11， 故答案为：11． 7．（2024春•金沙县校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是　8　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AC的垂直平分线交AD于E， ∴AE＝CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5， ∴△CDE的周长是：DE+DE+CE＝DC+DE+AE＝DC+AD＝3+5＝8． 故答案为：8． 8．（2024春•铜仁市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：连接BF、DE，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA＝OC，OB＝OD ∵E、F分别是OA、OC的中点 ∴OEOA，OFOC ∴OE＝OF ∴四边形BFDE是平行四边形 ∴BE＝DF． 平行四边形的判定题型02 1．（2024春•威宁县期末）下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠C，AB＝CD B．AB＝BC，CD＝AD C．AB＝CD，AD∥BC D．AB＝CD，AB∥CD 【答案】D 【解答】解：A、由∠A＝∠C，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； B、由AB＝BC，CD＝AD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； C、由AB＝CD，AD∥BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； D、由AB＝CD，AB∥CD，能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（2024春•黔西南州期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AB＝DC C．AO＝CO，AB＝DC D．AD∥BC，AB＝DC 【答案】B 【解答】解：∵AB∥DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形， ∴由AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形， 故A不符合题意； ∵AB∥DC，AB＝DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故B符合题意； ∵由AO＝CO，AB＝DC，∠AOB＝∠COD不能证明△AOB与△COD全等， ∴不能证明∠OBA与∠ODC相等，可∠OAB与∠OCD相等， ∴不能证明AB与DC平行， ∴由AO＝CO，AB＝DC不能判定这个四边形是平行四边形， 故C不符合题意； ∵AD∥BC，AB＝DC， ∴四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形， ∴由AD∥BC，AB＝DC不能判定这个四边形是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：B． 3．（2024春•安顺期末）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A．对角线互相平分 B．一组对边平行且相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项能判定； B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；故本选项能判定； C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项能判定； D、一组对边平行，另一组对边相等不一定是平行四边形；故本选项不能判定． 故选：D． 4．（2024春•南明区校级期末）四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，添加一个条件　AD＝BC或AB∥CD　 ，则使四边形ABCD成为平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∴只要添加AD＝BC或AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AD＝BC或AB∥CD． 5．（2024秋•桐梓县校级期末）已知（如图），在四边形ABCD中AB＝CD，过A作AE⊥BD交BD于点E，过C作CF⊥BD交BD于F，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF， ∴∠ABE＝∠CDF， ∴AB∥CD，∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 6．（2024春•六盘水期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB和CD上，AE＝CF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若BF平分∠ABC，且BC＝5，BE＝3，求▱ABCD的周长． 【答案】（1）证明见解析； （2）26． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝5，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CFB， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠CFB＝∠CBF， ∴FC＝BC＝5， ∵AE＝CF＝5， ∴AB＝AE+BE＝5+3＝8， ∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（8+5）＝26． 7．（2023秋•贵阳期末）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，BF∥CE，CF∥BE，BC，EF交于点O． （1）判断四边形BFCE的形状，并说明理由； （2）若过点E作EG∥BC交DC于点G，画出线段EG，判断线段EG与EF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）四边形BFCE是矩形，理由见解答； （2）EGEF，理由见解答． 【解答】解：（1）四边形BFCE是矩形， 理由：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BFCE是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴∠EBC∠ABC，∠BCE∠BCD， ∴∠EBC+∠BCE（∠ABC+∠BCD）180°＝90°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠BCE）＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形BFCE是矩形． （2）如图，过点E作EG∥BC交DC于点G，EGEF， 理由：∵EG∥BC， ∴∠GEC＝∠BCE， ∵四边形BFCE是矩形， ∴EOEF，COBC，且EF＝BC， ∴EO＝CO， ∴∠OEC＝∠BCE＝∠GEC， 在△OCE和△GCE中， ， ∴△OCE≌△GCE（ASA）， ∴EG＝EOEF． 8．（2024春•织金县期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上 （1）给出以下条件；①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO； （2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）选取①②， ∵在△BEO和△DFO中， ∴△BEO≌△DFO（ASA）； （2）由（1）得：△BEO≌△DFO， ∴EO＝FO，BO＝DO， ∵AE＝CF， ∴AO＝CO， ∴四边形ABCD是平行四边形． 9．（2024春•金沙县期末）在四边形ABCD中，AD∥BC．连结对角线AC，BD交于点E，且AE＝CE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）若AC⊥BC，已知AB＝5，AC＝4，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCE， 在△DAE与△BCE中， ， ∴△DAE≌△BCE（ASA）， ∴BE＝DE， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BE＝DE，CE＝AE＝2， ∵AC⊥BC，AB＝5，AC＝4， ∴BC， ∴BE， ∴BD＝2BE＝2． 三角形的中位线题型03 1．（2024春•黔东南州期末）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE＝16米，则A、B两点间的距离为（　　） A．30米 B．32米 C．36米 D．48米 【答案】B 【解答】解：∵D、E分别是AC、BC中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB， ∵DE＝16米， ∴AB＝32米， ∴A、B两点间的距离为32米． 故选：B． 2．（2024春•金沙县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（　　） A．45° B．50° C．60° D．65° 【答案】D 【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∴∠B＝∠CED＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣70°＝65°， 故选：D． 3．（2024春•铜仁市期末）如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，D、E分别为AC、BC的中点，连接DE，则DE长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴， ∵D、E分别为AC、BC的中点， ∴． 故选：B． 4．（2024春•安顺期末）如图，在△ABC中，AC＝2，∠CAB＝120°，D是BC的中点，E是AB上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，延长BA至点F，使AF＝AC，连接CF， ∵∠BAC＝120°， ∴∠CAF＝60°， ∴△ACF为等边三角形， ∴CF＝AC＝2， ∵D是BC的中点， ∴BD＝DC， ∵DE平分△ABC的周长， ∴BE＝AE+AC＝AE+AF＝EF， ∴DE是△BCF的中位线， ∴DECF， 故答案为：． 5．（2024春•织金县期末）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝6，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E为BC的中点，则DE的长为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：如图，延长CD，交AB于F， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠CAD， ∵CD⊥AD， ∴∠ADF＝∠ADC＝90°， 在△ADF和△ADC中， ， ∴△ADF≌△ADC（ASA）， ∴AF＝AC＝6，CD＝DF， ∴BF＝AB﹣AF＝10﹣6＝4， ∵CD＝DF，CE＝EB， ∴DE是△CFB的中位线， ∴DEBF＝2， 故答案为：2． 6．（2024春•南明区校级期末）如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证DE＝CF； （2）求EF的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB，AC中点， ∴DE∥BC，DEBC， ∵CFBC， ∴DE＝CF； （2）解：由（1）知，DE∥BC，DE＝CF ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DC＝EF， ∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2， ∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2， 在Rt△BCD中， ∴DC＝EF． 矩形的性质题型04 1．（2024秋•威宁县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝BD B．OA＝OC，OB＝OD C．AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC， 则A、B、D成立，不符合题意；C不成立，符合题意； 故选：C． 2．（2024秋•水城区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若BD＝6，则OA的长为（　　） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，BD＝6， ∴AC＝BD＝6，OA＝OC， ∴OA＝OCAC＝3， 故选：A． 3．（2024秋•观山湖区期末）如图，在长方形ABCD中，若∠DAM＝∠CBM＝45°，AD＝1，则△ABM的周长是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝1， ∵∠DAM＝∠CBM＝45°， ∴∠AMD＝∠CMB＝∠DAM＝∠CBM＝45°， ∴CM＝BC＝AD＝MD＝1， ∵∠CMB+∠AMD+∠AMB＝180°， ∴∠AMB＝180°﹣∠CMB﹣∠AMD＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 在Rt△ACM和Rt△ADM中，由勾股定理得： ， 在Rt△ABM中，由勾股定理得： ， ∴△ABM的周长＝AB+BM+AM， 故答案为：． 4．（2024秋•贵州期末）一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是21cm2，则该矩形的面积为（　　） A．60cm2 B．70cm2 C．120cm2 D．140cm2 【答案】A 【解答】解：∵黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%； ∴矩形的面积＝21÷（50%﹣15%） ＝21÷35% ＝60（cm2）． 故选：A． 5．（2024春•安顺期末）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E． （1）求证：四边形CDBE是平行四边形； （2）若AC＝8，求EC的长． 【答案】（1）见解析； （2）8． 【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD， ∵CE∥DB， ∴四边形DCEB是平行四边形， （2）解：在矩形ABCD中，AC＝BD， ∵四边形CDBE是平行四边形， ∴BD＝CE， ∵AC＝BD， ∴AC＝CE， ∵AC＝8， ∴EC＝AC＝8． 矩形的判定题型05 1．（2024春•黔南州期末）已知AC，BD是▱ABCD的对角线，要判定▱ABCD为矩形，可添加的一个条件是（　　） A．AC＝BD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AB＝CD 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， 故选：A． 2．（2024春•铜仁市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件： ①AB∥CD，②AD＝BC． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形； （2）在（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）选择①，证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； 选择②，证明：∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝3，AC＝5， ∴BC4， ∴四边形ABCD的面积＝AB•BC＝3×4＝12． 3．（2024春•铜仁市期末） 学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形ABCD是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面ABCD是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边AD，BC，CD，AB的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形ABCD是不是一个矩形． 【问题解决】 （1）小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，对角线BD的长是100厘米，则四边形ABCD是矩形吗？为什么？ （2）爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形ABCD是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】解：（1）∵AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，对角线BD的长是100厘米， ∴AD2+AB2＝602+802＝1002＝BD2， ∴∠A＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形； （2）小华的检验方法是：检测对角线AC、BD是不是相等即可， 理由：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． 直角三角形斜边的中线题型06 1．（2024秋•金沙县期末）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为（　　） A．2.4 k m B．3.6 k m C．4.2 k m D．4.8 k m 【答案】A 【解答】解：∵公路AC、BC互相垂直， ∴∠ACB＝90°， ∵M为AB的中点， ∴， ∵AB＝4.8 km， ∴CM＝2.4（ km），即M，C两点间的距离为2.4 km， 故选：A． 2．（2024秋•水城区期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是斜边上的中点，连接CD，若CD＝4，则AB＝ 　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是斜边上的中点，CD＝4， ∴AB＝2CD＝8， 故答案为：8． 菱形的性质题型07 1．（2024春•遵义期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若∠B＝60°，AC＝6，则EF的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝6， ∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF6＝3， 故选：A． 2．（2024春•铜仁市期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝140°，则∠DAC等于（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝140°， ∴∠DAB＝180°﹣140°＝40°， ∴∠DAC20°， 故选：C． 3．（2024春•贵州期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝120°，BD＝4，则对角线AC的长为（　　） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝120°，BD＝4， ∴∠BAD＝60°，AD＝AB， 则△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠DACBAD＝30°， 故AO＝4cos30°＝2， ∴AC＝2AO＝4． 故选：A． 4．（2024春•贵州期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点，连接OE．若AC，BD＝2，则OE的长为 　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，ODBD，OCAC， ∵AC，BD＝2， ∴OD＝1，OC， ∴CD2， ∵点E为边CD的中点， ∴OECD＝1． 故答案为：1． 5．（2024春•铜仁市期末）如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接AE，若AD＝DE，∠AEB＝105°，则∠BAE的度数为 　45　 °． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠AEB＝105°， ∴∠AED＝75°， ∵AD＝DE， ∴∠AED＝∠EAD＝75°， ∴∠ADB＝30°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB＝30°， ∴∠BAE＝∠AED﹣∠ABD＝45°， 故答案为：45． 6．（2024春•安顺期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是　20°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC， ∵DH⊥AB， ∴DH⊥CD，∠DHB＝90°， ∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线， ∴OH＝OD＝OB， ∴∠BDH＝∠DHO， ∵DH⊥CD， ∴∠BDH+∠CDO＝90°， ∵BD⊥AC， ∴∠CDO+∠DCO＝90°， ∴∠BDH＝∠DCO， ∴∠DHO＝∠DCA， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC， ∴∠CAD＝∠DCA＝20°， ∴∠DHO＝20°， 故答案为：20°． 7．（2024春•黔南州期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，以DC为边，在平行四边形ABCD外侧作菱形DCFE，连接AE，BF． （1）求证：四边形ABFE为平行四边形； （2）当时，求BF的长． 【答案】（1）见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵四边形DCFE是菱形， ∴CD∥EF，CD＝EF， ∴AB∥EF，AB＝EF， ∴四边形ABFE为平行四边形； （2）解：过点E作EG⊥AD，交AD的延长线于G， ∵∠ADE＝135°， ∴∠EDG＝180°﹣135°＝45°， ∵四边形ABCD为平行四边形，四边形DCFE是菱形， ∴AD＝BC＝4，AB＝CD，DE＝CD＝AB＝2， 在Rt△DEG中，DG2+EG2＝DE2，∠DEG＝90°﹣45°＝∠EDG， ∴DG＝EG2， ∴AD+DG＝4+2＝6， 在Rt△AEG中，AG2+EG2＝AE2， ∴AE2． 由（1）知，四边形ABFE为平行四边形， ∴BF＝AE＝2． 菱形的判定题型08 1．（2024秋•贵阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 【答案】（1）证明见解答； （2）平行四边形ABCD是菱形，理由见解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）． （2）解：平行四边形ABCD是菱形， 理由：由（1）得△ABE≌△ADF， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 2．（2024秋•遵义期末）小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形内部框架AECF为菱形． （2）若AE⊥AD，F为DE的中点，，求四边形AECF的周长． 【答案】（1）见解析； （2）24． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC． ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：∵AE⊥AD， ∴△ADE是直角三角形， ∵F为DE的中点， ∴AF＝EF＝DF． ∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝AF， ∴AE＝EF＝AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝∠AFE＝60°， 又∵AE⊥AD． ∴∠EAD＝90°． ∴∠ADE＝30°， ∴DE＝2AE． ∵四边形ABCD为菱形． ∴． 在Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2， ∴ ∴AE＝6（负值舍去）． ∵四边形AECF为菱形， ∴菱形AECF的周长为4×6＝24． 3．（2024秋•遵义期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，∠1＝∠2．有下列条件：①AB＝BC；②AC⊥BD． （1）从①②中任选一个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形； （2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB，求菱形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形； 当选择①时： ∵AB＝BC，四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为菱形； 当选择②时： ∵AC⊥BD，四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为菱形； （2）解：由题意可得：BD平分∠ABC，AC⊥BD， ∴∠ABO＝30°， ∴， ∴， ∴， ∴菱形ABCD的面积为． 4．（2024春•黔西南州期末）如图1，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD交AE于点D，连接CD，且AB∥DC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如图2，若DM⊥BF交BF于点M，且AC＝8，OM＝5，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析过程； （2）． 【解答】（1）证明：∵AE∥BF，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AE∥BF， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝COAC＝4，BO＝DO，AC⊥BD， ∵DM⊥BC， ∴OM＝OB＝OD＝5， ∴BC， ∴菱形的边长为． 正方形的性质题型09 1．（2024秋•贵州期末）如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE＝AC，则∠E＝（　　） A．90° B．45° C．30° D．22.5° 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCA＝∠ACD＝45°， ∵CE＝CA， ∴∠CAE＝∠E， ∵∠BCA＝∠E+∠CAE， ∴∠E＝∠CAE＝22.5°， 故选：D． 2．（2024秋•汇川区期末）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（　　） A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，） 【答案】D 【解答】解：∵AD′＝AD＝2， AOAB＝1， ∴OD′， ∵C′D′＝2，C′D′∥AB， ∴C′（2，）， 故选：D． 3．（2024秋•金沙县期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PDEC，其中正确的是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：过P作PG⊥AB于点G，如图， ∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点， ∴GP＝EP， 在△GPB中，∠GBP＝45°， ∴∠GPB＝45°， ∴GB＝GP， 同理，得 PE＝BE， ∵AB＝BC＝GF， ∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB， ∴AG＝PF， ∴△AGP≌△FPE（SAS）， ∴AP＝EF， ∴结论①正确； ∵△AGP≌△FPE， ∴∠PFE＝∠GAP ∴∠PFE＝∠BAP， ∴结论③正确； ②延长AP到EF上于一点H， ∴∠PAG＝∠PFH， ∵∠APG＝∠FPH， ∴∠PHF＝∠PGA＝90°， 即AP⊥EF； ∴结论②正确； ∵GF∥BC， ∴∠DPF＝∠DBC， 又∵∠DPF＝∠DBC＝45°， ∴∠PDF＝∠DPF＝45°， ∴PF＝EC， 在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2， ∴PDEC， ∴结论④正确； 故选：D． 正方形的判定题型10 1．（2024春•铜仁市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，AD∥BC，则下列说法错误的是（　　） A．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B．若BD平分∠ABC，则四边形ABCD是菱形 C．若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 D．若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 【答案】D 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ADO＝∠CBO， ∵OA＝OC，∠AOD＝∠BOC， 在△AOD和△COB中， ， ∴△AOD≌△COB（AAS）， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形，故A选项不符合题意； 若BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， 则四边形ABCD是菱形，故B选项不符合题意； 若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形，故C选项不符合题意； 若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形，故D选项符合题意； 故选：D． 2．（2024秋•水城区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，过E点作EF⊥AD于点F，连接AC． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若，求∠DAC的度数． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）22.5°． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠FAB＝∠ABE＝90°，AF∥BE， ∵EF⊥AD， ∴∠FAB＝∠ABE＝∠AFE＝90°， ∴四边形ABEF是矩形， ∵AE平分∠BAD，AF∥BE， ∴∠FAE＝∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴四边形ABEF是正方形； （2）解：∵四边形ABEF是正方形， ∴AEBE，∠FAE＝45°， ∵CEBE， ∴AE＝CE， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵AF∥BC， ∴∠DAC＝∠ECA＝∠EAC， ∴∠DAC＝22.5°． 3．（2024秋•桐梓县校级期末）如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH＝2，连接CF． （1）当DG＝2时，求证：菱形EFGH为正方形； （2）设DG＝x，试用含x的代数式表示△FCG的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：在△HDG和△AEH中， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴HG＝HE， ∵DG＝AH＝2， ∴Rt△HDG≌Rt△AEH， ∴∠DHG＝∠AEH， ∴∠DHG+∠AHE＝90° ∴∠GHE＝90°， ∴菱形EFGH为正方形； （2）解：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE ∵CD∥AB， ∴∠AEG＝∠MGE， ∵GF∥HE， ∴∠HEG＝∠FGE， ∴∠AEH＝∠FGM， 在Rt△AHE和Rt△GFM中， ∵， ∴Rt△AHE≌Rt△GFM， ∴MF＝2， ∵DG＝x， ∴CG＝6﹣x． ∴S△FCGCG•FM＝6﹣x． 1．（2024春•铜仁市期末）如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED，延长BE交AD于点F，若∠DEB＝α，则∠AFE的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB＝∠DAC＝45°， 在△DCE和△BCE中， ， ∴△DCE≌△BCE（SAS）， ∴∠DEC＝∠BEC， ∵∠DEB＝α， ∴∠BEC， ∴∠AEF＝∠BEC， ∴∠AFE＝180°﹣∠AEF﹣∠DAC＝180°45°＝135°， 故选：A． 2．（2024春•黔南州期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，AC为对角线，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，交AC于点G，点F为BC的中点，连接EF，则EF的长为（　　） A．22 B．22 C．21 D．21 【答案】A 【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠GAE， ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠AEG＝90°， 在△AEB和△AEG中， ， ∴△AEB≌△AEG（ASA）， ∴AB＝AG，BE＝GE， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°， ∴AG＝4， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC， ∴CG＝AC﹣AG， ∵BE＝GE，点F为BC的中点， ∴EF是△BGC的中位线， ∴EF， 故选：A． 3．（2024春•铜仁市期末）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解答】解：结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4， ∴当点P运动到点B时，PO＝BO＝2， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°， ∴， 当点P运动到BC中点时，PO的长为， 故选：C． 4．（2023秋•黔东南州期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝4，点P是一动点，且AP＝2，点Q是BP的中点，则CQ的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】 解：如图，取AB的中点D，连接DQ，则CQ≥CD﹣DQ， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝4， ∴， ∴， ∵点Q是BP的中点，AP＝2， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2024春•黔西南州期末）在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且∠DOC＝120°，AC＝6，BD＝4，则AD+BC的最小值是 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：以DA、DB为邻边构造▱ADBM，过C作CN⊥AM． ∴AM＝DB＝4，BM＝AD，∠NAC＝∠COB＝180°﹣∠DOC＝60°， ∴ANAC＝3， ∴CNAN＝3， ∴NM＝AM﹣AN＝1， ∴CM2． ∵BC+BM≥CM， ∴AD+BC＝BM+BC最小值＝2． 6．（2024春•黔东南州期末）在正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，连接DE，过点D作DF⊥DE（点F在直线DE的下方），且DF＝DE，连接EF． （1）【动手操作】 在图①中画出线段DF，EF；∠ADE与∠CDF的数量关系是：　∠ADE＝∠CDF　 ； （2）【问题解决】 利用（1）题画出的图形，在图②中试说明B，C，F三点在一条直线上； （3）【问题探究】 取EF的中点P，连接CP，利用图③试求的值． 【答案】（1）图形见解答过程；∠ADE＝∠CDF，理由见解答过程； （2）答案见解答过程； （3）． 【解答】（1）解：根据题意画出图形如图1所示： ∠ADE与∠CDF的数量关系是：∠ADE＝∠CDF，理由如下： ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠EDC＝90°， ∵DF⊥DE， ∴∠EDC+∠CDF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF； （2）证明：连接CF，如图2所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴DA＝DC＝BC，∠A＝∠DCB＝∠ABC＝90°， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴∠DCF＝∠A＝90°， ∴∠BCF＝∠DCB+∠DCF＝90°+90°＝180°， ∴B，C，F三点在一条直线上； （3）连接PD，PB，过点P作PH⊥BC于H，如图3所示： ∵DF⊥DE，∠ABC＝90°， ∴△DEF和△BEF均为直角三角形， ∵点P为EF的中点， ∴PDEF，PBEF， ∴PD＝PB， 在△PDC和△PBC中， ， ∴△PDC≌△PBC（SSS）， ∴∠DCP＝∠BCP∠DCB＝45°， ∵PH⊥BC， ∴△PCH为等腰直角三角形， 设PH＝CH＝a， 由勾股定理得：CP， ∵PH⊥BC，∠ABH＝90°， ∴AB∥PH， 又∵点P为EF的中点， ∴PH为△BEF的中位线， ∴BE＝2PH＝2a， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$