浙江省绍兴市2025届高三下学期4月高考适应性考试（二模）数学试卷

浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷（2025年 4月） 数 学 试 题 本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共 5页，选择题部分 1至 2页，非选择题 部分 3至 5页，满分 150分，考试时间 120分钟。 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分 别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效。 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．已知集合 { | 0 3}A x x   ， {0 1 2 3 4}B ，，，，= ，则 A B I A．{1 2}， B．{1 2 3}，， C．{0 1 2 3}，，， D．{1 2 3 4}，，， 2． 1 1 i   A．1 i B． 1 1 i 2 2  C． 1 1 i 2 2  D． 2 2 i 2 2  3．已知向量 ，a b 满足 | |=1a ， | |=2b ，且 ，a b 的夹角为 60，则 | + |=a b A． 3 B．3 C． 7 D． 7 4．直线 2x  被圆 2 2( 1) ( 2) 5x y    截得的弦长为 A． 2 B． 4 C． 2 3 D． 2 5 5．将函数 sin 2y x 的图象向左平移个单位后得到函数 cos2y x 的图象，则可以是 A． π 4 B． π 2 C． 3π 4 D． π 6．已知函数 2 e( ) 1 e x xf x    ，则 A．当 1  时， ( )f x 是偶函数，且在区间 (0 1)， 上单调递增 B．当 1  时， ( )f x 是奇函数，且在区间 (0 1)， 上单调递减 C．当 1   时， ( )f x 是偶函数，且在区间 (0 1)， 上单调递减 D．当 1   时， ( )f x 是奇函数，且在区间 (0 1)， 上单调递增 7．已知双曲线 2 2: 1 3 yx   的左焦点为F ，点A B， 在的右支上，且 | | 6AB  ，则 | | | |FA FB 的最小值为 A． 4 B． 6 C．10 D．14 8．已知 ABC△ 的两个内角 ( )A B A B， ≠ 都是关于 x的方程 2 1cos2 2 cos 2 0 2 x m x m+ + - = 的解， 其中 31 2 m- < < - ，则C = A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 二、选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分） 9．在某校文艺汇演中，六位评委对某小品节目进行打分，得到一组分值 7.7，8.1，8.2，8.7， 9.4，9.5，若去掉一个最高分和一个最低分，则 A．这组分值的极差变小 B．这组分值的均值变大 C．这组分值的方差变小 D．这组分值的第 75百分位数不变 10．已知函数 2( ) ( 1) sin ln( 1)f x x x x     ，则 A． ( )f x 在区间 (2 3)， 内存在零点 B． 0是 ( )f x 的极小值点 C． ( )f x 在区间 (0 1)， 内存在极大值 D． ( )f x 在区间 ( 1 0) ， 上单调递减 11．已知数列{ }na 满足 21 11 e 1n a na a    ， ，则 A．数列{ }na 为递增数列 B． 2nn a   ，N C． 21 1 2 2n n n n a a a     ，N D． 2 1 n nn a n    ，N 数学试题卷 第 1页（共 5页） 数学试题卷 第 2页（共 5页） 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分） 12．记 ABC△ 的内角 A B C，， 的对边分别为 a b c，，，若 sin sin sin 2 sinb B c C a A b C   ，则 A  ▲ ． 13．已知偶函数 ( )f x 的定义域为R，且 ( ) ( ) ( ) 2f x y f x f y xy    ，则 ( )f x 的值域为 ▲ ． 14．设点 ( )P x y， 在“笑口”型曲线 2 2 5 7| | 2 2 x y y    上，则 2 22 5x y y  的最小值为 ▲ ． 四、解答题（本大题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 已知函数 1 1( ) ln 2 2 f x x x    ． （1）求 ( )f x 的单调区间； （2）记 ( )f x 的两个零点分别为 1 2 1 2( )x x x x， ，求曲线 ( )y f x 在点 2 2( ( ))x f x， 处的切线 方程． 16．（15分） 已知数列{ }na 满足 1 1a  ， 1 2 2 n n n a n a a n    ， ． ， 为奇数 ， 为偶数 （1）记 2 2n nb a  ，求 1 2b b， ，并证明数列{ }nb 是等比数列； （2）记 2 3n nc a  ，求满足 1 2 3 100nc c c c        的所有正整数 n的值． 17．（15分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x y a b a b      的焦距为 2，且过点 3( 3 ) 2 ， ． （1）求的方程； （2）设 A B， 为的左、右顶点，在过点 A且垂直于 x轴的直线上任取一点 P，过 P作 的切线，切点为C（异于 A），作CD AB ，垂足为 D．记 PBC△ 和 PBD△ 的面 积分别为 1 2S S， ，求 1 2 S S 的值． 18．（17分） 如图，在四面体 ABCD 中， π 2 ACD BDC    ， 1AC BD  ， CD x ，记二面角 A CD B  为 ，M N， 分别为 AD BC， 的中点． （1）求证：MN CD ； （2）若 3 2 x  ， π 3   ，求直线MN 与平面 ABD所成角的正弦值； （3）设在四面体 ABCD内有一个半径为 r 的球，若 x  ，求证： 1 4 r  ． 数学试题卷 第 3页（共 5页） 数学试题卷 第 4页（共 5页） B A C D M N （第 18题图） 19．（17分） 某科技公司招聘技术岗位人员一名．经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生 进入最后面试环节．其中 A校和 B校各 4名，C校 2名．10名面试者随机抽取1 2 3 10  ，，， ， 号 的面试序号． （1）若来自 A校的 4名毕业生的面试序号分别为 1 2 3 4a a a a， ，， ，且 1 2 3 4a a a a   ，来自 B校的 4名毕业生的面试序号分别为 1 2 3 4b b b b，，， ，且 1 2 3 4b b b b   ，来自C校的 2 名毕业生的面试序号分别为 1 2c c， ，且 1 2c c ． （i）求概率 4( 10)P b  ， 4 2( )P a c ； （ii）记随机变量 4X a ，求 X 的均值 ( )E X ． （2）经面试，第 i位面试者的面试得分为 iN ，且他们的面试得分各不相等，公司最终录 用得分最高者．为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则： { | 4 1 1} {10}j iS j j N N i j     ，且 ， U ，集合 S中的最小元素为 k，最终录用第 k位面试者．如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一、二（按得 分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于 0.59． 数学试题卷 第 5页（共 5页） 浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷（2025年 4月） 数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分） 1．A 2．B 3．C 4．B 5．A 6．D 7．C 8．B 二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分。全部选对的得 6 分，部分选对的 得 3分，有选错的得 0分） 9．AC 10．BCD 11．ACD 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分） 12． π 4 13．[0 )，+¥ 14． 1 8 - 四、解答题（本大题共 5小题，共 77分） 15．(本题满分 13分) 解：（1） ( )f x 的定义域为 (0 ) ， ， 2 2 1 1 2 1( ) 2 2 xf x xx x      ， ………2分 所以当 1(0 ) 2 x ， 时， ( ) 0f x  ；当 1( ) 2 x  ， 时， ( ) 0f x  ． ………4分 即 ( )f x 的单调递减区间为 1(0 ) 2 ， ，单调递增区间为 1( ) 2  ， ． ………6分 （2）由（1）知 2 1x  ，所以切点坐标为 (1 0)， ， ………8分 又切线的斜率 2 1( ) 2 k f x  ， ………10分 所以切线方程为 1 1 2 2 y x  ． ………13分 16．(本题满分 15分) 解：（1）因为 2 3a  ， 3 6a  ， 4 8a  ，所以 1 5b  ， 2 10b  ． ………4分 又因为 1 2 2 2 2 2 n n n n b a b a     ………5分 2 1 2 2 2 ( 2) 2 2 4 2 2 2 n n n n a a a a         ， 所以数列{ }nb 是首项为 5，公比为 2的等比数列． ………7分 （2）由（1）知 15 2nnb   ，所以 15 2 1nnc    ， ………9分 所以 1 2 3 5 2 5 n nc c c c n           ， ………12分 因为 1 2 3 nc c c c       单调递增， ………13分 且 1 2 3 4 1 2 3 4 579 100 160c c c c c c c c c           ， 所以正整数 n的所有取值为1 2 3 4，，， ． ………15分 17．(本题满分 15分) 解：（1）由题意知 1c  ，且过点 3( 3 ) 2 ， ， 即 2 2 1a b  ， 2 2 3 3 1 4a b   ， ………2分 解得 2 4a  ， 2 3b  ，所以的方程为 2 2 1 4 3 x y   ． ………5分 （2）设 ( 2 )P t ， ，直线 PC的方程为 ( 2)y k x t   ， 代入的方程得 2 2 2(3 4 ) 8 (2 ) 4(2 ) 12 0k x k k t x k t       ． ………7分 因为直线 PC与相切， 所以 2 2 2 264 (2 ) 4(3 4 )[4(2 ) 12] 0k k t k k t        ， ………8分 化简得 24 3 0kt t   ，所以 23 4 tk t   ， ………10分 所以 2 2 2 4 (2 ) 2( 3) 3 4 3C k k t tx k t        ，代入直线 PC的方程得 2 6 3C ty t   ，…12分 设 PB与CD交于点 E，又直线 PB的方程为 ( 2) 4 ty x   ， 因为 2 2 2( 3) 3E C tx x t     ， 代入直线 PB的方程得 2 3 3E ty t   ， ………13分 所以 1 2E C y y ，所以 E为CD中点． 因此点C D， 到直线 PB的距离相等，所以 1 2 1S S  ． ………15分 数学答案 第 1页（共 5页） 数学答案 第 2页（共 5页） 18．(本题满分 17分) （1）证明：取CD中点O，连接OM ON， ， ………2分 则OM AC∥ ，ON BD∥ ， 所以CD OM ，CD ON ，OM ON OI ， 所以CD 平面OMN ， ………4分 又MN 平面OMN ，所以MN CD ． ………5分 （2）解：由（1）知 MON 是二面角 A CD B  的平面角，所以 60MON  ．…6分 如图，以O为原点，OD，ON 分别为 x， y轴，过O作平面 BCD的垂线为 z轴 建立空间直角坐标系．则 3( 0 0) 4 D ，， ， 3( 1 0) 4 B ，， ， 1(0 0) 2 N ，， ， 1 3(0 ) 4 4 M ，， ， 3 1 3( ) 4 2 2 A  ，， ，………7分 1 3(0 ) 4 4 MN   uuur ，， ， (0 1 0)DB  uuur ，， ， 3 1 3( ) 2 2 2 DA   uuur ，， ， 设平面 ABD的法向量为 ( )x y z ，，n ， 则 0 0 DB DA       ， ． n n uuur uuur 即 0 3 1 3 0 2 2 2 y x y z        ． ， 可取 (1 0 1) ，，n ， ………9分 设直线MN 与平面 ABD所成角为 ，则 | | 6sin | cos | 4| | | | MNMN MN       uuuruuur uuuur， nn n ． 所以直线MN 与平面 ABD所成角的正弦值为 6 4 ． ………11分 （3）证明：因为 BCD△ 与 ACD△ 的面积为 1 2 xS  ， 设 A在平面 BCD内的射影为 0A ，则点 A到平面 BCD的距离 0 sin sinAA AC x  ， 因此四面体 ABCD的体积为 1 0 1 sin 3 6 x xV S AA   ． ………13分 因为 0A 到直线 BD的距离等于CD x ，所以 ABD△ 中边 BD上的高 2 2 2 2 0 sinh AA CD x x    ， 所以 ABD△ 的面积 2 2 2 1 sin 2 2 x xS BD h    ， 注意到 ABC△ ABD△ ，因此 ABC△ 的面积也为 2S ， 所以四面体 ABCD的表面积为 2 21 22 2 sinS S S x x x     ，………14分 因此四面体 ABCD的内切球半径 2 2 3 sin 2( sin ) V x xR S x x x     ，………15分 所以 2 sin sin 1 4 42( ) x x xr R x x      ，即 1 4 r  ． ………17分 19．(本题满分 17分) 解：（1）（i） 3 9 4 4 10 C 2( 10) 5C P b    ， ………2分 1 5 4 2 2 6 C 1( ) 3C P a c   ． ………5分 （ii） X 的可能取值为 4 5 6 10  ，，， ， ，则 3 1 4 10 C ( ) C kP X k   ， ………7分 所以 10 10 3 1 4 104 4 C ( ) ( ) C k k k E x kP X k k        ………8分 10 104 4 5 4 4 4 5 5 5 6 10 114 4 4 4 10 10 10 104 4 4C 4 4 4 44C (C C C C ) C 5C C C C k k k k k k               ． ………11分 O y x B A C D M N z 数学答案 第 3页（共 5页） 数学答案 第 4页（共 5页） （2）①第一种情况，录用了面试得分第一的人． 若面试得分第一的人在第 ( 4)k k  位，要使得其被录用，则在他前面的 1k  个 人中的最高分必然在前 3位，其他 2k  个人可以任意排列，在得分第一后面的 10 k 个人任意排列，这种情况的概率为 10 101 1 2 10 9 3 2 10 1 10 104 4 C A A A 3 1 10 1A k k k k k k k P k            ． ………13分 ②第二种情况，录用了面试得分第二的人． 若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列，这种 情况的概率为 1 8 3 8 2 10 10 A A 1 30A P   ． ………14分 若面试得分第一的人不在前三位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第 (4 9)k k  位，同样在他前面的 1k  个人中的最高分必然在前 3位，其他 2k  个人可以任意排列，在得分第二后面的10 k （含第一）个人任意排列，这种 情况的概率为 9 91 1 2 1 9 8 3 2 10 9 3 10 104 4 C A A A A 3 1 1 10 1 5A k k k k k k k k P k              ． ………16分 综上，面试得分第一、二的两名毕业生之一被录用的概率为 10 9 9 1 2 3 4 4 4 3 1 1 3 1 1 3 1 2 2509 0.59 10 1 30 10 1 5 5 1 15 4200k k k P P P P k k k                   ． ………17分 数学答案 第 5页（共 5页）