精品解析：湖南省沅澧共同体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

湖南省沅澧共同体2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试题 时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德外国语学校 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义可求，故可得正确的选项. 【详解】由题意可得，则． 故选：A. 2. 已知向量，，则“”的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由结合平面向量共线的坐标表示可求得的值，再结合充分条件的定义判断即可. 【详解】因为向量，且，则，即， 解得或， 所以，“”的一个充分条件“”. 故选：A. 3. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台的侧面积公式可得答案. 【详解】圆台的侧面积为. 故选：B． 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式结合同角三角函数的基本关系，可求值. 【详解】因为； 又. 所以，. 所以. 故选：B 5. 已知，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的乘法及除法运算求出即可. 【详解】由，得，即， 因此， 所以在复平面内所对应的点位于第二象限. 故选：B 6. 在的展开式中，的系数是（ ） A. B. C. 20 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】利用的通项可得答案. 【详解】， 的通项为， 所以的系数是. 故选：D． 7. 在等差数列中，前项和为，若，则（ ） A. 18 B. 33 C. 36 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的首项为，公差为，由，列出方程，进而求得的值，得到答案. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，可得， 所以，解得. 故选：B. 8. 如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求出参数值. 【详解】以该碗轴截面的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图， 设该抛物线的方程为（的单位均为cm），点纵坐标为（单位：cm）， 则，，于是，解得， 故该抛物线的焦点到准线的距离为． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机事件满足，下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与事件相互独立 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件概率的性质即可求解AD，根据相互独立的概率乘法公式即可求解B，根据概率的性质即可求解C. 【详解】对于A，因为，所以，A正确； 对于B，因为，故事件与事件相互独立，B正确； 对于C，因为C错误； 对于D，因为D错误. 故选：AB. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 11. 如图，在四面体中，，，，，， 分别为棱上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 平面 C. 直线与面所成角为 D. 四面体的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相似的性质，结合线面垂直的判定定理及性质定理可判断BCD；将侧面与侧面展开在同一平面内，计算点到直线的距离判断A. 【详解】对于B，由，得， 由，平面，得平面， 因为平面，所以， 又因为平面，所以平面，B正确； 对于C，由选项B知，平面，故为直线与面所成角，为，C正确； 对于D，由得， 由得， 因为，所以， 所以四面体的体积为，D正确； 对于A，如图，将侧面与侧面展开在同一平面内， 由题意得，， 过作于点，交于点， 则的最小值为，A错误. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 【答案】0.04## 【解析】 【分析】由正态分布的对称性，代入数据计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出草图，借助对数性质，得到范围. 【详解】根据题意画出图象，得到， ，则， 即，则，则，则. 故答案为：. 14. 已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由已知可推得，然后得出，即可根据的关系得出离心率. 【详解】 如图，设为与渐近线的交点， 由题意：，， 所以Q是线段的中点， 所以. 又直线，是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知， 所以，所以， 所以， 所以离心率. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，分别是角的对边，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将边化角，利用三角恒等变换以及三角形内角关系，即可求出结果； （2）利用余弦定理推得，结合题设条件即可求出结果. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得 ∴ ∵，∴，∴， 又∵，∴. 【小问2详解】 由余弦定理，， ∴，解得， 由可得，代入上式可得， 解得：或（此时，不合题意，舍去） 所以，. 16. 已知函数在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求函数在的最大值和最小值； （3）若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围． 【答案】（1） （2）最大值为最小值为 （3） 【解析】 【分析】(1)由函数在点处的切线方程为可得，再进行求导，令解方程可得. （2）令导函数求解分析导函数的符号，可知函数的单调区间，再比较极值和区间端点函数值的大小可得最值. （3）方程恰有两个不等实根，转化为图像和有两个交点，根据的单调性和变化情况，可求得. 【小问1详解】 ,因为在点处的切线方程为 所以有所以解得 【小问2详解】 由(1)可得当或 单调递增 单调递减 单调递增 所以在和上单调递增，上单调递减，又因为计算可得， 所以在的最大值为，最小值为 【小问3详解】 由（2）可知，的极大值为，极小值为 当所以当时，.所以当且仅当时，方程恰有两个不等实根. 17. 在数列中，，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和公式. 【答案】（1）证明如下： ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式和等比数列定义直接证明即可； （2）根据等比数列通项公式可求得，进而得到； （3）采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：，. 【小问3详解】 由（2）得：. 18. 在平面四边形中,，，，， 将沿AC翻折至，且满足. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1），. 又平面，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点A为坐标原点，垂直于AB的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 由，，. ，则， 故， 设平面的一个法向量为， 则，取. 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设二面角的平面角为， 则，故， 所以二面角的正弦值为. 19. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若为直角三角形，且椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率互为相反数的两条直线与分别交椭圆于两点， ①求证：通过点的直线的斜率为定值，并求出该定值； ②求的最大值. 【答案】（1） （2）①定值为1，证明如下： 由（1）知椭圆的方程为，设直线的方程：，则的方程是. 令， 由可得 则有 ， 同理得， . 即直线的斜率为定值，且定值为1. ②4. 【解析】 【分析】（1）根据三角形边长关系以及椭圆上的点坐标求出，从而得到椭圆方程； （2）①根据题意设直线与的方程，分别与椭圆方程联立求得点的坐标，再根据斜率公式计算即可得到定值；②利用两点间距离公式，结合基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题意，则是等腰直角三角形，即得，从而. 又椭圆过点则有解得. 椭圆的方程：. 【小问2详解】 ①略 ②由①知， 则 又，当且仅当即当时等号成立， 所以，即的最大值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省沅澧共同体2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试题 时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德外国语学校 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则“”的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 在的展开式中，的系数是（ ） A. B. C. 20 D. 40 7. 在等差数列中，前项和为，若，则（ ） A. 18 B. 33 C. 36 D. 40 8. 如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机事件满足，下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与事件相互独立 C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 如图，在四面体中，，，，，， 分别为棱上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 平面 C. 直线与面所成角为 D. 四面体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 13. 已知函数，若，则的取值范围是__________. 14. 已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，分别是角的对边，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的值. 16. 已知函数在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求函数在的最大值和最小值； （3）若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围． 17. 在数列中，，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和公式. 18. 在平面四边形中,，，，， 将沿AC翻折至，且满足. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 19. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若为直角三角形，且椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率互为相反数的两条直线与分别交椭圆于两点， ①求证：通过点的直线的斜率为定值，并求出该定值； ②求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $