精品解析：安徽省六安市舒城晓天中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

晓天中学2025年春学期第一次质量检测 高二数学（试题卷） 考试时间：120分钟，满分150分 命题范围：一元函数的导数及其应用、两个基本计数原理、排列与组合. 一.单选题（每题5分，共40分） 1. 下列图象中，有一个是函数（，且）的导函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，则和的值分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 4. 已知，则曲线在点处切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 函数，则 A. B. C. D. 6. 定义在上可导函数的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是（ ） A. 是函数一个零点 B. 是函数的极大值点 C. 单调递增区间是 D. 无最小值 7. 若函数在处有极大值，则　　 A. 9 B. 3 C. 3或9 D. 以上都不对 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 如图是函数y=f（x）的导数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在（-3，1）内f（x）是增函数 B. 在x=1时f（x）取得极大值 C. 在（4，5）内f（x）是增函数 D. 在x=2时f（x）取得极大值 10. 给出下列四个关系式，其中正确为（   ） A. B. C D. 11. 是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，，，则错误的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数在处的切线方程为__________________________． 13. 将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案方法种数为______（用数字作答）. 14. 设是曲线上的动点，且.则的取值范围是__________. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 求下列函数的导数： （1） （2） 16. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. 17. 设曲线在点处的切线与轴，轴围成的三角形面积为． （1）求切线的方程； （2）求的解析式． 18. （1）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，求； （2）已知是函数的一个极值点，求. 19. 求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 晓天中学2025年春学期第一次质量检测 高二数学（试题卷） 考试时间：120分钟，满分150分 命题范围：一元函数的导数及其应用、两个基本计数原理、排列与组合. 一.单选题（每题5分，共40分） 1. 下列图象中，有一个是函数（，且）的导函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax，故函数不是偶函数，得到函数的图象． 【详解】， 导函数的图象开口向上． 又， 不是偶函数，其图象不关于y轴对称，其图象必为③， 由图象特征知， 且对称轴， ． 故． 故选：B． 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导后，代入即可. 【详解】，. 故选：B. 3. 设函数，则和的值分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】D 【解析】 【分析】求得，即可求得、的值. 【详解】，则，则，故，. 故选：D. 4. 已知，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出在点处的导数即为切线的斜率，直接写出切线方程即可. 【详解】因为，所以，， 所以切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为， 故选：D. 5. 函数，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出函数的导数，计算即可求值. 【详解】因为， 所以， ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数导数求导公式、法则，属于容易题. 6. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是（ ） A. 是函数的一个零点 B. 是函数的极大值点 C. 的单调递增区间是 D. 无最小值 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得出函数的单调区间，进而得出函数的极值点、最值点，即可得出答案. 【详解】对于A项，由已知图象，仅可得出函数的单调性以及极值点，并不能得出函数的值，故A项错误； 对于B项，由已知图象可知， 当时，，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以是极小值点，无极大值点，故B项错误； 对于C项，由B可知，上单调递增，故C正确； 对于D项，由B可知，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以D错误. 故选：C. 7. 若函数在处有极大值，则　　 A. 9 B. 3 C. 3或9 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据在处的导数为0求得c，然后验证函数是否在处取得极大值即可. 【详解】 因为若函数在处有极大值， 所以，解得或， （1）当时，， 当时，，当时，，则函数在处取得极小值（舍去）； （2）当时，， 当时，，当时，，则函数在处取得极大值，综上，. 故选：A. 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求导数，利用单调性转化为，构造新函数求解的最小值即可. 【详解】，由题意可知在恒成立， 即恒成立， 设， 时，，为减函数； 时，，为增函数； 最小值为，所以， 故选：A. 【点睛】利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解： （1）在区间上单调递增等价于在区间上恒成立； （2）在区间上单调递减等价于在区间上恒成立. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 如图是函数y=f（x）的导数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在（-3，1）内f（x）是增函数 B. 在x=1时f（x）取得极大值 C. 在（4，5）内f（x）是增函数 D. 在x=2时f（x）取得极大值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可. 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，在（﹣3，）上，， f（x）为减函数，A错误； 对于B，在（，2）上，，f（x）为增函数， x＝1不是f（x）的极大值点，B错误； 对于C，在（4，5）上，，f（x）为增函数，C正确； 对于D，在（，2）上，，f（x）为增函数， 在（2，4）上，，f（x）为减函数， 则在x＝2时f（x）取得极大值，D正确； 故选：CD． 10. 给出下列四个关系式，其中正确为（   ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据排列数公式、组合数公式以及阶乘的定义，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于选项A：根据阶乘的定义可知， 等式两边同时除以，可得，所以该选项正确. 对于选项B：根据排列数公式，. 则，所以该选项正确. 对于选项C：根据排列数公式，组合数公式. 则，所以该选项错误. 对于选项D：根据排列数公式，所以该选项错误. 故选：AB. 11. 是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，，，则错误的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，求函数的导函数，可得在上单调递减，再根据指数函数、对数函数的性质判断、、的大小，最后根据函数的单调性比较大小即可. 【详解】令，得， 由时，，得，在上单调递减， 又，，， 可得，故，故. 故选：ABD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数在处的切线方程为__________________________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，而，，所以切线方程为，故填：. 考点：导数的几何意义 13. 将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案方法种数为______（用数字作答）. 【答案】24 【解析】 【分析】先安排甲同学，再利用分类加法原理结合分组安排剩余的三个同学，最后由分步乘法原理求解即可. 【详解】甲同学不能分配到A班，则甲可以分配到B、C班，有2种方法， 另外三个同学可以在三个位置排列有情况， 也可以从三个中选两个为一组，再排列有情况， 所以不同的分配方案为利用乘法计数原理为. 故答案为：24 14. 设是曲线上的动点，且.则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由当PA垂直于在点P处的切线时，取得最小值列式可得,代入中解不等式即可. 【详解】∵，∴， 设点，则在点P处的切线斜率为， ∵，即：当且仅当PA垂直于切线时，取得最小值， 又∵， ∴，即：，① ∴，即：，② ∴由①②得：，解得：或， 又∵由①知，， ∴，即：，解得：， ∴. 故答案为：. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 求下列函数的导数： （1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据复合函数的求导法则可得结果. （2）同样根据复合函数的求导法则可得结果. 【详解】（1）令，，则， 而，，故. （2）令，，则， 而，，故， 化简得到 【点睛】本题考查复合函数的导数，此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合，再根据复合函数的求导法则可得所求的导数，本题属于容易题. 16. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）应用基本初等函数的导数公式及导数的运算法则对各函数求导即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 17. 设曲线在点处的切线与轴，轴围成的三角形面积为． （1）求切线的方程； （2）求的解析式． 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义，即可得到结果； （2）根据题意，由切线方程可得与轴，轴的交点坐标，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，则，可得在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即. 【小问2详解】 令，则，令，则， 所以，. 18. （1）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，求； （2）已知是函数的一个极值点，求. 【答案】（1）32；（2）12 【解析】 【分析】（1）利用导数求出最值，然后可得； （2）求导，由求得，然后验证满足题意即可. 【详解】（1）令，得或， 列表得： 2 3 ＋ 0 - 0 ＋ 17 极大值24 极小值 可知，， ∴. （2）∵， ∴，∴， ∴， ∴， 令，或， 当时，， 当时，， 所以的单调增区间是，单调减区间是， 所以是函数的一个极值点，符合题意， 所以. 19. 求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先把函数化简成分数指数幂的形式，再根据基本初等函数的求导公式和导数运算法则求导即可. （2）根据基本初等函数的求导公式和导数运算法则求导即可. （3）根据基本初等函数的求导公式和导数运算法则求导即可. （4）根据基本初等函数的求导公式和导数运算法则求导即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$