精品解析：湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

长沙市第一中学2024—2025学年度高二第二学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部是（ ）. A. 2. B. -2. C. 2i. D. -2i. 3. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. -1 C. -4 D. 4 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.46 C. 0.51 D. 0.62 6. 已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为4，点为的中点，若点，A，C，都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A. 11π B. 12π C. 36π D. 44π 8. 对，设是关于x的方程的实数根，数列满足其中符号表示不超过的最大整数，则（ ） A. 1013 B. 1015 C. 2025 D. 2027 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若回归方程为，则变量x与y负相关 B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心 C. 若散点图中所有点都在直线上，则相关系数 D. 若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 10. 已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点 11. 我们把称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点A，B，曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相交于点P，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在区间上随m的增大而减小，在区间上随m的增大而增大 D. 的面积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量服从二项分布，，则______. 13. 在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有______种. 14. 已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设D为边的中点，若，，求的面积. 16. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，设，讨论函数的单调性； （3）若函数在上有且仅有2个零点，求实数的取值范围. 18. 如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点D到达点P的位置，点P在平面的射影H落在边上. （1）求三棱锥的体积； （2）若M是棱上的一个动点，是否存在点M，使得平面与平面的夹角正切值为，若存在，求点M到平面的距离；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆：的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为6. （1）求椭圆的方程； （2）过原点且斜率为的直线与椭圆交于M，N两点. （i）当时，设直线，的斜率分别是，，求证：为定值； （ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆：于P，Q两点，记，的面积分别为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第一中学2024—2025学年度高二第二学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将分式不等式转化为整式不等式组求解，确定后求交集得. 【详解】∵，∴，，解得， ∴，又， ∴. 故选：B. 2. 已知复数满足，则的虚部是（ ）. A. 2. B. -2. C. 2i. D. -2i. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念，可得出结果. 【详解】由，可得，所以的虚部是-2， 故选：B. 3. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. -1 C. -4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】因为，，且，所以，解得. 故选：A. 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由同角的三角函数的关系可得，再由两角和的余弦可求的值. 【详解】由于，，故， ， 故选：C. 5. 已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.46 C. 0.51 D. 0.62 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定全概率公式中各量，再由全概率公式计算可得. 【详解】设事件B为“选出的运动员能晋级”，为“选出的运动员是一级运动员”，为“选出的运动员是二级运动员”，为“选出的运动员是三级运动员”， 则，，， 又根据题意可得，，， ∴由全概率公式可得： ， ∴任选一名运动员能够晋级的概率为0.51. 故选：C. 6. 已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的内切圆分别切，于点，，然后结合三角形内切圆的性质以及双曲线的定义可求得，再结合可求出，从而可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】设的内切圆分别切，于点，， 则，，， 因为，所以， 得， 所以，即，① 因为，所以， 即，②， 所以①+②，得，得， 因为，所以，所以， 所以双曲线：的渐近线方程为， 即. 故选：D. 7. 已知正方体的棱长为4，点为的中点，若点，A，C，都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A. 11π B. 12π C. 36π D. 44π 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，题目条件可得平面，从而可得球心在在上，设，结合可得，进而可得球体半径，即可判断选项正误. 【详解】由正方体的性质可知，平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，同理可证， 又，平面，所以平面， 设，则为的中点，设， 由正方体的对称性易知为等边的中心， 则如图所示，球心在上， 设，，， 所以， 所以，， 所以， 因为球的半径，即， 解得，所以，则球O表面积为. 故选：D. 8. 对，设是关于x的方程的实数根，数列满足其中符号表示不超过的最大整数，则（ ） A. 1013 B. 1015 C. 2025 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数判断函数的单调性，再根据零点存在定理判断，从而可求，故可求. 【详解】设函数，则， 当是正整数时，可得，则为增函数， 因为当时，， 且， 所以当时，方程有唯一的实数根且， 所以，，， 又， 因此. 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若回归方程为，则变量x与y负相关 B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心 C. 若散点图中所有点都在直线上，则相关系数 D. 若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归方程及相关概念判断AB，由散点图及相关系数概念判断C，利用决定系数概念判断D. 【详解】对于A，回归方程为的斜率为负，则变量x与y负相关，A正确； 对于B，回归直线方程一定经过样本点的中心，B正确； 对于C，散点图中所有点都在直线上，则相关系数，C错误； 对于D，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，D正确. 故选：ABD. 10. 已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由焦点坐标可确定抛物线方程；对于B，将直线与抛物线方程联立，由韦达定理可判断选项正误；对于C，由B选项分析结合抛物线定义可得答案；对于D，由抛物线定义及梯形中位线定理可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由是抛物线：的焦点，知，解得，所以选项A错误； 对于B，由可得抛物线方程为.过点且倾斜角为135°的直线的斜率，根据点斜式可得直线的方程为，即. 将代入，可得，即. 因为，是直线与抛物线C的交点，根据韦达定理，，所以选项B正确； 对于C，由抛物线的焦点弦长公式. 因为，，所以，，则. 又因为，所以，所以选项C正确； 对于D，设的中点为P，分别过M，N，P作抛物线C的准线的垂线， 垂足分别为，，， 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 则，. 所以. 这说明以为直径的圆的圆心P到准线的距离等于圆的半径， 所以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点，所以选项D正确. 故选：BCD. 11. 我们把称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点A，B，曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相交于点P，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在区间上随m的增大而减小，在区间上随m的增大而增大 D. 的面积为定值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的函数，利用奇偶函数的定义判断A；利用指数运算计算判断B；利用导数的几何意义，结合导数确定单调性判断C；求出三角形面积的函数关系判断D. 【详解】对于A，， 是奇函数，A正确； 对于B，， ， 因此，B错误； 对于C，设，则， 而，则， 曲线在点A处的切线方程，即， 曲线在点B处的切线方程，即， 则，， 令，则，由，得；由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，C正确； 对于D，的面积为， 因此的面积随的增大而减小，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量服从二项分布，，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据二项分布期望公式以及性质，求解即可. 【详解】由于X服从二项分布，所以，故. 故答案为：7 13. 在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有______种. 【答案】150 【解析】 【分析】分值班人数为2人或3人，结合分类计数原理可得答案. 【详解】根据题意可知，值班的人数为2人或者3人，若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，故方法数为：；若人数为3，则每人值一天班，故方法数为；故总的方法有30+120=150种. 故答案为： 14. 已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. 【答案】9 【解析】 【分析】确定直线过定点，进而求得弦长最大、最小值，即可求解. 【详解】直线：可化为，由可得，即直线过定点， 因为，所以点在圆C内， 当点为直线被圆C截得的弦的中点时，弦长最短，点到圆心的距离， 所以直线被圆C截得的最短弦长为， 最长的弦为直径，长度为10， 所以弦长的取值范围是.又弦长为6，7，8，9的直线各两条，弦长为10的直线有一条， 又直线被圆C截得弦长为，不是整数， 所以截得的弦中长度为整数的直线共有9条. 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设D为边的中点，若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）由余弦定理有，由结合平面向量的数量积运算律可得，进而求得，再利用三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得，， ∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 又，∴. 【小问2详解】 由余弦定理得，，即，① 因为D为的中点， 所以，则， 又，∴，② 联立①②有，解得， ∴的面积为. 16. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可得； （2）由（1）结合频率分布直方图可求平均数； （3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，由题可得，则随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，据此可得答案. 【小问1详解】 由题知，，解得. 【小问2详解】 设为样本数据的平均数， 则， 故这组样本数据的平均数为76.5. 【小问3详解】 设p表示在这批产品中随机抽取一件产品， 所抽取的产品为优秀品的概率，由题知， 随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， ∴X的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 随机变量X的数学期望. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，设，讨论函数的单调性； （3）若函数在上有且仅有2个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递增，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数几何意义求出切线方程； （2）当时，，，求导，解不等式，得到函数单调性； （3）当时，由，得，令，，求导，得到其单调性，从而画出在上的图象，数形结合得到当时，直线与函数在上的图象有两个交点，得到答案. 【小问1详解】 当时，，所以， 则，而， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，，所以， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 当时，由，得，令，， 依题意，直线与函数在上的图象有两个交点， ，当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为，且，， 画出在上的大致图象如图， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是. 18. 如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点D到达点P的位置，点P在平面的射影H落在边上. （1）求三棱锥的体积； （2）若M是棱上的一个动点，是否存在点M，使得平面与平面的夹角正切值为，若存在，求点M到平面的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先由点射影得平面进而 ，结合证平面推出，利用矩形得三角形相似，根据已知边长求相关线段长，最后在直角三角形求并算出三棱锥体积； （2）先建立空间直角坐标系确定各点坐标，设得出坐标，分别求平面与平面的法向量，根据两平面夹角正切值求出余弦值，利用向量夹角公式列方程求解，进而得到点到平面的距离. 【小问1详解】 作，垂足为E，连接，如图所示. 由点在平面的射影落在边上，可得平面， 又平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以. 因为四边形为矩形，所以，可得， 由，，可得，，. 所以，. 由，可得，即， 则. 在中，. 所以. 【小问2详解】 根据题意，以点H为坐标原点，以过点H且平行于的直线为y轴，分别以，所在直线为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，，，. 设，， 可得， 所以. 易知，，，. 设平面的法向量为， 所以 解得，取，则，即， 设平面的法向量为， 所以 解得，取，则，即， 因为平面与平面的夹角正切值为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， 即， 整理可得，解得（舍去）或. 因此当时，平面与平面的夹角的正切值为， 此时点到平面的距离为. 19. 已知椭圆：的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为6. （1）求椭圆的方程； （2）过原点且斜率为的直线与椭圆交于M，N两点. （i）当时，设直线，的斜率分别是，，求证：为定值； （ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆：于P，Q两点，记，的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据焦点及椭圆的性质得，，进而可得，即可得方程； （2）（i）不妨设，，联立直线与椭圆方程，应用韦达定理、斜率两点式整理化简即可证得； （ⅱ）根据已知及圆、椭圆的对称性得，讨论、求右侧范围，即可得. 【小问1详解】 由题知，又，可得，， 则椭圆方程为. 【小问2详解】 （i）不妨设，， 由，化简为， 显然，则，， 又 ，即证. （ii）由于，均为直角三角形，，， 由圆的性质知，故， 由于，， 当时，，则， 当时，直线方程为，则， 又， 所以，令，那么， 即，则， 综上可得，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $