专题6.4 平行四边形中的四大折叠问题（40题）-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）
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内容正文：
专题6.4 平行四边形中的四大折叠问题（40题）
【北师大版】
【题型1 平行四边形折叠问题求角度】
1．（24-25八年级·河南漯河·期末）如图，将一张平行四边形纸片以为折痕进行折叠，点的对应点为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，即可得答案．
【详解】解：如图，
由折叠的性质得：，
，
∵四边形是平行四边形
∴，
，
在中
,
∴,
故选：A．
2．（24-25八年级·安徽宿州·期末）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，与交于点G，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质、折叠的性质，根据平行四边形的性质与判定可得，再根据平行线的性质可得，，从而求得，再由折叠的性质得，利用求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵E，F分别为，的中点，
∴，，
∴平行四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
故选：C．
3．（24-25八年级·天津南开·期中）在平行四边形中，，现将平行四边形沿折叠，使点与点重合，点落在处，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质以及折叠变换，首先根据折叠找到对应相等的角，，然后根据三角形内角和可算出，进而可得的度数，再根据平行四边形的性质可得．解题的关键是找准折叠后哪些角是对应相等的．
【详解】解：∵将平行四边形沿折叠，使点与点重合，点落在处，，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：C．
4．（24-25八年级·浙江宁波·阶段练习）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，点落在线段上的处，点落在处，连结，．若恰有，则 ．
【答案】/126度
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及垂线定义，熟练掌握平行四边形的性质、折叠的性质是解题的关键．
由平行四边形的性质得，，由折叠得，则，所以，则，于是得，则，，即可求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
5．（2024八年级·全国·专题练习）如图，P是平行四边形纸片的边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上处，折痕与边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在边上处，折痕与边交于点N．若，则 °．
【答案】16
【分析】本题主要折叠的性质，掌握折叠前后的线段、角对应相等是解题的关键．
由折叠的性质可求得，，再结合、、在一条直线上，可求得答案．
【详解】解：∵点落在纸片所在平面上处，折痕与边交于点，
故答案为：16．
6．（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，在中，E是边上一点，将沿AE折叠至处，与交于点F，若，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键；
由平行四边形的性质得，由由折叠的性质得：，，，在根据三角形的内角和定理及角的和差即可解答；
【详解】四边形是平行四边形，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
故答案为：
7．（24-25八年级·重庆大渡口·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在，处，且经过点B，交BC于点G，连接，若平分，，，则的度数是 ．
【答案】
【分析】设，由折叠的性质得，①，再根据平行线的性质得到②，，通过计算即可求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
设，
∵，
∴，
根据折叠的性质得，，
∵，
∴①，
∵，
∴②，
得，即，
由平角的性质得，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题关键是利用参数构建方程解决问题．
8．（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在▱ABCD中，M为边CD上一点，将△ADM沿AM折叠至△AD′M处，AD′与CM交于点N．若∠B＝55°，∠DAM＝24°，则∠NMD′的大小为 度．
【答案】22.
【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=55°，由折叠的性质得：∠D'=∠D=55°，∠MAD'=∠DAM=24°，由三角形的外角性质求出∠AMN=79°，与三角形内角和定理求出∠AMD'=101°，即可得出∠NMD'的大小.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=55°，
由折叠的性质得：∠D'=∠D=55°，∠MAD'=∠DAM=24°，
∴∠AMN=∠D+∠DAM=55°+24°=79°，∠AMD'=180°-∠MAD'-∠D'=101°，
∴∠NMD'=101°-79°=22°；
故答案为22.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AMN和∠AMD'是解决问题的关键.
【题型2 平行四边形折叠问题求线段长】
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处，若，，则的周长为（ ）
A．12 B．18 C．15 D．21
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由折叠的性质与题意可得，，由，可知，则，，进而可求的值，即可得出结果．
【详解】解：由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
的周长为：，
故选：B．
2．（24-25八年级·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，将沿若所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长 ( )
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由翻折的性质得，先证明为等腰直角三角形，求出 ，在中，求出，，在中，求出，在中，即可求．
【详解】解：∵将沿若所在的直线折叠得到，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形中，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在中，， ，
∴，
由勾股定理得：
解得：，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得： ，
故选：．
【点睛】本题考查了图形的翻折，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，确定为等腰直角三角形是解题的突破点，熟练掌握勾股定理求边是解题的关键．
3．（24-25八年级·广东广州·期末）如图，平行四边形纸片，，，面积为，将其沿对角线折叠，使点C落在点F处，与边交于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质．作，，利用平行四边形的面积公式求得，由折叠的性质结合平行四边形的性质求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：作，，垂足分别为，
∴，
∵平行四边形纸片，则
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
由题意得，
∴，
在中，，
∵平行四边形纸片，
∴，
∴，
由折叠有性质知，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得，
∴，
故选：C．
4．（2024·黑龙江·三模）如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，先由平行四边形的性质和折叠的性质证明得到，再由线段中点的定义得到，根据等边对等角和三角形内角和定理证明，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴．
5．（24-25八年级·山东淄博·期中）如图，矩形，E是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F．若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质，首先过点E作与M，交于N，易证得，是的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得，由折叠的性质，可得，继而求得的值，又由勾股定理，即可求得的长．
【详解】解：如图，过点E作与M，交于N，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
6．（24-25八年级·浙江金华·期中）如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ．
【答案】
【分析】设，作于点L，则，由折叠可知，，得到，则，，由勾股定理得到，解得，即可得到答案．
【详解】解：设，作于点L，则，
∵
∴由折叠可知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，作高构造直角三角形是解题的关键．
7．（24-25八年级·山东聊城·期中）如图，已知，，，，点D为的中点，点E为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，当时， ．
【答案】5
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，线段中点的特点，平行四边形性质和判定，根据题意画出草图，证明四边形为平行四边形，得到，利用勾股定理得到，最后结合线段中点的特点求解，即可解题．
【详解】解：根据画图如下：
沿折叠得到，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，，，，
，
点D为的中点，
，
故答案为：．
8．（24-25八年级·湖北咸宁·期末）如图，已知中，，点E，F分别在边，上．若将沿直线折叠，使得点A恰好落在边的点G处，且，则 ．
【答案】
【分析】过点作交延长线于点，根据平行四边形的性质得出，再根据三角形内角和即可得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质得出，最后根据勾股定理和折叠的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作交延长线于点
中，
，
，
折叠
故答案为：．
9．（24-25八年级·四川成都·期中）如图，在中， ，，，点为边上的一个点，连接，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在边上，过点作，交于点，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】延长、交于点，作交的延长线于点，因为，所以，则，由 ，求得，由折叠得，则，得出，再证明，则，求得，再证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：延长、交于点，作交的延长线于点，则，
，
，
，
，
，
由折叠得，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．（24-25八年级·重庆·期中）如图，在平行四边形中，分别是边上动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，连接、，其中交于点．若，，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】连接，在上截取，连接，由折叠性质可知垂直平分，则，，，，根据等腰三角形的性质和内角和定理得，由四边形是平行四边形，得，，，，证明是等边三角形，再证明，则，，根据线段和差可得，过作，交延长线于点，由勾股定理得：，设，则，，最后通过勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，在上截取，连接，
由折叠性质可知，垂直平分，
∴，，，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
过作，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键．
11．（24-25八年级·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．
(1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________．
(2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质结合勾股定理求得，由折叠知，由折叠的性质可得，再由平行四边形的性质求得，据此即可求解．
（2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
由折叠知，
由折叠知，
∵，
∴，
∴，
由折叠知，
∴，
故答案为：，；
（2）证明：由折叠知，，．
，
，
，
，
，
∵，
∴，，
，
，
，
，点在延长线上，
，
，
．
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键．
12．（24-25八年级·海南海口·期末）在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结．
(1)如图1，
①求证：；
②求证：四边形为平行四边形；
③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数．
(2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长．
【答案】(1)①见解析；②见解析；③
(2)11
【分析】（1）①根据，得出，即可证明．
②由①得，得出，结合，即可证明四边形为平行四边形；
③根据，，得出，根据平行四边形的性质得出，证出是的垂直平分线，即可得，根据等腰三角形的性质得出，根据，，求出，再根据即可求解．
（2）根据平行四边形的性质可得，，根据，得出，由折叠知，，即可得出， ，在中，勾股定理求出，在中，求出 ， 即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
②证明：由①得，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
③解：∵，，
∴，
由②得：四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
由折叠知，，
∴，
∴．
在中， ，，
∵，即，
∴，
∵在中， ，
∴ ，
∴．
【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
13．（24-25八年级·江西吉安·期末）综合与实践
【问题情境】
在中（），点P是射线上一点．将沿直线折叠，点D对应点为E．
【数学思考】
如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形的形状一定是 （选填“菱形”“矩形”或“正方形”）；
【拓展探究】
如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由；
【问题解决】
如图3，当点E恰好落在的边所在直线上时，，，，直接写出的长．
【答案】数学思考：菱形
拓展探究：，理由见解析
问题解决：3或7.5
【分析】数学思考：由折叠的性质可知，，，，再根据平行线的性质推出，则，进而推出，即可证明；
拓展探究：连接．由折叠的性质可知，，，，由，，得到；由点P是的中点，得到，则，进一步证明，得到，证明，得到，再根据平角的定义得到，则；
问题解决：由题意可分①当点P在的延长线上时，②当点P在间时，点E在间时，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解
【详解】解：数学思考：由折叠的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴四边形是菱形
故答案为：菱形；
拓展探究：结论：，
理由如下：连接，如图2：
由折叠的性质可知，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
问题解决：分两种情况：
①当点P在的延长线上时，点E在的延长线上时，如图3，
由折叠的性质可知，，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
②当点P在间时，点E在上时，如图4：
延长交的延长线于点T，设，
由折叠的性质可知，，，
∵，
∴，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述：的长为3或7.5
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
【题型3 平行四边形折叠问题求面积】
1．（24-25八年级·湖北武汉·期中）在探究折叠问题时，小华进行了如下操作：如图，为直角梯形边的中点．将直角梯形纸片分别沿着，所在的直线对折，点，恰好与点重合，点．，在同一直线上．若四边形为平行四边形，且．，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，平行四边形的面积计算，折叠的性质．先由折叠性质和点是的中点得出与的数量关系，由勾股定理求得与，再平行四边形的面积公式求得的面积，进而求得四边形的面积．
【详解】解：由折叠性质得，，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
由折叠性质知，
．
故选：A．
2．（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，勾股定理，首先推导出为等边三角形，由，求得，再证明出点E为的中点，得到，可求出面积
【详解】解：∵折叠至处，，，
∴为等边三角形，
∴
又∵四边形为平行四边形，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴点E为的中点，
∴折叠重合部分的面积为：，
故答案为：
3．（24-25八年级·四川自贡·期末）如图，在三角形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，折痕记为，剪去△后得到双层△，再沿着过△某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的面积是 ．
【答案】
【分析】利用三角函数先求解得到是的中垂线，由对折的性质求解分情况讨论， ①如图中，当时，沿着直线EF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，②如图中，当FD=FB时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，利用平行四边形的面积是三角形面积的倍，从而可得答案．
【详解】解：如图，
∴
由对折设
是的中垂线，
在Rt中，
∴，
∴，
①如图中，当时，沿着直线EF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，
为等边三角形，
过作于，
②如图中，当FD=FB时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，
过作于，
综上：所得平行四边形的面积是
故答案为：
【点睛】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质、含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
4．（24-25八年级·重庆·期中）如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，若以虚线折叠纸片，则图中阴影部分的面积与整个图形的面积之比为 ．
【答案】3:8
【分析】根据三角形中位线定理可得，，，然后可得，阴影②的面积为平行四边形的，进而可答案．
【详解】解：、、为三边中点，
，，，
，
，
，，
四边形、、都是平行四边形，
，
阴影②的面积为平行四边形的，
即阴影②的面积为△ABC面积的，
∴阴影部分的面积是整个图形的面积的，
阴影部分的面积与整个图形的面积之比为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称和平行四边形，三角形中位线，关键是掌握平行四边形是轴对称图形．
5．（24-25八年级·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，，P为边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B，C的对应点分别为，，过的中点E作交于点F，连接，若，则的面积是 ．
【答案】
【分析】过交于，过作交的延长线于，过作交的延长线于，延长交于，连接、、，由直角三角形的特征得 ，，，由勾股定理得 ，同理可求：，， ，设， ， ，由勾股定理得，，可得，求出，由即可求解．
【详解】解：如图，过交于，过作交的延长线于，过作交的延长线于，延长交于，连接、、，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可求：，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
由折叠得：，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
；
故答案：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握相关性质，根据题意作出恰当的辅助线，构建直角三角形并熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
6．（24-25八年级·四川成都·期中）如图，将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用翻折的性质和平行线的性质可得，即可证明结论；
（2）利用含角的直角三角形的性质得，，再利用勾股定理列方程求出的长，即可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：作于，
，，
，
，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
平行四边形的面积为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，翻折变换，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．
7．（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图1，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点．
(1)如图2，当点，重合时，
①求证：四边形是菱形；
②设点为线段上一点，求的最小值．
(2)求的面积的取值范围．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①由折叠的性质得到，，利用平行四边形的性质推出，进而得到，推出，即可证得四边形是菱形；
②先证明，得到，进而得到，当A，C，Q三点共线时，最小，此时，连接，证得是等边三角形，得到，求出，勾股定理求出，即可得到的最小值为；
（2）当点，重合时，，的面积最小，过点D作于点H，利用30度角的性质及勾股定理求出，，得到；当点P与点D重合时，过点M作于点G，设，证明，得到，利用30度角的性质及勾股定理求出，，列得，求出，即，求出，由此得到的面积的取值范围是．
【详解】（1）解：①当点，重合时，，
由折叠得，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②连接
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A，C，Q三点共线时，最小，此时，
连接，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（2）当点，重合时，，
∴的面积最小，
过点D作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
当点P与点D重合时，过点M作于点G，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，即，
∴
∴的面积的取值范围是．
【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
8．（24-25八年级·山西吕梁·阶段练习）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图（1），在中，F为的中点，E为边上一点，连接、，连接并延长交的延长线于G，若，试猜想与的位置关系，并加以证明．
【独立思考】
（1）请解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图（2），点C的对应点为，连接并延长交于点G，判断四边形的形状，并加以证明．
【问题解决】
（3）如图3，智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，点A的对应点为，使于点H，交于点N，折痕交边于点M．该小组提出一个问题：若，，直接写出的面积．
【答案】（1），证明见解析；
（2）四边形是平行四边形，证明见解析；
（3）
【分析】（1）F为的中点，，，，可得，由此可证明，结合，可得．所以为直角三角形，，.
（2） 是由沿着翻折而成的，且F为的中点，可得，，由此得到，证得，，又，故可得到是平行四边形．
（3）要求的面积，只需求的面积，根据已知角，，可求得长和边上的高，即可求出面积．
【详解】（1）如图所示，
F为的中点，
，
，
，又，
，
，，
，
，
为直角三角形，．
（2）如图所示，
是由沿着翻折而成的，且F为的中点，
，，
，
，
，
，又，
四边形是平行四边形．
（3）如图所示，过点M作于，
，四边形为平行四边形，
，，
是由翻折形成，且，
，，
，在中
，，
在，
，
，
．
【题型4 与中位线有关的折叠问题】
1．（24-25八年级·河南南阳·阶段练习）如图，分别为中边的中点，将此三角形沿折叠，使点C落在边上的点P处．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中位线的判定与性质，平行线的判定与性质，折叠性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出是的中位线，，结合平行线的性质得，因为折叠，得，最后由等边对等角，即可作答．
【详解】解：∵分别为中边的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
∵将此三角形沿折叠，使点C落在边上的点P处．
∴
∴
故选：D
2．（24-25八年级·贵州黔西·期末）在中，，，，是边上的高．将按如图所示的方式折叠，使点与点．重合，折痕为，则的周长为（ ）
A．9.5 B．10 C．11 D．15.5
【答案】D
【分析】先根据折叠的性质可得，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得，又根据等腰三角形的性质可得，从而可得，同理可得出，然后根据三角形中位线定理可得，最后根据三角形的周长公式即可得．
【详解】由折叠的性质得：
AD是BC边上的高，即
，
同理可得：
又
点E是AB的中点，点F是AC的中点
是的中位线
则的周长为
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出是解题关键．
3．（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图，将沿它的中位线折叠后，点A落在点处，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质，三角形中位线定理，三角形内角和定理，平行线的性质，平角的定义计算即可．
【详解】∵沿它的中位线折叠后，点A落在点处，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，平角的意义，熟练掌握中位线定理，折叠性质是解题的关键．
4．（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A’，若∠C＝120°，∠A＝26°，则∠A′DB的度数是（ ）
A．120° B．112° C．110° D．100°
【答案】B
【分析】根据轴对称和平行线的性质，可得∠A'DE＝∠B，又根据∠C＝120°，∠A＝26°可求出∠B的值，继而求出答案．
【详解】解：由题意得：DE∥BC，
∴∠A'DE＝∠B＝180°﹣120°﹣26°＝34°，
∴∠BDE＝180°﹣∠B＝146°，
故∠A'DB＝∠BDE﹣∠A'DE＝146°﹣34°＝112°．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称以及三角形中位线的性质，解题的关键是熟知三角形的中位线平行于第三边．
5．（24-25八年级·重庆北碚·开学考试）如图，在中，为中点，连接AD，把沿着AD折叠得到，连接，若，则线段的长是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】连接BE交AD于点F，由折叠的性质得出BD=DE，AD⊥BE，求出BE的长，可求出AF，DF的长，则可得出答案．
【详解】解：连接BE交AD于点F，
∵把△ABD沿着AD折叠得到△AED，
∴BD=DE，AD⊥BE，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴BD=CD=DE，
∴△BEC为直角三角形，∠BEC=90°，
∵CE=6，BC=10，
∴BE==8，
∵∠BEC=∠BFD=90°，
∴DF∥CE，
∴BF=EF=4，DF=CE=3，
∵AB=4，
∴AF==4，
∴AD=AF+DF=7，
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
6．（2024八年级·浙江·专题练习）如图，将纸片折叠(折痕为)，使点A落在上，记作①；展平后再将折叠(折痕为)，使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若，则图④中线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】图中，连接，延长交于；由题意易知：，，是的中位线，，则可求出的长度，即可解决问题．
【详解】解：如图中，连接，延长交于．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，，
，，
由折叠知：G、H分别是的中点，
∴是的中位线，
，，，
∴，
，，
是的中位线，
；
故选：．
【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考选择题中的压轴题．
7．（24-25八年级·重庆长寿·期末）如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，
下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中位线的性质可判断①，根据三线合一可判断②，根据折叠的性质可得到垂直平分，进而可判断③，根据三角形的外角的性质，即可判断④．
【详解】①点是边的中点，
要使，则需是的中位线，根据折叠得，显然本选项不一定成立；
②要使，则需，显然本选项不一定成立；
③根据折叠得到垂直平分，则，故本选项正确；
④根据三角形的外角的性质，得，，又，则，故本选项成立．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
8．（24-25八年级·重庆·期末）如图，中，，，，点、分别为、的中点，点为边上一动点，将沿着折叠，点的对应点为点，且点始终在直线的下方，连接，当为直角三角形时，线段的长为 ．
【答案】或
【分析】记与交于，见解析图，先证明，再讨论当时或时的情况．当时，由翻折得，，再由，，即得；当时，先证明得，再由翻折性质得，然后求出即可．
【详解】解：点、分别为、的中点，
，，
，，
，
，
当恰好在上时，、重合，此时，
，
并未在点正下方，
由于再往右运动，点在上方，就不存在，
当时，如图，记与交于，
，，
，，
翻折对应角相等，
，，
，
，，
；
当时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线判定及性质、图形折叠的性质、等腰三角形的判定及性质、特殊角的三角函数、全等三角形的判定及性质，分类讨论：当时，画出图形是解决本题的关键．
9．（2024·广东惠州·二模）“做数学”可以帮助学生积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第次折叠使点 落在 边上的点处，折痕交 于点 ；第次折叠使点落在点处，折痕交于点．若， 则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，折叠的性质，根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，，进而得到，易得是的中位线，是的中位线，最后由三角形的中位线定理求解即可．
【详解】解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点，
∴，．
∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点，
∴，，
∴，
∴．
如图所示，取中点H，连接，则是的中位线，
∴，
∴由平行线的唯一性可知，重合，即点H与点N重合，
∴是的中位线，
∴，
同理可得是的中位线，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
10．（24-25八年级·四川德阳·期末）如图，在四边形中，，，，，四边形沿着翻折，使点落在点，、、分别是、、的中点，则的长度为
【答案】
【分析】本题考查三角形中位线的性质，勾股定理．根据三角形中位线的性质得出为直角三角形是解题关键．根据三角形中位线的性质可得出，，，，从而可求出，，进而得出，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由翻折可知，．
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴．
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
11．（24-25八年级·重庆潼南·阶段练习）已知中，点D为斜边的中点，连接，将沿翻折，使点B落在点E的位置，交于F，连接．若，，则AE的长为 ．
【答案】
【分析】利用直角三角形的勾股定理和斜边中线等于斜边一半可以得到等腰三角形的边长，通过作辅助线，可将所求的问题进行转化到求，由折叠得是的中垂线，借助三角形的面积公式，可以求出，进而求出，由等腰三角形的性质，可得是三角形的中位线，得，求出，再根据勾股定理，求出，进而解得．
【详解】解：如图，
过点D作，，垂足为，连接交于点G，
在中，，，得，
∵点D为斜边的中点，
∴，
在中，，得，
那么，
在中，，
∴，
∴为的中位线，
∴，，
由折叠得，垂直平分，
在中，由三角形面积公式得，即，
在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考图形的查翻折变换、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理及等面积法，能够构造出并证明三角形中位线是解题的关键．
12．（24-25八年级·重庆开州·开学考试）如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，则O到的距离为
【答案】/
【分析】连接交于，过点作于点，由翻折性质可证，得出为的垂直平分线，由平行四边形的性质求出，由中位线性质求出，由勾股定理求出，的长，再利用即可求出的长，得出最后结论．
【详解】解：连接交于，过点作于点，
由翻折性质可知，，，
又，
，
，
为的垂直平分线，
，
四边形为平行四边形，
，
，分别为，的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折性质，三角形全等的判定与性质，垂直平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线性质，正确作出辅助线，利用中位线性质求出的长度，是解答本题的关键．
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专题6.4 平行四边形中的四大折叠问题（40题）
【北师大版】
【题型1 平行四边形折叠问题求角度】
1．（24-25八年级·河南漯河·期末）如图，将一张平行四边形纸片以为折痕进行折叠，点的对应点为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级·安徽宿州·期末）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，与交于点G，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级·天津南开·期中）在平行四边形中，，现将平行四边形沿折叠，使点与点重合，点落在处，则的度数（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级·浙江宁波·阶段练习）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，点落在线段上的处，点落在处，连结，．若恰有，则 ．
5．（2024八年级·全国·专题练习）如图，P是平行四边形纸片的边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上处，折痕与边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在边上处，折痕与边交于点N．若，则 °．
6．（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，在中，E是边上一点，将沿AE折叠至处，与交于点F，若，，则的度数为 ．
7．（24-25八年级·重庆大渡口·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在，处，且经过点B，交BC于点G，连接，若平分，，，则的度数是 ．
8．（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在▱ABCD中，M为边CD上一点，将△ADM沿AM折叠至△AD′M处，AD′与CM交于点N．若∠B＝55°，∠DAM＝24°，则∠NMD′的大小为 度．
【题型2 平行四边形折叠问题求线段长】
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处，若，，则的周长为（ ）
A．12 B．18 C．15 D．21
2．（24-25八年级·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，将沿若所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长 ( )
A．1 B． C． D．
3．（24-25八年级·广东广州·期末）如图，平行四边形纸片，，，面积为，将其沿对角线折叠，使点C落在点F处，与边交于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·黑龙江·三模）如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（24-25八年级·山东淄博·期中）如图，矩形，E是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F．若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级·浙江金华·期中）如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ．
7．（24-25八年级·山东聊城·期中）如图，已知，，，，点D为的中点，点E为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，当时， ．
8．（24-25八年级·湖北咸宁·期末）如图，已知中，，点E，F分别在边，上．若将沿直线折叠，使得点A恰好落在边的点G处，且，则 ．
9．（24-25八年级·四川成都·期中）如图，在中， ，，，点为边上的一个点，连接，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在边上，过点作，交于点，连接，则的长为 ．
10．（24-25八年级·重庆·期中）如图，在平行四边形中，分别是边上动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，连接、，其中交于点．若，，，则的长度为 ．
11．（24-25八年级·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．
(1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________．
(2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．
12．（24-25八年级·海南海口·期末）在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结．
(1)如图1，
①求证：；
②求证：四边形为平行四边形；
③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数．
(2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长．
13．（24-25八年级·江西吉安·期末）综合与实践
【问题情境】
在中（），点P是射线上一点．将沿直线折叠，点D对应点为E．
【数学思考】
如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形的形状一定是 （选填“菱形”“矩形”或“正方形”）；
【拓展探究】
如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由；
【问题解决】
如图3，当点E恰好落在的边所在直线上时，，，，直接写出的长．
【题型3 平行四边形折叠问题求面积】
1．（24-25八年级·湖北武汉·期中）在探究折叠问题时，小华进行了如下操作：如图，为直角梯形边的中点．将直角梯形纸片分别沿着，所在的直线对折，点，恰好与点重合，点．，在同一直线上．若四边形为平行四边形，且．，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 ．
3．（24-25八年级·四川自贡·期末）如图，在三角形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，折痕记为，剪去△后得到双层△，再沿着过△某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的面积是 ．
4．（24-25八年级·重庆·期中）如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，若以虚线折叠纸片，则图中阴影部分的面积与整个图形的面积之比为 ．
5．（24-25八年级·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，，P为边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B，C的对应点分别为，，过的中点E作交于点F，连接，若，则的面积是 ．
6．（24-25八年级·四川成都·期中）如图，将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求平行四边形的面积．
7．（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图1，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点．
(1)如图2，当点，重合时，
①求证：四边形是菱形；
②设点为线段上一点，求的最小值．
(2)求的面积的取值范围．
8．（24-25八年级·山西吕梁·阶段练习）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图（1），在中，F为的中点，E为边上一点，连接、，连接并延长交的延长线于G，若，试猜想与的位置关系，并加以证明．
【独立思考】
（1）请解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图（2），点C的对应点为，连接并延长交于点G，判断四边形的形状，并加以证明．
【问题解决】
（3）如图3，智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，点A的对应点为，使于点H，交于点N，折痕交边于点M．该小组提出一个问题：若，，直接写出的面积．
【题型4 与中位线有关的折叠问题】
1．（24-25八年级·河南南阳·阶段练习）如图，分别为中边的中点，将此三角形沿折叠，使点C落在边上的点P处．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级·贵州黔西·期末）在中，，，，是边上的高．将按如图所示的方式折叠，使点与点．重合，折痕为，则的周长为（ ）
A．9.5 B．10 C．11 D．15.5
3．（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图，将沿它的中位线折叠后，点A落在点处，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A’，若∠C＝120°，∠A＝26°，则∠A′DB的度数是（ ）
A．120° B．112° C．110° D．100°
5．（24-25八年级·重庆北碚·开学考试）如图，在中，为中点，连接AD，把沿着AD折叠得到，连接，若，则线段的长是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八年级·浙江·专题练习）如图，将纸片折叠(折痕为)，使点A落在上，记作①；展平后再将折叠(折痕为)，使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若，则图④中线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级·重庆长寿·期末）如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，
下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25八年级·重庆·期末）如图，中，，，，点、分别为、的中点，点为边上一动点，将沿着折叠，点的对应点为点，且点始终在直线的下方，连接，当为直角三角形时，线段的长为 ．
9．（2024·广东惠州·二模）“做数学”可以帮助学生积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第次折叠使点 落在 边上的点处，折痕交 于点 ；第次折叠使点落在点处，折痕交于点．若， 则 ．
10．（24-25八年级·四川德阳·期末）如图，在四边形中，，，，，四边形沿着翻折，使点落在点，、、分别是、、的中点，则的长度为
11．（24-25八年级·重庆潼南·阶段练习）已知中，点D为斜边的中点，连接，将沿翻折，使点B落在点E的位置，交于F，连接．若，，则AE的长为 ．
12．（24-25八年级·重庆开州·开学考试）如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，则O到的距离为
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