精品解析：湖南省岳阳市2025届高三下学期考情信息卷（一）数学试题

岳阳市2025届高三信息卷 数学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､考号和姓名填写在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A，B，再利用并集的运算求解. 【详解】解：因为， ， 所以． 故选：B． 2. 设，为复数，且，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，， 对于A，因为， 所以， 且，所以，故A正确； 对于B，因为，，， 则，， 所以，故B正确； 对于C，若，例如，，满足， 但，，即，故C错误； 对于D，因为， 所以，， 所以，故D正确. 故选：C. 3. 设向量，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则与的夹角为钝角 B. 若，则 C. 与共线的单位向量有且只有 D. 若，则或 【答案】C 【解析】 【分析】利用单位向量的定义，平面向量的线性运算和数量积运算，逐一分析各个选项即可得解. 【详解】对于A，若与的夹角为钝角，则且与不共线， 又，，则，解得且， 所以当时，与的夹角为钝角，故A正确； 对于B，因为，所以，得，故B正确； 对于C，易得，与共线的单位向量为， 即与共线的单位向量为或，故C错误； 对于D，由，即，解得，故D正确． 故选：C. 4. 已知函数，其中.若函数的最小正周期为，且当时，取最大值，是 A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是增函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题目所给已知条件求得的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】由于函数的最小正周期为，故，即，.所以.由，解得，故函数的递增区间是，令，则递增区间为，故B选项正确.所以本小题选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题. 5. 数列中，，若是数列的前项积，则的最大值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，然后求得的表达式，再根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】依题意得，，所以， 所以 ， 因为，所以当或8时，取得最大值为， 故选：A. 6. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法可判断AB选项；利用特殊值法可判断CD选项. 【详解】因为 ， 所以，，因为，则，A对B错； 若，则成立，但，C错； 若，则成立，则不成立，D错. 故选：A. 7. 已知函数，函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，利用导数研究函数的单调性，有两个零点，即的图象与直线有两个交点，结合函数图象，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：当时，设，则， 易知当时，，即是减函数，∴时，， 又时，且，而时，是增函数，． 有两个零点，即的图象与直线有两个交点，函数的图象如下所示： 所以． 故选:C． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数方程思想与数形结合思想，属于中档题. 8. 如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交于E，交于F，给出下面几个命题： ①四边形一定是平行四边形； ②四边形有可能是正方形； ③平面有可能垂直于平面； ④设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､B三点共线； ⑤四棱锥的体积为定值. 以上命题中真命题的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由面面平行的性质和四边形的判定定理可判断①；由正方形的性质可判断②；由面面垂直的判定定理可判断③；由两平面相交的性质可判断④；由等积法和棱锥的体积公式可判断⑤. 【详解】因为平面与平面平行，截面与它们交于，BF，可得， 同样可得，所以四边形是一个平行四边形，故①正确； 如果四边形是正方形，则， 因为，所以平面， 又平面，E与A重合，此时不是正方形，故②错误； 当两条棱上的交点是中点时，四边形为菱形，平面， 此时四边形垂直于平面，故③正确； 由与DC的延长线交于M，可得，且， 又因为平面，平面ABCD， 所以平面，平面ABCD， 又因为平面，平面ABCD， 所以平面平面， 同理平面平面， 所以BM，BN都是平面与平面ABCD的交线， 所以B，M，N三点共线，故④正确； 由于，平面， 则E，F到平面的距离相等，且为正方体的棱长，三角形的面积为定值， 所以四棱锥的体积为定值，故⑤正确. 故选:C. 【点睛】此题涉及的设问情况较多，有一定成立，有可能成立.对于一定成立的命题，需要利用定理加以证明，对于可能成立的问题举出例子即可说明其成立，利用反证法才能证明其不成立.故此类题在判断时，要学会选用适当的方法. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有（　　） A. 若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人； B. 若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8； C. 若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数； D. 若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据分层抽样、方差、平均数、古典概型等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，男生抽取，女生抽取人，A选项正确. C选项，样本平均数为，可以用样本平均数估计总体的平均数，C选项正确. B选项，样本方差为 ，所以B选项错误. D选项，男生甲被抽到的概率为，D选项错误. 故选：AC 10. 三次函数叙述正确的是（ ） A. 当时，函数无极值点 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 过点的切线有两条 D. 当时，函数有3个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导后由导数大于零恒成立可得A正确；由可得B正确；设切点，由导数的意义得到切线方程，求解可得C错误；求导后分析单调性，利用极大值大于零，极小值小于零可得D正确； 【详解】对于A，，，，单调递增，无极值点，故A正确； 对于B，因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C：设切点，则切线方程为， 因为过点，所以，，解得， 即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误； 对于D：，当时，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又有极大值为，所以若函数有3个零点， 则有极小值为，得到，故D正确． 故选：ABD． 11. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（ ） A. 的值为4 B. C. D. 的面积与的面积之比为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，，再结合抛物线的定义，可求的值，可判断A的真假；进而可得点的坐标，求值斜率，判断B的真假；利用两点间的距离公式可求，判断C的真假；根据可判断D的真假. 【详解】如图： 设，， 联立可得， 所以，， 故． 对A：因为，， 所以，则，解得或． 因为，所以，故A正确； 对B：因为，． 又，所以，，则，故B成立； 对C：因为，故C错误； 对D：因为，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中含项的系数为8，则实数___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意得到的展开式的通项公式，再由条件列出方程即可得到结果. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 则展开式中含项的系数为 解得 故答案为: 13. 已知双曲线，双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设有，直接计算离心率得到答案. 【详解】由曲线，整理可得， 离心率. 故答案为：. 14. 已知，，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，结合二倍角的正切、和角的正切公式求解作答. 【详解】因为，，且，则，即， 于是， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）如图，若为 外一点，且，，，，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)根据条件，运用倍角公式和差公式正弦定理化简即可； (2)连接BD，先求出 ，再求出 ，运用正弦定理求出BC即可. 【小问1详解】 由，得， 即， 由正弦定理，得，整理，得， ∴，又，∴，∴； 又，∴； 【小问2详解】 连接BD，因为，，， 所以，， 所以，所以． 又，所以， 在 中，由正弦定理可得，即， 所以 ， 所以 ； 综上， . 16. 一个不透明的袋子中装有10个质地、大小均相同的小球，其中2个白球，8个黑球，每次从袋子中随机抽取一个小球，若抽到的是黑球，则放回袋子中，不做任何改变；若抽到的是白球，则用一个质地、大小均与袋中的黑球相同的黑球替换该白球放回袋子中（例：若第一次抽到的是白球，则第二次抽取时袋中就有1个白球，9个黑球）. （1）若从袋子中随机抽取小球3次，记为抽到白球的次数，求的分布列和数学期望； （2）记第（且）次恰好抽到第二个白球的概率为，求. 【答案】（1） 0 1 2 ； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出数学期望即得. （2）利用独立重复事件求出第次抽到第一个白球，第次抽到第二个白球的概率，再利用互斥事件的概率公式，结合等比数列前项和公式求出. 【小问1详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望. 【小问2详解】 设第次抽到第一个白球，则第次抽到第二个白球的概率为： . 所以. 【点睛】思路点睛：求解应用问题思路：①认真审题，厘清已知条件中的信息；②分清所求与已知之间的关系；③注重对基本概念的理解，并加强知识间的整合能力，特别是加强对知识点交汇问题的求解能力，提升阅读理解能力. 17. 如图，在正方体中，，，，分别是所在棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：正方形中，分别是、中点，则，均为锐角， 所以，所以，所以， 平面，平面，所以， 又，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）证明，再证得后可得证线面垂直． （2）作出与平面所成的角，并证明此角等于，在直角三角形中计算可得． 【详解】（1）略 （2）也是中点，，且，作出完整的截面，设，，如图，连接， 由，平面，平面，所以平面，又 截面平面，截面，所以， 由（1）平面，所以在平面内的射影是， 所以与平面所成的角，即为与的夹角，也即为与的夹角， 设，易得，， ． 所以直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，函数的图像在处的切线方程为： （1）求的值； （2）若，成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，在切点的导函数值就是切线的斜率，求出a、b的值； （2）将原式化简，变为新函数，对新函数求导讨论单调性求出k的取值； 或是利用参变分离求最值，求得k的取值. 【详解】(1) ,由题意可得，解得. (2) (方法1)由得，∵x>0∴lnx+(1k)xk+3<0恒成立 设g(x)=lnx+(1k)xk+3 (x>0) 当k≤1时，g´(x)≥0，y=g(x)在x(0,+∞)上单调递增，不符合题意，舍去 当k>1时，y=g(x)在x(0, )上单调递增，在x(,+∞)上单调递减， ∴g(x)≤g()=ln+2k<0 设h(k)= 2kln(k1),h´(k)=1<0,y=h(k)在k(1,+∞)上单调递减 ∵h(2)=0∴由h(k)<0解得k>2 综上所述，k的取值范围是(2,+∞). （方法2）得，∵x>0∴lnx+(1k)xk+3<0恒成立， 整理得：k> ， 令g(x)= ,则 令h(x)= -lnx-1, (x>0),h(x)= - - <0在x>0时恒成立 所以，h(x)单调递减，又h(1)=0， 所以，x∈(0,1)，h(x)>0,即g(x) >0, g(x)单调递增 x∈(1,+∞)，h(x)<0, 即g(x) <0， g(x)单调递减 g(x)在x=1处有最大值g(1)= 2 所以k>2,k的取值范围是(2,+∞) 【点睛】本题主要考查了函数的切线问题求参数及函数中的恒成立问题，解决函数恒成立问题的方法：分类讨论，讨论函数单调性求得参数的范围； 参变分离，构造函数，求最值，求得参数的范围. 19. 已知椭圆（）的离心率为，且经过点.定义第n（）次操作为：经过C上点作斜率为k的直线与C交于另一点，记关于x轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. （1）求C的方程； （2）若为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值； （3）若，是C在第一象限与A不重合的一点，证明：的面积为定值. 【答案】（1）； （2）； （3） 当时，由（*）式得，同理，所以与关于原点对称. 如图，由椭圆的对称性可知，与关于原点对称，与重合， 所以是以4为周期的周期点列，所以的面积等于的面积. 因为直线的方程为， 点到直线的距离， 所以. 【解析】 【分析】（1）由离心率、椭圆所过的点列方程求参数，即可得椭圆方程； （2）设，则直线的方程为，联立椭圆方程消去y，结合求得，根据题设定义，利用对称性有得到方程，即可求参数值； （3）由（2）易得与关于原点对称，结合椭圆对称性有与关于原点对称，与重合，进而有是以4为周期的周期点列，得的面积等于的面积，再应用点线距离公式、三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 由题设有，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，则直线的方程为，与的方程联立， 消去得. 因为，所以. 因为是它的一根，所以， 即.（*） 若，经过3次操作后停止，即为. 将代入（*）式得，， 因为关于原点对称，，所以与关于原点对称， 因为与关于轴对称，与关于轴对称，所以与关于原点对称， 所以，解得， 综上，当时，. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二、三问，找到相关点的对称性，利用对称性得到、的面积等于的面积为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳阳市2025届高三信息卷 数学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､考号和姓名填写在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 设，为复数，且，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 3. 设向量，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则与的夹角为钝角 B. 若，则 C. 与共线的单位向量有且只有 D. 若，则或 4. 已知函数，其中.若函数的最小正周期为，且当时，取最大值，是 A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是增函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是增函数 5. 数列中，，若是数列的前项积，则的最大值（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交于E，交于F，给出下面几个命题： ①四边形一定是平行四边形； ②四边形有可能是正方形； ③平面有可能垂直于平面； ④设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､B三点共线； ⑤四棱锥的体积为定值. 以上命题中真命题的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有（　　） A. 若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人； B. 若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8； C. 若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数； D. 若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为. 10. 三次函数叙述正确的是（ ） A. 当时，函数无极值点 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 过点的切线有两条 D. 当时，函数有3个零点 11. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（ ） A. 的值为4 B. C. D. 的面积与的面积之比为4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中含项的系数为8，则实数___________. 13. 已知双曲线，双曲线的离心率为__________. 14. 已知，，且，则________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）如图，若为 外一点，且，，，，求的面积． 16. 一个不透明的袋子中装有10个质地、大小均相同的小球，其中2个白球，8个黑球，每次从袋子中随机抽取一个小球，若抽到的是黑球，则放回袋子中，不做任何改变；若抽到的是白球，则用一个质地、大小均与袋中的黑球相同的黑球替换该白球放回袋子中（例：若第一次抽到的是白球，则第二次抽取时袋中就有1个白球，9个黑球）. （1）若从袋子中随机抽取小球3次，记为抽到白球的次数，求的分布列和数学期望； （2）记第（且）次恰好抽到第二个白球的概率为，求. 17. 如图，在正方体中，，，，分别是所在棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数，函数的图像在处的切线方程为： （1）求的值； （2）若，成立，求的取值范围. 19. 已知椭圆（）的离心率为，且经过点.定义第n（）次操作为：经过C上点作斜率为k的直线与C交于另一点，记关于x轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. （1）求C的方程； （2）若为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值； （3）若，是C在第一象限与A不重合的一点，证明：的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $