甘肃省多校2024-2025学年高三下学期5月联考考试数学试卷

高三数学考试参考答案 题序 1 2 3 4 5 8 9 10 11 12 13 14 0,n为奇数， 答案 D 5 C D B C B D A ABC BC BD -5 4 2,n为偶数 评分细则： 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分. 【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分：第10,11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分. 【3】第12,13,14题，凡与答案不符的均不得分 1.D【解析】本题考查复数的运算及概念，考查数学运算的核心素养， 2++3=2一1一i=1一i,在复平面内对应的点位于第四象限. 2.C【解析】本题考查命题的真假与否定，考查逻辑推理的核心素养. 当x=时，x-3x+2=-<0,所以p是假命题，且p:3x>1,x-3x+2<0. 3.D【解析】本题考查三角函数诱导公式，考查数学运算的核心素养， cos(a+260)=cos[a-10)+270]=sin(a-109）=3 4.B【解析】本题考查函数的极值，考查数学运算的核心素养 由f(x)=nx一+x,得f(x)=是+号+1.因为x=1是fx)的极值点，所以了) 2十a=0,得a=一2，经检验知当a=一2时，满足x=1是f(.x)的极值点. 5.C【解析】本题考查二项分布，考查数学运算的核心素养 由题可知X~B(6,号)：则E(X)=6X号=4，E(2X+1)-2E0X)+1=9, 6.B【解析】本题考查三角恒等变换与三角函数的性质，考查数学运算的核心素养 f(x)=sin x(sin x-cos x)-1=sin'r-sin xcos x-1=1-cos 2x 2 2sin2.x-1= 号n(2x十)一名则了)的最小正周期T-经-元 7.D【解析】本题考查椭圆的性质，考查逻辑推理的核心素养。 由PF1·PF2=O,可得PF1⊥PF,则|PF,I2+PFzI2=|F,F23.因为△PF,Fz的面积 为2，所以2Pp,PE=2,则PFlIPF,=7,从而(PE,+PF:)-2PEPF= FF,即-14=.又C的离心率为所以-5 a=8,解得a2=16,c2=25 ，从而 【高三数学·参考答案第1页（共8页）】 ·GS· 6-号则C的面积为ab=2v元 8.A【解析】本题考查函数的图象与性质，考查直观想象的核心素养， 作出f(x),g(x)的图象可知，f(x)在(0，十∞)上单调递增，g(x)在 （0,十∞)上单调递减，且f(e)=g(e)=是，所以当0<r<e时，fx) <.设M(m,h).Nm,).则saw-n(偏h）= 1mnm.令h(x)=2一2e（0<x<e),则h'(x) 2 2e. 2e 21+lnx),当x∈(0，启)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，当x∈（日心）时，h'(x)<0, A(x)单调递减，则（红）≤A(日)=+记，故△OMN面积的最大值为号+ 141 9,ABC【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养」 题可知，1的方程为y=工一联立2整理得2-3x十=0，则x1十 ly2=2px, 3p,|AB|=x1+x2十p=4p<8,得0p<2. 10.BC【解析】本题考查立体几何综合问题，考查直观想象的核心素养， 如图，设N,G分别为EB,FC的中点，连接MV,MG,EG,AF.在直 D 三棱柱ABC-DEF中，有MD⊥DE,CF⊥EF,AM⊥AC.因为AD= AB=BC=2,M为AD的中点，所以ME2=MD+DE=5,CE= BE2+BC=8.又AB⊥BC,所以AC=AB+BC2=8,MC2=MA2 十AC2=9,则ME+CE≠MC2,从而ME与EC不垂直，A不正确 易得MNL平面EFC,则Vm=VwB=号SaBR·MN=号×号×2X2X2 3,B正 确.易知MG∥AC,则ME与AC所成的角为∠EMG,由MG2=AC=8,EG=EF2+FG2 =5,得os∠EMG=MEMGEG-,C正.确易知三校锥E-ABC的外接球即为 2ME·MG 直三棱柱ABC-DEF的外接球，该外接球的直径为AF=√AC+CF2=2√3，则三棱锥 EABC的外接球的表面积为标×(2)'=12，D不正确 11.BD【解析】本题考查新定义运算，考查数学抽象的核心素养. 因为为A上的范数，所以由xa十yb=0,可得xa十yb=(0,0,0),取a=(1,1,1),b= (一1，一1，一1)，可得x十y=0,A不正确.因为‖1为A上的范数，所以由②③可得xa十 yb≤xa+yb=x|·a+|y|·b,B正确.取a=(0,-1,0),则Ta1=(6+一I+ 【高三数学·参考答案第2页（共8页）】 ·GS· 6)3=一1<0，「7不为A上的范数，C不正确.由la」=√x十y十2，可知La>≥0，且当 且仅当a=(0,0,0)时，La」=0，满足①.Hk∈R,a∈A,可得Lka」= √(kx)+(ky)+(k:)=kx+y+之=k|·La,满足②.设a,b∈A,且a=(.x1, y1,1),b=(x2,y2,2),则La+b」=√(x1十x2)2+(y1十y2)2+(1+2)2,La」 √x+y+,Lb」=√x+y+,则(La」+Lb」)2-(La+b」)2= 2V(x+y7+)(x+y+)-2(x1x2十y1y2十12).因为(xi+y+)(x+y+ z号)-(x1x2十y1y:十2122)2=(x1y2-x2y1)”+(x122一x221)2+(y12一y221)≥0，所 以La十b>≥a十Lb」，满足③.故L为A上的范数，D正确， 12.一5【解析】本题考查抽象函数的性质，考查逻辑推理的核心素养， 因为f(x)是奇函数，所以f(1)=一「（一1）=一5.又f(x)的图象关于直线x=3对称，所 以f(5)=f(1)=-5. 13.- 【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养 由题可知，C的圆心坐标为（一1,0，且圆心到1的距离d一十兰-·因为C上恰有目 w1+3 个不同的点到1的距离为1，所以C的半径为号则”=是。 =了，解得m=一 41 0,n为奇数， 14.1 【解析】本题考查概率，考查逻辑推理的核心素养。 n为偶数 由题可知，要使格子中的数字从左到右为降序排列，则生成的个数字中，奇数与偶数的个 数均为奇数，则n为偶数.故当n为奇数时，P。=0.当n为偶数时，设n=2k(k∈N),设电 脑随机生成的n个数字中，恰有个为奇数，则X的所有可能取值为1,3,5，·，2k一1. P(X=2-1=C().()-0”=C()广=1,2，…，k),则P,=2P(x =2i-D-(2)”·2c1=(2)”·2c.因为2cg1+8+ca-C=2=2, 且c=C8+C,所以2c8=号×2=2，则P.=()广×c=(2)》”× 0,n为奇数， 2=故P.= 2n为偶数. 15.【解析】本题考查独立性检验，考查数据分析的核心素养. 解：(1)由题可知，不经常使用A1工具的学生共有200一120=80人.…1分 设不经常使用AI工具的小学生有x人，按比例用分层随机抽样的方法抽取4人，小学生有 3人被选中，则5×4=3，得x=60. …2分 【高三数学·参考答案第3页（共8页）】 ·GS· 故列联表完成如下 学段 使用AI工具的情况 总计 中学生 小学生 经常使用 80 40 120 不经常使用 20 60 80 总计 100 100 200 6分 (2)根据(1)中的列联表，可得K2- 200×(80×60-40×20)2100 100×100×120×80 3 ≈33.333>10.828，… 11分 所以有99.9%的把握认为学生使用A1工具的情况与学段有关.… 13分 评分细则： 【1】第(1)问表格中中（小）学生、经常（不经常）使用对应的4个数据，每填对1个得1分. 【2】第(2)间中，19没有化成小数，而是直接与10.828比较大小，不扣分。 16.【解析】本题考查数列，考查数学运算的核心素养。 解：(1)因为S+1=Sn十an十2n十3，所以a+1=an十2n十3.…1分 又a1=3,所以a2=a1十5=8，a8=a2十7=15，a1=a8十9=24.…4分 (2)由(1)可知am+1=am十21十3， 则a2十ag十…十un=a1十a2十…十ag-1十5十7+…十2十1，…7分 则a,=41十5+7++2m+1=3+5+7+…+2m+1=8+20+10n=m2+2m.…9分 2 (3)油(2)可得6，=m+2m2（方中2 1一= 1(1-1 ,…11分 1 111 n-1n+1nn+2 …13分 3n2+5n 4n2+12n+8 …15分 评分细则： 【1】第(1)问中a2,a3,a4,每算对1个得1分. 【2第（3间的答案也可以写成子2n”+ 2n+3 17.【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养 解：(1)由asin(C-B)=bsin(A-C),可得sin Asin(C-B)=sin Bsin(A-C).…1分 因为C=2B,所以sin(C-B)=sinB,…2分 sin Asin B=sin Bsin(A-C). 又sinB≠0，所以sinA=sin(A-C). …3分 【高三数学·参考答案第4页（共8页）】 ·GS· 因为0<A<π，一x<A一C<π，且A≠A一C, …4分 所以A十A一C=元。…6分 由A十B+C=x,C=2B,可得A=交 …7分 (2)sin(C-B)=sin Ccos B-cos Csin B,sin(A-C)=sin Acos C-cos Asin C.... ……9分 所以由asin(C-B)=bsin(A-C),可得a(sin Ccos B-cos Csin B)=b(sin Acos C- cos Asin C),则accos B-abcos C=abcos C-bccos A.…10分 根据余弦定理，可得a2十b2=2c2. ……12分 cos C-a'tb-c_a'+b2ab 1 13分 2ab 4ab4ab 2 当且仅当a=b时，等号成立， 14分 由cosC>2,可得0<C<5,故C的最大值为 15分 评分细则： 【1】第(1)问没写sinB≠0，不扣分. 【2】第(1)问没讨论A≠A一C的情况，扣1分. 【3】第(2)问没说明基本不等式的取等条件，扣1分 18.【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养 1)解：由fx)=x+是-2e(>0),得fx)=2x- 十2e-,…1分 则f(1)=0,f(1)=3,…3分 故f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y=3.x一3. …4分 (2解：由fx)=0,得e[(2+)e1-2]=0, …5分 令8)=(r+)e-2>0.则g'x)=(2+2x+）e1-+2x+ x-1). 6分 令h(.x)=x十2.x3十x一1，x>0,显然h(x)在(0，十o∞)上单调递增，…7分 且h(分)=是<0h1=3>0.故3x,∈（分）h,)=0.…8分 当x∈(0，x。)时，h(x)<0,则g'(x)<0,g(x)单调递减：当x∈(xa,十co)时，h(x)>0,则 g'(.x)>0,g(x)单调递增.…9分 因为()-10。-2>1C-2>0g,g=0.所以3∈（品g =0,从而g(x)的零点个数为2，即f(x)的零点个数为2.… 12分 (3)证明：要证fx)≥3nx,需证e一(x2+士-3hx)≥2 …13分 【高三数学·参考答案第5页（共8页）】 ·GS· 令pe)(+h小>0则px)=e(+2x是n …14分 令H(x)=x2+2x-2-1 -3nx,x>0,则H(x)=2x+2+号+23 3x+2+2Z,十2>0，则Hx)在(0，+©)上单调递增 x2 ，…15分 因为H(1)=0,所以当x∈(0,1)时，H(x)<0,则o'(x)<0,o(x)单调递减，当x∈(1， 十6∞)时，H(x)>0,则p'(x)>0,(x)单调递增，…16分 从而9(x)≥0(1)=2，证毕。…17分 评分细则： 【1】第(1)问中f(1)=0,'(1)=3,每算对1个得1分 【2】第(2)问中h(x)的隐零点所在的区间可以根据解题步骤具体酌情给分 【3】第(2)问还可以将函数零点转化成两个函数图象的交点处理，过程如下： 有f(x)=0,得x2十=2…5分 令F(x)=x+元，G(x)=2e,则F'(x)=2x- 2x3-1 …6分 当xE(o√)时.F()<0.F(x)单调递减，当xE(√沿+∞)时.F'(x)>0,F(x)单 调递增. …7分 显然函数y=2e在(0，十o∞)上单调递减. …8分 因为F1D=G1)=2.所以F(42)<G(,)】 …9分 又F(合)=6+元G(合)=2e,所以3m∈（合）.Fm)-Gm. …11分 故f(x)的零点个数为2.… …12分 19.【解析】本题考查立体几何与双曲线的综合问题，考查直观想象的核心素养， 解：D的方程为十-1@>0.>0。 3分 (2)(1)若l。,lg共面，则1.∥g,如图1，过弦l2的中点M作 MH⊥a,垂足为H,过H作HN⊥I。,垂足为N,则l.,lg所在 直线间的距离为MN,…4分 双曲面D 因为a与3之间的距离为3b,所以MH=√3b,0≤HN<3a, …5分 则MN2=MH2+HN2∈[3b2,362+9a2), 故MN∈[V3b,W3b2十9a2).…6分 图1 【高三数学·参考答案第6页（共8页）】 ·GS· 若l。,lg异面，如图2，设CD=l。,AB=lg,且A(x1,213b), B(x2,2N3b),C(xa,23,0),D(x4,4,0),则(.x2-x1)(之4 之3)≠(x1一x)(之2-1）.…7分 双曲面D 设向量n=(xo,2oy)满足n⊥AB且n⊥CD, n·AB=0, x0(x2-x1)十2(2-g1)=0, 则由n.C币=0 可得 x(x1-x3)十o(24一a)=0, 图2 解得0， 取yo=1,则n=(0,0,1).…8分 0=0, AC=(x3一x1一名1，一3b),设l。l所在直线间的距离为d, 则dAC.m=10.-)0,）-861-56.…9分 n √02+02+1 综上所述，l。,l。所在直线间的距离的取值范围为[3b,3b2十9a).…10分 (i)设A,=(x,≈w3b)(i=1,2,3,…n),P=(x,y), 易知xf+=4a,x十+之y a? =1. 因为AA…,A,恰好构成正n边形的顶点，所以公1，=含，=0.…11分 由PA=(x-x-w3b-y),可得2PA=(2x:-x),2(,-)n56-y, 则12PA2=[2(x,-x)]+[2(,-)]+n(36-y)=[(空x)-x]+[(空) -n2]+n2(3b-y)2=n2(x2+z2)十n2(3b-y)2.…12分 由十 方1.可得+2=a2+g 13分 则空p=[a+y+6-w门=[产(- +a+4a62 a2+b2 a2+b2 n2.a+4a26 a2+b2 14分 由A2PA,1≥Va-b恒成立，可得x22PA,12≥n2(a2-b). 则X2≥a2-)(a2+6) ()-1 a+4a2b2 15分 (号)'+4（会）》 令1 -1=1-+出 =会，由a>b>0.可得>1，则A>+ t2十4t 因为+>十1>0，所以1-知生1，且当1十时， 4t+1 t2+4 →0，…16分 【高三数学·参考答案第7页（共8页）】 ·GS· 则入2≥1，故入的取值范围为[1，十0∞).…17分 评分细则： 【1】第(1)问方程没标注a>0,b>0,扣1分. 【2】第(2)(i)问求出MH=√3b,0≤HN<3a,得1分. 【3】第(3)间得到2，=之，=0，得1分. 【高三数学·参考答案第8页（共8页）】 ·GS·饰密★启同前 右焦点，C上一点P满是P尿·P丽=0，L△PF,F的面积为2，则C的面积为 高三数学考试 A.r 27 C./x D.2/Mix 8已知0为坐标原点，直线x一和(0<m<)与函登fx)-血 ，x)=土的用象分制交于 注意率项： M,N两点，则△N面积的最大慎为 1.容抛前，考生务必将白己的姓名，考生号，考场号位号填写在容题卡上， 之同容选择题时，海出每小狐落案后，用备笔把答随卡上对应题日的答案标号德 A+切 2+月 c1+是 n14 中 黑。如雷改动，用障皮擦干净月，遗徐其他器案标号。网答非透择题时，将容案写在 二，艺择质：本题共3小短，每小盈5分，共18分.在每小置给出的选项中，有多项特合量目要 答丽卡上，写任本试卷上无效 求。全都远对的得5分，都分选对的得部分分，有法的得0分. 三考试结桌品，将木试卷和容题卡一并交回。 ,已知射物线C:32=2虹〔p>0)的欢为F,过F且斜*为1的真线！与C交于A,B两点， 4本试播主夏考试内容：高考全部内容。 若1AB引<8，则P的值可偏为 A BI c D2 一，进择品：本丽共8小县，每小题5分，共40分.在每小丽给出的四个法项中，只有一项是符合 10.如图，在直三棱柱ABC-DEF中，AD一AB=C一2，AB⊥，M为AD的中点，划 韵目要求的 A.ME⊥EC 1.复数2十十在复平面内对应的点位甲 A第一象限 B第二象限 G第三象限 D第四象限 名三装能MBC的体获为疗 2若命短：V>1士2-3x十>0，则 A.p是点价思，且市：3x>1,x3-3x十20 C直线E与AC所设角的余痘值为罗 Bp是真命题，且一，3zx1x-3x十20 D三棱锥EAHC的外接球的表面积为4B宽 公 C办是限超，且→P:3x>1,2-十20 .设集合A={aa=(1,a2a,》,n1,a4:a,∈R!,且Yx∈R,8=(a1:ua>CA,b=(6 Dp是假偷题，且一P:3rGlx2一3x十2运0 b吐，)∈A,a十b-(m1十b1,a十，0：十b:),x海一(01mg,x:3.定文兹期{若清起 品已知角e情见如a一10门-言则so+280)- ①￥a∈A,a0,且当日仅当a-(0,0,0时，a-0,②HaCA,z∈R,1zm-|r|·a Va,b∈A,a+bHb这三个条作，则时为A上的范数.下列结论正确的是 A.26 A塑为A上的范数，且3￥，y∈R,0,b∈A,za4M一0，明室一y一0 5 B智 c-司 n B断为A上的撤数，则Hxy∈R,e,b∈A,a+≤xr|·+y·b】 格 4已知=1是风酸儿)-加王一是+打的袋植点，测一 C定义运算1：a=±y=)EA「￥一（在+十左'，测r1为A上的植数 D定义运RhVa=(红，：)EA,礼a一√空十y军，期为A土的范数 A.2 B一2 C.1 0-1 三，填空墨：本2共3小摄，每小题5分，共15分. 五，某焰组织一场知识壳赛，喜求每位参鉴论手作答6直试题，已知甲冠予答对每道试盟的概率 12已知武函数f(x)的图象美于直线￥■3对称，且f(-1)=5,则f(5)一A 均为号，且每道试题若对与香相互鞋立，记甲选手答对的试断酸为X,期E(2x十) 13若团C:x十y+2x十m=B上恰有三个不日的点到直线l:x十百y十2=0的距离为1，则 A.16 &12 C9 D.8 1生如图，在1×9的格子中，数字1,2，，9从左到右为升序排列，现在月计算机随机生成一个 瓦函数了(x)一i加z(si加x一sx》一1的最小工同期为 整数，若a为者数，则将格子中数字1程9的位置百赖，3和7的位置交换，其余位盖不变 A营 B深 C.2x D.4x 若a为博数，测将格子中数字2和8的位置互换，4和日的位置交换，没电箭闭机生成 (知∈N)个数字后，】×9格子中的数字给好从左到右为降序推列的概率为P,期P 了.山阿基米酒的奢作美于图策体和球体可知，所卿的面积等干圆周率：与拥呢的长半轴长和 看半销长的果数E如痛调C,+片-1o>0的高心米为号，品分别为C的左， 【高三新华氧1页[共4气)1 5 【高三题学第2[共4真川 G5· 四、解答照：本置共5小题，共？分.解落应写出文字说期，正明过程或清算击零 13.(15分) 15.13分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,r,已知4nC-B)-n(A一C), 某坦为了探索中小学人工智能孩育实施的有效逢径，了解中小学生使用A1工具的情况，随 (1)若C-2B,求A的值： 机地对100名中学生和100名小学生进指得查，其中有1的人经常使用A】工具辅助学习， (2)求C的最大值 若在不经常使用A】工具箱助学习的学生中按比创用分层穗机社样的方法抽取4人，刻小学 生有3人数法中， (1)根帮道中信息，完减下面列联表， 使用AL工具的特阀 学段 息计 中学生 小学生 经常使用 1817分) 不经常使用 地计 已知整fx)=+-20+>0以 (2)根据(1)中的列联表，判断是否有期，%的把嘴认为学生使用AI工具的情况与学段 (1)求f(x)的图象在点(1，/(1)》处的切线方程： 有美 (2)求f(江)的零点个数： 《ad-k) (3)证明，f(r3n.工， 用：K红+b2+ap+其中na+b+女+d. P(K2) 4.600.010C.0o1 3.8416.63510.828 9,17分) 在平面直角坐标系中，将以线C后苦-1a>06>0修营y能装-一民利成双 h面D,其中C在美转过程中的质有实釉落在O平隆内，设大所在的平面为，平而母 16.(15分) 满足©限，且a与P之间的距离6 日知数列a.)的in项和为S.,且41一8，S+1一S,十4.+2m十盏 1)若点P(工，，y小在D上，试月含x,,y的方程表示D(不用说明现山) (1)求drrdas4日 (2)设T,丁分切是a,9驾得D的微面. 电 (2)求{u,}的通项公式： (|>设，4，分别为T,T,上的落，求(，，所在直线间的用向的取值花m: 《洁6.一士求数列6，的前项和工 ()已知授面T:的周同上的点A1,A“,A,恰好构成正n边形的顶点，P为D上一 动点，若对任意>>0,1PAv@2一低成立，求a的致值范围。 高三截华第多真（共4西1】 【高=数单第4西共4页)川 .G5+