精品解析：广东省江门市新会区东方红中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

东方红中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”外填涂考生号，用黑色钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，，，则实数k的值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得，根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】解：因为，，， 所以，即，解得， 故选：C. 2. 下列函数中，最小正周期为的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正余弦函数的最小正周期公式计算求解判断即可. 【详解】由题意知周期为，周期为， 周期为，周期为. 故选：C 3. 在中，点P满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】 故选：A 4. 已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为（    ） A. B. C. 8 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，利用扇形的弧长和面积公式，求得，则可求出扇形的周长. 【详解】解：设扇形的半径为r，弧长为l， 已知扇形的圆心角为2 rad，则， 扇形面积， 所以扇形的周长， 故选：A. 5. 已知为第三象限角，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据为第三象限角，由三角函数在象限的正负，判断选项. 【详解】是第三象限角，，，，故AB不正确； ，故C不正确； ，故D正确. 故选：D 6. 复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，即可得到其虚部． 【详解】解：由， 得， ， 则的共轭复数的虚部为， 故选：B． 7. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式将题干化简得到，再利用二倍角公式求出所求结果. 【详解】因为， 所以； 故选：D. 8. 在中，角所对的边分别为 ，，且的面积为，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形面积可推出，利用余弦定理即可求得答案. 【详解】由于,，故有，解得， 又，则, 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 化成弧度是 B. C. D. 化成角度是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由角度制与弧度制转换可判断AD，由诱导公式及特殊角三角函数值可判断BC. 【详解】对于AD：由，可得，A正确； ，D正确； 对于B：，正确； 对于C：，错误； 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D. 【详解】对于A，，设复数，则，， 故，A正确； 对于B，由于，故，B错误； 对于C，，设，由于，则， 故， 由，得，则， 故当时，的最小值为1，C正确； 对于D，是关于x的方程的根， 故，即， 故，D正确， 故选：ACD 11. （多选）函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期是 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递减 D. 该函数的图象可由的图象向左平行移动个单位长度得到 【答案】AC 【解析】 【分析】观察图象可得函数的最小值，周期，且，由此可求函数解析式，根据三角函数对称性、单调递减区间和左右平移知识即可一一判断． 【详解】观察图象可得函数，，的最小值为，故 设函数的最小正周期为，由图象知， 则，故，故A正确； 由可得，又， 所以， 所以， 因为，故B错误； 由，可得，， 所以的单调递减区间为， 取知，函数在上单调递减， ，故C正确； 的图像向左平移个单位后得到，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 长方体中，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路线的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】长方体有三种侧面展开形式，利用勾股定理可以求出每种展开方式的长，最后比较大小得出最短路线的长. 【详解】将长方体侧面展开有三种方式如下图： 的长有以下三种可能： 第①种方式：； 第②方式：； 第③种方式：. 所以蚂蚁爬行的最短路线的长为. 故答案为： 【点睛】本题考查了长方体侧面展开方式求长方体表面两点距离最短问题，考查了分类讨论思想，考查了公股定理，考查了数学运算能力. 13. 已知是两个不共线的非零向量，若与共线，则_____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据向量共线结论结合平面向量基本定理列方程求即可. 【详解】因为与共线，所以， 又是两个不共线的非零向量，所以，所以， 故答案为：. 14. 设复数的共轭复数为，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，代入已知式利用复数相等的定义求得，得，再由复数模的概念求得结论． 【详解】设，则. 因为，所以， 所以解得所以，所以. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足. （1）求与的夹角； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由求得，再由夹角公式计算可得； （2）根据及向量数量积的运算律计算可得； 【小问1详解】 因为 所以， 所以 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 . 16. 化简下列各式： （1）； （2）已知，求； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简即可； （2）由弦化切即可求解； （3）由诱导公式和两角差的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 17. 已知，. （1）设向量，的夹角为，求的值； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若，求k的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标公式及夹角公式求解即可； （2）根据投影向量的定义求解即可； （3）根据平面向量平行的坐标公式求解即可. 【小问1详解】 由，， 得， 所以； 【小问2详解】 向量在向量上的投影向量的坐标为 ； 【小问3详解】 ， 因为， 所以，解得. 18. 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的公式化简成为的形式，根据三角函数的性质可得的值． （2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间； 【小问1详解】 由题意：函数， 化简得： ， 的最大值为1， ，解得：． 【小问2详解】 由（1）可知． 根据三角函数的性质可得：． 即， 解得：，， 的单调递减区间为. 19. 在中，角、、的对边分别为，，．已知，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由题可得，再根据正弦定理即可解出. 【小问1详解】 因为，，，， 所以， 即， 解得：； 【小问2详解】 因为，而， 所以，又， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东方红中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”外填涂考生号，用黑色钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，，，则实数k的值为（ ） A. B. C. 6 D. 2. 下列函数中，最小正周期为的是（ ）. A. B. C. D. 3. 在中，点P满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为（    ） A. B. C. 8 D. 2 5. 已知为第三象限角，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 8. 在中，角所对的边分别为 ，，且的面积为，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 化成弧度是 B. C. D. 化成角度是 10. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 11. （多选）函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期是 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递减 D. 该函数的图象可由的图象向左平行移动个单位长度得到 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 长方体中，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路线的长为______. 13. 已知是两个不共线的非零向量，若与共线，则_____________． 14. 设复数的共轭复数为，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足. （1）求与的夹角； （2）求的值. 16. 化简下列各式： （1）； （2）已知，求； （3） 17. 已知，. （1）设向量，的夹角为，求的值； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若，求k的值. 18. 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； 19. 在中，角、、的对边分别为，，．已知，，． （1）求的值； （2）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $