精品解析：广东省惠州市惠州中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

惠州中学2023级高一年级下学期4月期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张先峰 何雪晴 审题人：韩冰 李均 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B中元素范围，再求即可. 【详解】，又， . 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦函数的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得； 反之，取满足，而， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 3. 已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则 A. m∥l B. m∥n C. n⊥l D. m⊥n 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析： 由题意知，．故选C． 【考点】空间点、线、面的位置关系． 【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系． 4. 如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可. 【详解】因为，， 所以. 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 5. 若函数在其定义域内是一个单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分段函数两段都是单调递增，并且在时，，列不等式组即可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数在其定义域内是一个单调递增函数， 所以，可解得. 故选：B. 6. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的高为h，母线长为l，根据圆锥的侧面积公式求出，再利用勾股定理求出，最后根据体积公式计算可得； 【详解】解：设圆锥的高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积，故，故圆锥的体积． 故选：C． 7. 心理学家有时间用函数测定在时间（单位：min）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词，则的值约为（，）（ ） A. 0.021 B. 0.221 C. 0.461 D. 0.661 【答案】A 【解析】 【分析】由已知列式，结合对数的公式解出答案. 【详解】由题意得：，即， 则，两边同取对数可得：， 即，解得， 故选：A. 8. 如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则m=（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式，以及正弦定理，边角互化，化简等式，即可求的值. 【详解】对于式子，两边同乘， 可得， 即， 由正弦定理化简可得， 由，两边同时除以得， ∴ ， 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（ ） A. B. 在复平面上对应点在第二象限 C. D. 的虚部为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数的概念可判断D选项. 【详解】因为. 对于A选项，，A对； 对于B选项，在复平面上对应点的坐标为，位于第四象限，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，的虚部为，D对. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 的图象关于对称 D. 在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】通过分析函数的周期，对称性和单调区间即可得出结论. 【详解】由题意， 在中， ，A正确； B项， ∵函数关于对称， ∴在中， ，解得：， 当时，，故B错误. C项， 在函数中，函数关于对称， 在中，，解得： 当时，，C正确； D项， 在函数中，函数在上单调递减， 在中，当函数单调递减时， ，解得：， ∴在上单调递减，在在上单调递增，D错误. 故选：AC. 11. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积为 B. 直三棱柱外接球的表面积为 C. 若分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 D. 取得最小值时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三棱柱的体积公式即可判断A选项；通过确定球心的位置，求出直三棱柱外接球的半径，即可判断B选项；通过平移找到异面直线所成角，然后在三角形中利用余弦定理可判断C选项；通过三棱柱的侧面展开图可判断D选项． 【详解】选项A：因为，， 所以三棱柱的上、下底面均为正三角形， 所以，故A正确． 选项B：如图1，记和外接圆的圆心分别为和， 连接，，记的中点为，连接， 则， ， 易知为直三棱柱的外接球半径， 且， 所以直三棱柱外接球的表面积为，故B错误． 选项C：如图2，取的中点，连接， 易知，，且， 故即异面直线与所成角或其补角，连接， 则， 故， 故异面直线与所成角的余弦值为，故C正确． 选项D：将直三棱柱的侧面展开得到平面展开图， 如图3所示．连接，分别交，于点， 易知的最小值为． 在侧面展开图中易知点分别为的三等分点， 过点作交于点， 由勾股定理得， 因为，所以，故D正确． . 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 【答案】. 【解析】 【分析】结合已知条件不难发现,运用诱导公式并结合已知条件求出结果. 【详解】因为,则运用诱导公式可得: , 已知,所以. 故答案为: 【点睛】本题考查了运用诱导公式求值问题,解答此类题目时需要先观察已知角和未知角之间的数量关系,通常是互余互补,或者是倍数关系等,此时运用相应公式来进行求解,需要掌握解题方法. 13. 已知在上的投影向量为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义及平面向量的数量积公式计算即可. 【详解】设与的夹角为， . 故答案为： 14. 如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点，测得塔顶的仰角为，由向塔前进30米后到点，测得塔顶的仰角为，再由向塔前进米后到点后，测得塔顶的仰角为，则塔高为______米． 【答案】15 【解析】 【分析】在三角形中由余弦定理得，可求出，最后在中，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，因为，∴， ，∴， 在三角形中由余弦定理得 ， ∴，∴， ∴，∴． 故答案为15米． 【点睛】 本题主要考查了正、余弦定理解三角形的实际应用问题，其中解答中根据图形，在中，合理应用正弦定理、余弦定理，以及直角三角形的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求； （2）设的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算即得. （2）利用向量夹角的坐标表示计算即得. （3）利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式计算即得. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 设的夹角为，则. 【小问3详解】 由，得， 由向量与互相垂直得，， 所以， 化简得，解得. 16. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点． （1）证明：PB∥平面ACM； （2）证明：AD⊥平面PAC． 【答案】 （1）连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点． 又M为PD的中点，所以PB∥MO．因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM． （2） 因为∠ADC＝45°，且 AD＝AC＝1， 所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC．又PO⊥平面ABCD， AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD．而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）证明PB∥平面ACM，利用线面平行的判定定理，证明MO∥PB即可；（Ⅱ）证明AD⊥平面PAC，利用线面垂直的判定定理，证明AD⊥AC，AD⊥PO即可； 试题解析：（1）略 （2）略 17. 已知的内角所对的边分别是. （1）求角； （2）若外接圆的直径为，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，再由余弦定理，即可求解； （2）方法一：由正弦定理求得，利用余弦定理和基本不等式，求得，进而求得周长的取值范围； 方法二：根据题意，利用正弦定理求得，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，即， 又由余弦定理得，又因为，所以. 【小问2详解】 方法一：因为外接圆的直径为， 由正弦定理得，则， 由余弦定理得， 因为，所以，即， 由三角形性质知，当且仅当时，等号成立， 所以，故周长的取值范围为. 方法二：因为外接圆的直径为， 由正弦定理得，则， 因为，可得，所以， 所以，故周长的取值范围为. 18. 已知向量. （1）若，求； （2）记，若对于任意恒成立，求的最小值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，利用数量积公式求出答案； （2）利用三角恒等变换化简得到，整体法求出时，的最值，从而得到，求出的取值范围，得到答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 . 因为，所以，所以. 当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值1. 因为恒成立， 且 所以，故的最小值为. 19. 设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域. （1）已知，若，求 （2）非零向量，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增.已知.请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？ （3）设二元函数的定义域为，如果存在实数满足： ①，都有， ②，使得. 那么，我们称是二元函数的最小值.求的最大值. 【答案】（1） （2）在上沿向量方向单调递增，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算结合二元函数的定义求解即可； （2）根据二元函数在定义域上沿方向单调递增的定义求解即可； （3）根据的最大值的含义求解即可. 【小问1详解】 由已知有， 则； 【小问2详解】 ， ， 又， ， 故在上沿向量方向单调递增； 【小问3详解】 由题意可类似的知道的最大值的含义， ，其中， （或者直接使用柯西不等式， ，当且仅当时取等号.） 故，当时取等号，（或当时取等号）， 又，根据对勾函数单调性易知当或2时，函数取最大值为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州中学2023级高一年级下学期4月期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张先峰 何雪晴 审题人：韩冰 李均 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则 A. m∥l B. m∥n C. n⊥l D. m⊥n 4. 如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在其定义域内是一个单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 心理学家有时间用函数测定在时间（单位：min）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词，则的值约为（，）（ ） A. 0.021 B. 0.221 C. 0.461 D. 0.661 8. 如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则m=（ ） A. B. C. D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（ ） A. B. 在复平面上对应点在第二象限 C. D. 的虚部为 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 的图象关于对称 D. 在上单调递减 11. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积为 B. 直三棱柱外接球的表面积为 C. 若分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 D. 取得最小值时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 13. 已知在上的投影向量为，则的值为__________. 14. 如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点，测得塔顶的仰角为，由向塔前进30米后到点，测得塔顶的仰角为，再由向塔前进米后到点后，测得塔顶的仰角为，则塔高为______米． 四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求； （2）设的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 16. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点． （1）证明：PB∥平面ACM； （2）证明：AD⊥平面PAC． 17. 已知的内角所对的边分别是. （1）求角； （2）若外接圆的直径为，求周长的取值范围. 18. 已知向量. （1）若，求； （2）记，若对于任意恒成立，求的最小值. 19. 设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域. （1）已知，若，求 （2）非零向量，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增.已知.请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？ （3）设二元函数的定义域为，如果存在实数满足： ①，都有， ②，使得. 那么，我们称是二元函数的最小值.求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $