12.1 三角形（七大题型提分练）（题型专练）数学新教材青岛版七年级下册

12.1 三角形（七大题型提分练） 题型一 三角形的概念 1．观察下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．图中以为边的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在中，的对边是（    ） A． B． C． D． 4．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则图中以为公共角的“共角三角形”有（     ）对. A．6 B．9 C．12 D．15 5．有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（    ） A．个 B．个 C．个或个 D．个 6．如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ． 7．如图，中，与的夹角是 ，，的公共边是 ．    8．如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 9．观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 题型二 三角形的分类 1．三角形按边可分为（    ） A．钝角三角形、等边三角形 B．三边都不相等的三角形、等边三角形 C．等腰三角形、等边三角形 D．等腰三角形、三边都不相等的三角形 2．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 3．一个三角形的三个内角中最小的一个是，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 4．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．一个三角形三个内角度数的比是，按角分，这是一个 三角形；按边分，这是一个 三角形． 6．若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 7．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．判断有一个内角是的直角三角形 “准等边三角形”．（填 “是”或“不是”） 8．把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 9．已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状． 题型三 直角三角形的性质与判定 1．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，垂足为点D，则下列说法错误的是（  ） A．与互为余角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为余角 4．如图，，，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 5．在中，，，则 ．   6．在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有 个． 7．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 ． 8．如图，在中，，是的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 9．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状；(2)判断是否与垂直． 题型四 三角形的内角和及其推导 1．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 2．定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图1，有锐角．求证：．    证法1：如图2，过点C作． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等量代换） 即． 证法2：如图3，延长到点E， ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∵（邻补角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1严谨地推理证明了该定理 C．证法2简单合理地证明了该定理 D．在证明该定理时不能同时添加证法1与证法2中的辅助线 3．在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 4．在中，， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    6．如图，已知交于点，且，则 ． 7．如图， 和 是 和 的平分线，，则 = 度. 8．通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 9．阅读材料：为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法回答下列问题：    (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是（    ） A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用③或④证明三角形的内角和为． 10．小学我们通过度量或剪拼的方法可以验证三角形的内角和等于，但是，这种“验证”不是“数学证明”，又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法——验证，所以需要推理的方法去证明．从三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角的操作过程，小聪发现了证明的思路：为了证明三个角的和为，利用转化思想将三角形的三个内角转化为一个平角或同旁内角互补，这种方法也是数学中的常用方法，具体可按如下几种做法操作，如图（1）、（2）（3）、（4）．小聪的证明过程如下： 已知：．求证：． 证明：过点A作， （两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， ，． (1)经历以上四种不同的方法的推理活动，我们可以获得以下哪些基本的活动经验：__________（填序号） ①四种辅助线分别从三角形的顶点、边上的点和平面上的点构造平行线，遵循了我们研究问题从特殊到一般的规律； ②四种辅助线分别构造一条、两条、三条平行线，符合知识的形成规律和学生的认知规律； ③本题渗透了将三角形的三个内角转化为一个平角或同旁内角互补的转化思想； ④三角形的内角和为我们将来学习四边形和更多边形得内角和提供了依据． (2)小明用了不同的方法，过D作，作，如图（2），请你写出证明过程． 题型五 三角形的外角的概念和性质 1．如图，下列角中是的外角的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的一个外角，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点在边上（不与端点重合），连接．则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，则 ． 6．如图，把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角 度． 7．如图，在中，点D，E分别在上，相交于点F．求． 解：是的一个外角（已知）， ( )． 又( )， ( )， 即． 8．如图，点是的内角和外角的平分线的交点，试探究与之间的数量关系． 9．如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数． 10．如图，在中，，P为上一点，且，求的度数．（请用两种方法来解决问题） 11．如图是一个“飞镖形”四边形ABDC．用两种不同的方法证明． 题型六 三角形的三边关系 1．下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 2．如图，折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（） A． B． C． D． 3．将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 4．在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 5．给出三条线段： 、、；三边之比为； 、、； 、、．其中能组成三角形的有 （填序号）． 6．若一个两边相等的三角形的两边分别是和，则其周长是 ． 7．若的边长均为整数，且最长边等于5，最短边等于3，则第三条边长等于 ． 8．已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)填空：______0，______0，______0．（填“>”“<”或“=”） (2)化简：． 9．已知的三边长为9，4，x． (1)求x的取值范围； (2)当的周长为奇数时，求x． 10．数学课本第29页复习题的第9题如下： 如图1，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得________，________．将不等式左边、右边分别相加，得________，即________． (1)补全上面步骤； (2)仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交，于M，N，证明：． 题型七 三角形的角平分线、中线和高线 1．下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 2．若线段是的边上的中线，下列结论错误的是（    ） A． B． C．点D是边BC的中点 D． 3．如图，李笑用铅笔尖可以支起一张均匀的三角形硬纸板，则他支起的这个点应是三角形的（    ）    A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．最长边的中点 4．如图，在中，，则下列说法中，正确的是（　　） A．是的中线 B．是的角平分线 C．是的高线 D．是的中线 5．下列说法错误的是（    ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条中线一定在三角形的内部 C．三角形的三条高不一定相交 D．三角形的三条角平分线必定交于一点 6．如图，是的 边上的高；在中，是 上的高，还是 的高；是 的 边上的高． 7．如图，在△中，是边上的中线，△的周长比△的周长多2，若，则的长为 ． 8．如图，中，，为的中点，连接并延长交于点，为上一点，且于点．下列判断，其中正确的有 个． ①是中边上的中线；②既是中的平分线，也是中的平分线；③既是中边上的高，也是中边上的高． 9．如图，已知△ABC． (1)画角平分线BD；(2)画中线CE；(3)画高AD． 10．作图题：如图所示是一块三角形优质土地，现引进良种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你设计分法方案． 11．如图，在中，，，是的高，是的角平分线，求的度数．    12．如图，在中，为的平分线，交于点．    (1)求的度数； (2)请你画出的中线，再找出的中点，连接．若，求的面积． 1．用三角板画的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 2．三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 3．下列说法中错误的是（      ） A．三角形的三个内角中至少有两个角是锐角 B．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 C．一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于 D．如果三角形的两个内角之和小于，那么这个三角形是钝角三角形 4．如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 5．如图是，两片木片放在地面上的情形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 6．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在中，，的中线将这个三角形的周长分为9和15两个部分，则长为（　　） A．12 B．4 C．12或4 D．6或10 8．满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（   ） A． B．， C．，， D．，， 9．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 10．下列说法中，不正确的个数是（  ） ①只有一条高在三角形内部的三角形是钝角三角形 ②三角形的角平分线是射线，中线是直线，高是线段 ③等腰三角形的高、中线、角平分线共有7条 ④等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形： ； （2）如图，线段BC是 和 的边； （3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ； （4）如图，是 的外角． 12．等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 13．如图，于点交于点，交于点．若，则图中的直角三角形有 个． 14．如图，在中，分别是的中点，，则 ． 15．如图，是的角平分线，如果，，那么 ． 16．如图， ． 17．用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ． 18．在中，为边上的高，，，则是 度． 19．如图，在中，分别是上的点，连接交于点    (1)图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 20．如图，在中，是的平分线，是边上的高，且，，求和的度数．    21．在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 22．如图所示，P是内一点，延长交于点D，连接． (1)、、的大小关系是：______＞______＞______； (2)若，，，嘉嘉想求的度数，请你补全下列思路并帮助嘉嘉完成求解． 思路：先利用三角形外角求出______的度数，再利用三角形______（填“内”或“外”）角求出的度数． 23．已知，的三边长为． (1)求△ABC的周长的取值范围； (2)当△ABC的周长为偶数时，求x． 24．如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 25．阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 26．阅读下列材料，并完成相应的任务. 基本性质：三角形中线等分三角形的面积. 如图，是的边上的中线， 则 理由：过点作于点 ∵是的边上的中线. ∴又∵， ∴ ∴三角形中线等分三角形的面积. 任务：（1）如图，延长的边到点，使，连接，则和的数量关系为_________. （2）如图，点是的边上任意一点，点分别是线段，的中点，且的面积为，请同学们借助上述结论求的面积. 27．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求 的度数； ③如图4，求图中五角星五个“角”的和． 28．【探究三角形中边与角之间的不等关系】学习了等腰三角形，我们知道在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 下面是丫丫同学的证明过程． 如图1，在中，已知．求证． 证明：如图2，将折叠，使边落在上，点C落在上的点处，折痕交于点D．则． ∵ ① （ ② ） ∴ ∴（等量代换） 类似地，应用这种方法可以证明“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”的问题． 下面是小鹿同学的证明过程． 如图3，在中，已知．求证． 证明：如图4，将折叠，使点B落在点C上，折痕交于点D，交于点E．则． ∵（ ③ ） ∴（等量代换） 即 请大家将上述证明空白部分补充完整． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.1 三角形（七大题型提分练） 题型一 三角形的概念 1．观察下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 2．图中以为边的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：以为边的三角形有，共3个， 故选：C． 3．如图，在中，的对边是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：在中，的对边是． 故选：C． 4．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则图中以为公共角的“共角三角形”有（     ）对. A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】A 【解析】解：含有的三角形共有4个，即； 因此共有6对，分别为①；②；③；④即；⑤；⑥即； 故选：A． 5．有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（    ） A．个 B．个 C．个或个 D．个 【答案】B 【解析】解：∵这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角， ∴共有个三角形，且有个直角三角形，个钝角三角形， ∴有个锐角三角形， 故选：B． 6．如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ． 【解析】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：；；． 7．如图，中，与的夹角是 ，，的公共边是 ．    【解析】解：与的夹角是，，的公共边是， 故答案为：，，． 8．如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【解析】在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：；． 9．观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 【解析】（1）图中有7个三角形，分别是，，，，，，． （2）的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，． （3）以为内角的三角形有，，． （4）以AB为边的三角形有，，． 题型二 三角形的分类 1．三角形按边可分为（    ） A．钝角三角形、等边三角形 B．三边都不相等的三角形、等边三角形 C．等腰三角形、等边三角形 D．等腰三角形、三边都不相等的三角形 【答案】D 【解析】钝角三角形属于按角分类，故本选项不符合题意； 三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形里包括等边三角形和只有两边相等的三角形，故本选项不符合题意； 三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形里包括等边三角形和只有两边相等的三角形故本选项不符合题意； 三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【解析】解：三角形的另一个角的度数为， ∴这个三角形是等腰三角形， 故选：D． 3．一个三角形的三个内角中最小的一个是，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【解析】不妨设中的最小角，最大角为，则 即：三角形最大角为锐角． 故三角形一定为锐角三角形． 故选：B． 4．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 5．一个三角形三个内角度数的比是，按角分，这是一个 三角形；按边分，这是一个 三角形． 【解析】解：因为三角形的内角和是，且三角形三个内角的度数比是， 所以这个三角形的三个内角度数分别为：． 故按角分这是一个锐角三角形，按边分这是一个等腰三角形． 故答案为：锐角，等腰． 6．若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 【解析】解：设三角形三边的长度比为， 则：， 解得： ∴ 故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm；②等腰． 7．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．判断有一个内角是的直角三角形 “准等边三角形”．（填 “是”或“不是”） 【解析】解：∵有一个内角是的直角三角形， ∴三角形有一个角为， ∵， ∴是“准等边三角形”； 故答案为：是． 8．把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【解析】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 9．已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状． 【解析】解：∵， ∴，， ∴a=b=c， ∴ 是等边三角形． 题型三 直角三角形的性质与判定 1．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A，，是直角三角形，不合题意； B，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意； C，，则，是直角三角形，不合题意； D，，则，是直角三角形，不合题意； 故选：B． 2．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．如图，已知，，垂足为点D，则下列说法错误的是（  ） A．与互为余角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为余角 【答案】D 【解析】解：∵， ∴，， 故与互为余角，与互为余角，故A、B正确，不符合题意； ∵， ∴，， 故与互为余角，与互为余角，故C正确，不符合题意，D不正确，符合题意； 故选：D． 4．如图，，，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 5．如图，在中，，，则 ．   【解析】解：∵在中，， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有 个． 【解析】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故小题正确； ②∵， ∴最大角， 故小题正确； ③∵， ∴， ∴， 故小题正确； 综上所述，是直角三角形的是①②③共3个． 故答案为：3个． 7．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 ． 【解析】解：∵，， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时， ∴， ∴； 故答案为：或． 8．如图，在中，，是的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 【解析】（1） ，是高， ， 图中有个直角三角形，分别是，，； （2） ∆，，是直角三角形，且、、是直角， ，， ． 9．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【解析】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型四 三角形的内角和及其推导 1．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【答案】C 【解析】解：∵铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后， ∴三次旋转的角度为， ∵笔尖方向由点A到点B变为点B到点A， ∴旋转角度之和为， 即． 故选：C． 2．定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图1，有锐角．求证：．    证法1：如图2，过点C作． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等量代换） 即． 证法2：如图3，延长到点E， ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∵（邻补角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1严谨地推理证明了该定理 C．证法2简单合理地证明了该定理 D．在证明该定理时不能同时添加证法1与证法2中的辅助线 【答案】A 【解析】解：证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整，故选项A正确，B错误， 三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明，证法2不能证明该定理，故选项C错误，不符合题意； 如图，延长到点E，过点C作，    ∴， ∴， ∴在证明该定理时能同时添加证法1与证法2中的辅助线，故选项D错误，不符合题意， 故选：A． 3．在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【解析】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D． 4．在中，， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴ 解得：， 故选：A． 5．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【解析】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 6．如图，已知交于点，且，则 ． 【答案】64° 【解析】解：：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠COB=180°，∠AOD=∠COB ∴∠A+∠D=∠C+∠B， ∴∠D=∠C+∠B-∠A=64°； 故答案为：64°． 7．如图， 和 是 和 的平分线，，则 = 度. 【解析】解：∵BP、CP分别是△ABC的角平分线 ∴∠ABP=∠CBP，∠ACP=∠PCB； ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠A+2∠CBP+2∠PCB=180°； 又∵∠A=88°， ∴∠CBP+∠PCB=46°； 在△BPC中， 又∵∠BPC+∠CBP+∠PCB=180°， ∴∠BPC=134°． 故答案为134°． 8．通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【解析】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 9．阅读材料：为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法回答下列问题：    (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是（    ） A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用③或④证明三角形的内角和为． 【解析】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，应用的数学思想是转化思想． 故选：A． （2）选用④证明三角形的内角和为，理由如下： 如图所示，延长，在延长线上取一点．    ∵， ∴，． 又， ∴， 即三角形的内角和为． 10．小学我们通过度量或剪拼的方法可以验证三角形的内角和等于，但是，这种“验证”不是“数学证明”，又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法——验证，所以需要推理的方法去证明．从三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角的操作过程，小聪发现了证明的思路：为了证明三个角的和为，利用转化思想将三角形的三个内角转化为一个平角或同旁内角互补，这种方法也是数学中的常用方法，具体可按如下几种做法操作，如图（1）、（2）（3）、（4）．小聪的证明过程如下： 已知：．求证：． 证明：过点A作， （两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， ，． (1)经历以上四种不同的方法的推理活动，我们可以获得以下哪些基本的活动经验：__________（填序号） ①四种辅助线分别从三角形的顶点、边上的点和平面上的点构造平行线，遵循了我们研究问题从特殊到一般的规律； ②四种辅助线分别构造一条、两条、三条平行线，符合知识的形成规律和学生的认知规律； ③本题渗透了将三角形的三个内角转化为一个平角或同旁内角互补的转化思想； ④三角形的内角和为我们将来学习四边形和更多边形得内角和提供了依据． (2)小明用了不同的方法，过D作，作，如图（2），请你写出证明过程． 【解析】（1）解：根据题意，经历以上四种不同的方法的推理活动，我们可以获得基本的活动经验为：. （2）证明：过D作，作，如图， ，， ，，（两直线平行，同位角相等） ，，（两直线平行，同旁内角相补） ， ， . 题型五 三角形的外角的概念和性质 1．如图，下列角中是的外角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：图形中是的外角的是． 故选：B． 2．如图，是的一个外角，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵是的一个外角，，， ∴； 故选：A． 3．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由图可得， 故选：C． 4．如图，在中，点在边上（不与端点重合），连接．则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由三角形外角的性质可知：， 即：， 故选：． 5．如图，，则 ． 【解析】解：∵，且， ∴， ∴， ∴ 故答案为：100°． 6．如图，把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角 度． 【解析】解：根据题意得：， 根据三角形的外角的性质，得 ． 故答案为：165． 7．如图，在中，点D，E分别在上，相交于点F．求． 解：是的一个外角（已知）， ( )． 又( )， ( )， 即． 【解析】解：是的一个外角（已知）， （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又（三角形内角和定理）， （等量代换）， 即． 故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形内角和定理；等量代换． 8．如图，点是的内角和外角的平分线的交点，试探究与之间的数量关系． 【解析】解： 的内角平分线与外角平分线交于点， ，． 又 ，， ， ． 9．如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数． 【解析】解：根据题意，得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，，P为上一点，且，求的度数．（请用两种方法来解决问题） 【解析】解：方法一： ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，    ∴， 方法二： ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵，    ∴． 11．如图是一个“飞镖形”四边形ABDC．用两种不同的方法证明． 【解析】解：方法一：如图①，连接． 在中，（三角形内角和等于）， 在中，（三角形内角和等于）， （等量代换）． （等式的性质）， 即． 方法二：如图②，连接并延长． 依题意，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （等式的性质）， 即． 题型六 三角形的三边关系 1．下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 【答案】C 【解析】解：A、，不能做成三角形框架，不符合题意； B、，不能做成三角形框架，不符合题意； C、，能做成三角形框架，符合题意； D、，不能做成三角形框架，不符合题意； 故选：C． 2．如图，折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据题意，由三角形的三边关系得，， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 3．将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项不符合题意； D、由，此选项符合题意； 故选：D． 4．在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【解析】解：四根木条的所有组合：2，3，4和2，4，5和3，4，5和2，3，5； 根据三角形的三边关系，能组成三角形的有2，3，4和2，4，5和3，4，5． 故选：C． 5．给出三条线段： 、、；三边之比为； 、、； 、、．其中能组成三角形的有 （填序号）． 【解析】解：因为，，能够组成三角形； ②设三边长度为、、其中，，能组成三角形； ③，不能组成三角形； ④，能组成三角形． 故答案为：． 6．若一个两边相等的三角形的两边分别是和，则其周长是 ． 【解析】解：①当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长． 故答案为：． 7．若的边长均为整数，且最长边等于5，最短边等于3，则第三条边长等于 ． 【解析】解：设第三边长是c，则 即 ∵最长边等于5，最短边等于3， ∴ 又为整数 ∴或4或5 故答案为：3或或5． 8．已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)填空：______0，______0，______0．（填“>”“<”或“=”） (2)化简：． 【解析】（1）解：a、b、c是一个三角形的三边长， 则，， ∴，， 故答案为：；；． （2） ． 9．已知的三边长为9，4，x． (1)求x的取值范围； (2)当的周长为奇数时，求x． 【解析】（1）解：∵三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边， ∴，即， ∴的取值范围是； （2）解：∵的周长为奇数， ∴为偶数， ∵， ∴为6，8，10，12． 10．数学课本第29页复习题的第9题如下： 如图1，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得________，________．将不等式左边、右边分别相加，得________，即________． (1)补全上面步骤； (2)仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交，于M，N，证明：． 【解析】（1）解：由三角形的两边之和大于第三边，得，， 将不等式两边相加得：， 即； 故答案为：；；；． （2）解：在中，， 在中， 在中，， 将三个不等式相加得：， 即． 题型七 三角形的角平分线、中线和高线 1．下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意； B．是任何边上的高，故符合题意； C．是任何边上的高，故不符合题意； D．不是任何边上的高，故不符合题意； 故选：B． 2．若线段是的边上的中线，下列结论错误的是（    ） A． B． C．点D是边BC的中点 D． 【答案】D 【解析】解：∵是的中线， ∴平分 ，点D是边BC的中点， ∴，， 是的中线不能得出，故D符合题意． 故选：D． 3．如图，李笑用铅笔尖可以支起一张均匀的三角形硬纸板，则他支起的这个点应是三角形的（    ）    A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．最长边的中点 【答案】A 【解析】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点， 故选：A． 4．如图，在中，，则下列说法中，正确的是（　　） A．是的中线 B．是的角平分线 C．是的高线 D．是的中线 【答案】B 【解析】解：A、点不是的中点，故不是的中线，故A错误； B、∵， ∴， 即， ∴是的角平分线，故B正确； C、无法得到，不一定是的高线，故C错误； D、无法得到为的中点，不一定是的中线，故D错误； 故选：B． 5．下列说法错误的是（    ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条中线一定在三角形的内部 C．三角形的三条高不一定相交 D．三角形的三条角平分线必定交于一点 【答案】A 【解析】解：A、钝角三角形的高可以在三角形外部，原说法错误，符合题意； B、三角形的三条中线一定在三角形的内部，原说法正确，不符合题意； C、三角形的三条高不一定相交，原说法正确，不符合题意； D、三角形的三条角平分线必定交于一点，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 6．如图，是的 边上的高；在中，是 上的高，还是 的高；是 的 边上的高． 【解析】解：∵， ∴是的上的高； ∵， ∴是的上的高，是的上的高，是的上的高； ∵， ∴是的边上的高， 故答案为：；；或； ；． 7．如图，在△中，是边上的中线，△的周长比△的周长多2，若，则的长为 ． 【解析】解：∵为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 8．如图，中，，为的中点，连接并延长交于点，为上一点，且于点．下列判断，其中正确的有 个． ①是中边上的中线；②既是中的平分线，也是中的平分线；③既是中边上的高，也是中边上的高． 【解析】解：∵为的中点， ∴是中边上的中线，故①正确； ∵， ∴既是中的平分线，也是中的平分线，故②正确； ∵， ∴既是中边上的高，也是中边上的高，故③正确； 故答案为：3． 9．如图，已知△ABC． (1)画角平分线BD；(2)画中线CE；(3)画高AD． 【解析】（1）解：如图所示：线段即为所求． （2）解：如图所示：线段即为所求． （3）解：如图所示：线段即为所求． 10．作图题：如图所示是一块三角形优质土地，现引进良种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你设计分法方案． 【解析】解：如图（1）是的四等分点； 如图（2）分别是三边的中点． 11．如图，在中，，，是的高，是的角平分线，求的度数．    【解析】解：，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ， ． 12．如图，在中，为的平分线，交于点．    (1)求的度数； (2)请你画出的中线，再找出的中点，连接．若，求的面积． 【解析】（1）因为，所以． 因为为的平分线， 所以． 在中，． （2）如图所示，即为所求． 因为是的中线，， 所以． 又因为为的中点，即是的中线， 所以．    1．用三角板画的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据画垂线段的步骤知，选项A符合题意； 故选：A． 2．三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 【答案】B 【解析】解：三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形，等腰三角形包括腰和底不相等的等腰三角形和等边三角形， 故选：B． 3．下列说法中错误的是（      ） A．三角形的三个内角中至少有两个角是锐角 B．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 C．一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于 D．如果三角形的两个内角之和小于，那么这个三角形是钝角三角形 【答案】B 【解析】解：A．三角形的三个内角中至少有两个角是锐角，选项说法正确，不符合题意； B．三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，选项说法错误，符合题意 C．一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于，选项说法正确，不符合题意 D．如果三角形的两个内角之和小于，那么剩下的一个角肯定大于，所以为钝角三角形，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 4．如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【解析】∵，， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴选项D错误， 故选：D． 5．如图是，两片木片放在地面上的情形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图， ，， ， ， ， 故选：B． 6．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴，即：，即①能确定是直角三角形， ∵， ∴设， ∴，即：， ∴，即②能确定是直角三角形， ∵，， ∴，解得：，即③不能确定是直角三角形， ∵，， ∴，解得：， ∴，即④能确定是直角三角形， 故选：C． 7．在中，，的中线将这个三角形的周长分为9和15两个部分，则长为（　　） A．12 B．4 C．12或4 D．6或10 【答案】B 【解析】解：如图， ∵中线， ∴， ∵的中线将这个三角形的周长分为9和15两个部分， ∴①当15是腰长与腰长一半时，， 解得， 所以底长； ②当9是腰长与腰长一半时，， 解得， 所以底长， ， 不符合题意； ∴长等于4． 故选：B． 8．满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（   ） A． B．， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】解：A、设a，b，c分别为，，，则有，即，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形； B、当时，，，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形； C、当，，时，，符合三角形的三边关系，故能构成三角形； D、，即，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形． 故选：C． 9．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵是的中线， ∴， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵是的角平分线，、 ∴，B选项正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴，C选项错误，符合题意； ∵是的高， ∴，D选项正确，不符合题意； 故选：D． 10．下列说法中，不正确的个数是（  ） ①只有一条高在三角形内部的三角形是钝角三角形 ②三角形的角平分线是射线，中线是直线，高是线段 ③等腰三角形的高、中线、角平分线共有7条 ④等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】解：直角三角形中也只有一条高在三角形内部，①错误； 三角形的角平分线，中线，高都是线段，②错误； 等边三角形的高、中线、角平分线共有3条，③错误； 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为或，④错误； 故选：D． 11．（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形： ； （2）如图，线段BC是 和 的边； （3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ； （4）如图，是 的外角． 【解析】解：（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形：； 故答案为：； （2）如图，线段BC是 和的边； 故答案为：；； （3）如图，的3个内角是，三条边是； 故答案为：；； （4）如图，是 的外角． 故答案为：． 12．等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 【解析】解：设顶角度数为，则， 解得， 故三个内角度数为20，80，80， 它是锐角三角形． 故答案为：20，锐角． 13．如图，于点交于点，交于点．若，则图中的直角三角形有 个． 【解析】解：， ， 和是直角三角形， ，， ， ，即， 和是直角三角形， 图中的直角三角形有4个， 故答案为：4． 14．如图，在中，分别是的中点，，则 ． 【解析】解：∵分别是的中点， ∴，， 故答案为：． 15．如图，是的角平分线，如果，，那么 ． 【解析】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：． 16．如图， ． 【解析】解； ∵， ∴． 故答案为：． 17．用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ． 【解析】解：∵细铁丝的长度为，即三角形的周长为， ∵， ∴a是这个三角形最长的边， 由三角形三边的关系，得，而， ∴， 解得，， ∵a、b、c为整数， ∴a最大可取6． 故答案为：6． 18．在中，为边上的高，，，则是 度． 【解析】解：根据题意，分三种情况讨论： ①高在三角形内部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； ②高在三角形边上，如图所示： 可知， ， 故此种情况不存在，舍弃； ③高在三角形外部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 19．如图，在中，分别是上的点，连接交于点    (1)图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 【解析】（1）解：以为边的三角形有个，，，，． （2）解：除外，以点为顶点的三角形还有、． 20．如图，在中，是的平分线，是边上的高，且，，求和的度数．    【解析】∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴； ∵是高， ∴， ∴． 21．在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【解析】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 22．如图所示，P是内一点，延长交于点D，连接． (1)、、的大小关系是：______＞______＞______； (2)若，，，嘉嘉想求的度数，请你补全下列思路并帮助嘉嘉完成求解． 思路：先利用三角形外角求出______的度数，再利用三角形______（填“内”或“外”）角求出的度数． 【解析】（1）解：由题意得：； 故答案为，，； （2）解：思路：先利用三角形外角求出的度数，再利用三角形外角求出的度数；过程如下： ∵，， ∴， ∵， ∴． 23．已知，的三边长为． (1)求△ABC的周长的取值范围； (2)当△ABC的周长为偶数时，求x． 【解析】（1）三角形的三边长分别为， ，即， 的周长， 即：的周长； （2）的周长是偶数，由结果得的周长可以是或， 的值为或 24．如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【解析】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 25．阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 【解析】（1）证明：已知：如图3，． 求证：． 证明：如图3，过点A作， ， （两直线平行，内错角相等）， 同理， ， （等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换． （2）证明：如图，过点作，延长到， ∴，， ∵， ∴． 26．阅读下列材料，并完成相应的任务. 基本性质：三角形中线等分三角形的面积. 如图，是的边上的中线， 则 理由：过点作于点 ∵是的边上的中线. ∴又∵， ∴ ∴三角形中线等分三角形的面积. 任务： （1）如图，延长的边到点，使，连接，则和的数量关系为_________. （2）如图，点是的边上任意一点，点分别是线段，的中点，且的面积为，请同学们借助上述结论求的面积. 【解析】（1） 是的边BD上的中线 故答案为：； （2）点是线段的中点 是的边AD上的中线，CE是的边AD上的中线 点是线段的中点 是的边CE上的中线 故的面积为． 27．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求 的度数； ③如图4，求图中五角星五个“角”的和． 【解析】（1），理由如下： 过点A、D作射线， ， 即 （2）①， 由（1）可知： ② 平分，平分， ③如图：由（1）中“规形图”结论可知：， 又 即 28．【探究三角形中边与角之间的不等关系】学习了等腰三角形，我们知道在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 下面是丫丫同学的证明过程． 如图1，在中，已知．求证． 证明：如图2，将折叠，使边落在上，点C落在上的点处，折痕交于点D．则． ∵ ① （ ② ） ∴ ∴（等量代换） 类似地，应用这种方法可以证明“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”的问题． 下面是小鹿同学的证明过程． 如图3，在中，已知．求证． 证明：如图4，将折叠，使点B落在点C上，折痕交于点D，交于点E．则． ∵（ ③ ） ∴（等量代换） 即 请大家将上述证明空白部分补充完整． 【解析】解：丫丫同学的证明： 证明：如图2， 将折叠，使边落在上，点C落在上的点处，折痕交于点D．则． ∵ （三角形的外角性质）， ∴ ∴（等量代换） 故答案为：，三角形的外角性质； 小鹿同学的证明： 证明：如图4， 将折叠，使点B落在点C上，折痕交于点D，交于点E．则． ∵（三角形的三边关系）， ∴（等量代换）， 即． 故答案为：三角形的三边关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$