专题10 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型2大模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙江专用）

专题10 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型 将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！ 模型1.将军遛马模型（两定两动） 1 模型2.将军造桥模型 18 模型1.将军遛马模型（两定两动） 【两定点在直线异侧】如图1-1所示，已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ的长度恒定不变，在直线上求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 如图1-2所示，过点A作AC∥m，截取AC=PQ，连接CB与直线m交于点Q，此时点Q即为所求，Q向左侧移动PQ的长度，此时P点即为所求 证明：∵AC∥m且AC=PQ，所以四边形ACQP是平行四边形，则AP=CQ，当C、Q、B三点在同一条直线上时，CQ+QB最短，因为PQ是一个定值，所以AP+PQ+QB=CQ+QB+PQ=CB+PQ； （此时PA+PQ+QB最短）。 【两定点在直线同侧】如图1-3所示，已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ的长度恒定不变，在直线上求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 如图1-4所示，过点B作关于直线m的对称点B1，过点A作AC∥m，截取AC=PQ，连接CB1与直线m交于点Q，此时点Q即为所求，Q向左侧移动PQ的长度，此时P点即为所求； 证明：由对称的性质可知BQ=QB1，∵AC∥m且AC=PQ，所以四边形ACQP是平行四边形，则AP=CQ，当C、Q、B1三点在同一条直线上时，CQ+QB1最短，因为PQ是一个定值，所以AP+PQ+QB=CQ+QB1+PQ=CB1+PQ（此时PA+PQ+QB最短）。 例1．如图，矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 例2．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是BC中点，点E、F是边CD上的任意两点，且EF=2，当四边形APEF的周长最小时，则DF的长为（　　）    A．2 B．4 C． D． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 2．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 3．如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，，若，，则的最小值是 ． 4．在矩形中，，，为边的中点．如图，若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，则求的长为 ． 5．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是 ． 6．如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 7．【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________； 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值； 【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小． 已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．    8．问题背景 （1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____． 问题探究 （2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，．试探究在平移过程中，是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，，的水平距离是．游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐大巴到达景点．请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长． 9．如图，抛物线与y轴交于点A，B是AO的中点．一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A．如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程． 模型2.将军造桥模型 【单桥模型】如图2-1所示，将军在图中A点，现在要过河去B点的军营，桥必须垂直与河岸建设，所以桥建在何处使得路程最短？ 如图2-2所示，过A点作AA1∥MN且AA1=MN，连接A1B即可； 证明：∵AA1∥MN且AA1=MN，∴四边形AA1NM是平行四边形，∴AM=A1N，要求AM+MN+NB最短，∵MN是一个固定值，所以只需要求AM+NB最短，即求A1N+NB最短，当A1、N、B三点在同一条直线上时A1N+NB最短（如图2-3所示）。 【双桥模型】如图2-4所示，将军在图中A点，现在要过两条河去B点的军营，桥必须垂直与河岸建设，所以桥建在何处使得路程最短？ 如图2-5所示，作AA1∥PQ，且AA1=PQ，作BB1∥MN，且BB1=MN，连接A1B1，则AP+PQ+QM+MN+NB=PQ+A1B1+MN最短。 证明：∵AA1∥PQ且AA1=PQ，∴四边形AA1QP是平行四边形，AP=A1Q，BB1∥MN且BB1=MN，∴四边形B1BNM是平行四边形，BN=B1M，所走的路程总和为AP+PQ+QM+MN+NB=A1Q+QM+MB1=A1B1+PQ +MN（A1、Q、M、B1四点共线时最短） 例1．已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(   ) A．2 B．1+3 C．3+ D． 例2．如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 1．如图，已知直线，、之间的距离为8，点P到直线的距离为6，点Q到直线的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线上有一动点B，满足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ． 2．如图，在矩形中，，，E、F分别是的中点，点P、Q在上．且满足，则四边形周长的最小值为 ．    3．如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 4．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小？ 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，求使四边形周长最小的点的坐标？ （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，求点的坐标？ （3）如图，矩形中，，，点分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值？ 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，为函数的图象上的两个动点，则的最小值为____________． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型 将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！ 模型1.将军遛马模型（两定两动） 1 模型2.将军造桥模型 18 模型1.将军遛马模型（两定两动） 【两定点在直线异侧】如图1-1所示，已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ的长度恒定不变，在直线上求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 如图1-2所示，过点A作AC∥m，截取AC=PQ，连接CB与直线m交于点Q，此时点Q即为所求，Q向左侧移动PQ的长度，此时P点即为所求 证明：∵AC∥m且AC=PQ，所以四边形ACQP是平行四边形，则AP=CQ，当C、Q、B三点在同一条直线上时，CQ+QB最短，因为PQ是一个定值，所以AP+PQ+QB=CQ+QB+PQ=CB+PQ； （此时PA+PQ+QB最短）。 【两定点在直线同侧】如图1-3所示，已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ的长度恒定不变，在直线上求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 如图1-4所示，过点B作关于直线m的对称点B1，过点A作AC∥m，截取AC=PQ，连接CB1与直线m交于点Q，此时点Q即为所求，Q向左侧移动PQ的长度，此时P点即为所求； 证明：由对称的性质可知BQ=QB1，∵AC∥m且AC=PQ，所以四边形ACQP是平行四边形，则AP=CQ，当C、Q、B1三点在同一条直线上时，CQ+QB1最短，因为PQ是一个定值，所以AP+PQ+QB=CQ+QB1+PQ=CB1+PQ（此时PA+PQ+QB最短）。 例1．如图，矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小，结合平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用解答即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小， ∵四边形是矩形 ∴、、 ， ， 四边形是平行四边形， ， ∵关于的对称点是、为边的中点， ∴垂直平分 ∴、 ， ，， ，， 由勾股定理得： 即的最小值为． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是正确的作出辅助线． 例2．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是BC中点，点E、F是边CD上的任意两点，且EF=2，当四边形APEF的周长最小时，则DF的长为（　　）    A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】如图，作P关于CD的对称点M，在AB上截取AH=2，然后连接HM交CD于E，接着在CD上截取EF=2，那么E、F两点即可满足题目要求，利用相似三角形的性质即可求出CE的长，进一步得到DF的长． 【详解】如图，作P关于CD的对称点M，在AB上截取AH=2，然后连接HM交CD于E，接着在CD上截取EF=2，那么E、F两点即可满足使四边形APEF的周长最小． ∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P是BC中点，∴CP=CM=4，MB=12，而AH=2，∴BH=4， ∵AB∥CD，∴△CEM∽△BHM，∴CE：BH=MC：MB，∴CE==，∴DF=CD﹣CE﹣EF=6﹣﹣2=． 故选C．    【点睛】本题分别考查了轴对称﹣最短路程问题、矩形及相似三角形的性质等知识，有一定的难度，要求学生平时加强训练． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，线段和的最值问题，勾股定理；平移至，则，连接，得出四边形是平行四边形，则，，根据题意可得，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，平移至，则，连接, ∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴ ∵在正方形中，，是对角线上两点 ∴∴ 在中， ∴故答案为：． 2．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握圆的相关性质及正方形的相关性质、准确的辅助线及计算是本题的解题关键． （1）利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径； （2）连接，，以、为边作，连接，证明出，，当、、共线时，最小，即为的最小值，利用勾股定理求出即可解答此问． 【详解】解：（1）的面积为， ， 的直径长为， 故答案为：； （2）如图，连接，，以、为边作，连接， 四边形为正方形， ，， 四边为平行四边形， ， ， ， 当、、共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ， ， ， 周长的最小值为， 故答案为：4． 3．如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，，若，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、轴对称、勾股定理求最短路径问题，熟练掌握轴对称、矩形的性质作辅助线是解题的关键．连接，作点关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质可得，，根据矩形的性质可得，，进一步可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得，推出的最小值等于的最小值，即的长度，利用勾股定理求的长，即可确定的最小值． 【详解】解：如图，连接，作点关于的对称点，连接，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点、、在同一直线上， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值等于的最小值， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值等于的长度， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．在矩形中，，，为边的中点．如图，若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，则求的长为 ． 【答案】/ 【分析】如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH=4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF=4，那么E、F两点即可满足题目要求，最后利用相似三角形的性质即可求出AF的长． 【详解】解：∵E为AB上的一个动点， ∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH=4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF=4， 那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小． ∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G为边AD的中点， ∴AG=AM=AD=BC=4，MD=12，而CH=4， ∴DH=CD-CH=AB-CH=2， 而AE∥CD， ∴△AEM∽△DHM， ∴AE：HD=MA：MD， ∴AE===， ∴AF=4+=． 故答案为：． 5．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝9，连接CH交BD于E，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF周长的最小值即可． 【详解】解：∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°， ∴AC＝6，AC⊥BD，BO＝DO， ∴AO＝AC＝3， ∴BD＝＝18， ∵ED＝OF， ∴EF＝OD＝9， 如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝9，连接CH交BD于E，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小． ∵AH＝EF，AH∥EF， ∴四边形FEHA是平行四边形， ∴FA＝EH， ∵EA＝EC， ∴AF+AE＝EH+CE＝CH， ∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°， ∴AC＝AB＝6， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AH∥DB， ∴AC⊥AH， ∴∠CAH＝90°， 在Rt△CAH中，CH＝＝3， ∴AE+AF的最小值3， ∴△AEF的周长的最小值＝3+9， 故答案为：3+9． 6．如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题．在轴上取点，使，则四边形为平行四边形，作点关于直线的对称点，则，即、、三点共线时，最小值为的长． 【详解】解：如图，在轴上取点，使，则四边形为平行四边形， ∵点，， ，， ， 作点关于直线的对称点， ，， ，即、、三点共线时，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故答案为：． 7．【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________； 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值； 【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小． 已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．    【答案】（1）10；（2）；（3）能实现，最小值为． 【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，作G关于的对称点，在上截取，连接，，，则，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的三边关系得到，根据勾股定理即可得到结论； （3）作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H，则，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】.解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，过作于E，则，，    ∴， ∴ 即的最小值是10； （2）如图，作G关于的对称点，在上截取， 连接，，，则，   ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，，G为的中点， ，， 由勾股定理得， ，即的最小值为：； （3）管理人员的想法能实现， 作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H， ，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G，   ，，，， ，， ，， ，， ， ，， ，，， ， ， ， ， . 在中，， 的最小值为. 8．问题背景 （1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____． 问题探究 （2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，．试探究在平移过程中，是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，，的水平距离是．游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐大巴到达景点．请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长． 【答案】（1）（2）存在，最小值为（3）最短路线长为 【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径，再利用矩形的性质，求出和的距离，最后利用勾股定理即可求出最短路径； （2）根据平移的性质可知四边形和均为平行四边形，再利用最短路径作法得出即为最短距离，最后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出答案； （3）根据题意画图可知四边形为平行四边形，最后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：（1） 如图 （1）， 点 是公路上的一点， 假设先把产品运送到点 处， 再转送到 厂， 作点 关于 的 对称点， 连接，， 连接 交于点， 则 ， ， 当点 与点 重合时， 取得最小值， 为 的长． 连接， 交于点， 过点 作 于点， 过点 作， 垂足为点， 则， 四边形 是矩形， ，， 又， ， 即最短路线的长是． 故答案为：． （2） 存在．理由如下， 如图 （2）， 过点 作直线， 作点 关于直线的对称点， 连接 ，，交直线于点， 过点 作交直线 于点， 连接，，， 则． 由平移知， ． 又 ， 四边形 是平行四边形， ， 由平移知， 又， 四边形 是平行四边形， 当点 与点重合时， 最小， 最小值为 的长． 过点 作 交 的延长线于点， 则 为等腰直角三角形． ， ，， 的最小值为． 故答案为：存在，最小值为． （3） 如图 （3），设码头乙为点， 码头甲为点， 连接，， 过点 作， 且， 作点 关于 的对称点， 连接 交于点． 连接， 则． 是平行四边形， ， 点 ，N重合时，旅游路线最短． 过点 作直线， 过点 作 于点， 则 ，，， ， ． 故答案为：最短路线长为． 9．如图，抛物线与y轴交于点A，B是AO的中点．一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A．如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程． 【答案】最短路程为10；(，0)，(4，1)． 【分析】如图，按照“台球两次碰壁”的模型，作点关于抛物线的对称轴对称的点，作点关于轴对称的点，连结与轴交于点，与抛物线的对称轴交于点． 在Rt△ACD中，AC＝8，AD＝6，所以CD＝10，即点走过的最短路程为10．设直线CD的解析式为y=kx-2，把（8,4）代入解析式可定方程，根据交点的意义确定M(，0)，N(4，1)． 【详解】∵抛物线与y轴交于点A，B是AO的中点， ∴A（0，4），B（0，2）， 如图,按照“台球两次碰壁”的模型，作点A关于抛物线的对称轴对称的点C，作点B关于x轴对称的点D，连结CD与x轴交于点M，与抛物线的对称轴交于点N． 设点C的坐标为（m，4）， 根据题意，得， 解得m=8， ∴C（8,4），D（0，-2）， ∴AC=8，AD=6， ∴在Rt△ACD中， CD＝=10， 即点G走过的最短路程为10． 设直线CD的解析式为y=kx-2，把C（8,4）代入解析式，得 8k-2=4， 解得k=， ∴直线CD的解析式为y=x-2， 当y=0时，x=, ∴M(，0)， 当x=4时，y=1, ∴N(4，1)． 模型2.将军造桥模型 【单桥模型】如图2-1所示，将军在图中A点，现在要过河去B点的军营，桥必须垂直与河岸建设，所以桥建在何处使得路程最短？ 如图2-2所示，过A点作AA1∥MN且AA1=MN，连接A1B即可； 证明：∵AA1∥MN且AA1=MN，∴四边形AA1NM是平行四边形，∴AM=A1N，要求AM+MN+NB最短，∵MN是一个固定值，所以只需要求AM+NB最短，即求A1N+NB最短，当A1、N、B三点在同一条直线上时A1N+NB最短（如图2-3所示）。 【双桥模型】如图2-4所示，将军在图中A点，现在要过两条河去B点的军营，桥必须垂直与河岸建设，所以桥建在何处使得路程最短？ 如图2-5所示，作AA1∥PQ，且AA1=PQ，作BB1∥MN，且BB1=MN，连接A1B1，则AP+PQ+QM+MN+NB=PQ+A1B1+MN最短。 证明：∵AA1∥PQ且AA1=PQ，∴四边形AA1QP是平行四边形，AP=A1Q，BB1∥MN且BB1=MN，∴四边形B1BNM是平行四边形，BN=B1M，所走的路程总和为AP+PQ+QM+MN+NB=A1Q+QM+MB1=A1B1+PQ +MN（A1、Q、M、B1四点共线时最短） 例1．已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(   ) A．2 B．1+3 C．3+ D． 【答案】A 【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′． 【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸， 则MN∥BB′且MN＝BB′， 于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN． 根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短． ∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米， ∴在RT△ABC中，， 在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米， ∴AB′＝千米； 故选A．    【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化． 例2．如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，正确做出辅助线确定出P和Q点的位置是解答本题的关键． 要使四边形的周长最小，由于与都是定值，只需的值最小即可.为此，先在边上确定点的位置，可在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，则此时最小，即四边形的周长最小． 【详解】在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，过点作的平行线交的延长线于点. 则四边形是平行四边形， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形的周长的最小值 ， 故选C． 1．如图，已知直线，、之间的距离为8，点P到直线的距离为6，点Q到直线的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线上有一动点B，满足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ． 【答案】16 【分析】作PE⊥于E交于F，在PF上截取PC=8，连接QC交于B，作BA⊥于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，由勾股定理可求得DQ的长；易证四边形ABCP是平行四边形，由平行四边形的性质及勾股定理可求得结果． 【详解】作PE⊥于E交于F，在PF上截取PC=8，连接QC交于B，作BA⊥于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D． 在Rt△PQD中，∵∠D=，PQ=，PD=18， ∴DQ= =， ∵AB=PC=8，ABPC， ∴四边形ABCP是平行四边形， ∴PA=BC， 又CD=10， ∴PA+BQ=CB+BQ=QC= ==16． 故答案为：16． 2．如图，在矩形中，，，E、F分别是的中点，点P、Q在上．且满足，则四边形周长的最小值为 ．    【答案】12 【分析】因为和是定长，所以要使四边形的周长最小，只要最小即可，在上截取，F是的中点，所以点B关于的对称点是C点，连接与交于点Q，则即为的最小值； 【详解】解：四边形周长， ， ∴四边形周长， 要使四边形的周长最小，只要最小即可， 在上截取，F是的中点，所以点B关于的对称点是C点，连接与交于点Q，则即为的最小值，    ， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴四边形周长． 故选：B． 3．如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． （1）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． （2）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，等于河宽；连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． 【详解】（1）解：如图所示，即为两座桥的位置． （2）解：如图所示，即为两座桥的位置． 4．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小？ 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，求使四边形周长最小的点的坐标？ （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，求点的坐标？ （3）如图，矩形中，，，点分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值？ 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，为函数的图象上的两个动点，则的最小值为____________． 【答案】（） ；（） ；（） ；【拓展延伸】:． 【分析】（）作关于直线的对称点，连接交于，则此时四边形周长最小，，求出直线的解析式为，联立求解即可； （）点向右平移个单位到，点关于的对称点, 连接, 交于，此时最小，要使四边形的周长最小，只要最小即可，即，过作于，设，则，利用相似三角形的判定与性质即可求解； （）作点关于的对称点, 连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，由勾股定理和两点之间线段最短即可求解； 【拓展延伸】：直线轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称, 点是点关于直线的对称点，作垂足为，交轴于点交直线于，作直线垂足为，由勾股定理即可求解． 【详解】（）∵在中，，， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，， ∴，， 作关于直线的对称点，连接交于，则此时四边形周长最小，， ∵直线经过点， ∴直线的解析式为, 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； 联立，解得， ∴； （）解：点向右平移个单位到，点关于的对称点, 连接, 交于，此时最小， ∴，，， ∴要使四边形的周长最小，只要最小即可，即，过作于， 设，则， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∴， 故点的坐标为：， 故答案为：； （）作点关于的对称点, 连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长为； 【拓展延伸】：如图所示， 直线轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称, 点是点关于直线的对称点，作垂足为，交轴于点交直线于，作直线垂足为， ∵，， ∴最小（垂线段最短）， ∵正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称——最短问题，垂线段最短，两点之间线段最短，直角三角形度角的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，一次函数的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$