精品解析：浙江省浙东北县域名校发展联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

2024学年第二学期浙东北（ZDB）联盟期中联考 高一年级数学学科试题 选择题部分 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用平面向量减法法则即可得到. 【详解】. 故选：B. 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线 B. 若两直线a，b都与平面平行，则 C. 若直线a平行于平面，直线b在平面内，则 D. 若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若直线a与平面平行，则也可能与平面内某直线异面，错误； 对于B，若两直线a，b都与平面α平行，则两直线可以平行、相交，也可以异面，错误； 对于C，若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则或两直线异面，错误； 对于D，如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，正确. 故选：D 3. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在上的投影向量公式即可求解. 【详解】因为，，所以，， 所以向量在上的投影向量为. 故选：A 4. 底面边长为，侧面积为的正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得出斜高，从而可得正四棱锥的高，由体积公式可得正四棱锥的体积. 【详解】如图，正四棱锥，，为底面正方形中心，为中点， 由已知可得，所以， 又，所以， 所以正四棱锥的体积为. 故选：C 5. 用一个平行于棱锥底面的平面去截一个底面积为4的棱锥，截得的棱台的上底面积为1，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的体积为（ ） A. 12 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱锥的性质，用平行于棱锥底面的平面截该棱锥，截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，以此可得棱锥的高，进而得到棱台的高，代入棱台体积公式求解即可． 【详解】由题意截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为h， 根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，则，所以， 所以棱台的高是，所以棱台的体积为. 故选：C． 6. 在正方体中，P、M分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，连接，，，利用正方体的性质得，则或其补角即为所求的异面直线与所成角，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】如图： 取中点，连接，，，， 由正方体可知，，所以四边形为平行四边形，所以， 则异面直线与所成角即为直线与所成角， 即或其补角即为所求，设，则，， 由正方体可知，平面，平面， 即，则， 在中，由余弦定理， 即直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 7. 如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，，过点作于点，连接，先利用面面垂直的判定定理得平面平面，然后利用面面垂直的性质定理得平面，则为与平面所成角，根据线面垂直的判定及性质定理得，进而在直角三角形中求解即可. 【详解】由题意可知形成三棱锥，如图： 取的中点，连接，，过点作于点，连接， 因为，所以，，， 平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面，所以平面， 故为与平面所成角， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以，且， 因为，所以，又， 所以，在直角三角形中，， 所以与平面所成角的正弦值为. 故选：D 8. 如图是小明家阁楼的一处墙角示意图，其中，在的角平分线上有一定点A，在A处有一盏灯，灯的光线能照亮覆盖的区域范围（图中，），若A距离地面高度为，则这盏灯可照亮的四边形区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，设，用表示出四边形区域的面积，再结合换元法和基本不等式求面积的最大值. 【详解】如图，过点作于点，设，. 由题意：，，，， 所以，. 因为四边形的面积：. 因为. 设，则，. 所以（当且仅当，即时取“”）. 此时. 所以四边形区域的最大面积是. 故选：B 二、多项选择题（每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 若是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基底概念逐项分析即可判断. 【详解】对于A，由已知是一组基底，则与不共线， 设，则，无解， 所以不存在实数使得，即与不共线， 所以可以作为一组基底，故A正确； 对于B，设，则，无解， 所以不存在实数使得，即与不共线， 所以可以作为一组基底，故B正确； 对于C，，即与共线， 所以不可以作为基底，故C错误； 对于D，设，则，无解， 所以不存在实数使得，即与不共线， 所以可以作为一组基底，故D正确； 故选：ABD. 10. 根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理，结合正弦值求角有两解时，则需要判断角与边的对应关系，即大边对大角是否满足，若两角都满足就两解，若只有一个角满足就一解. 【详解】对于A，由正弦定理得：，解得， 根据，可得：，显然不满足内角和为，故A错误； 对于B，由正弦定理得：，解得， 根据，且，仅存在一个锐角满足，故B正确； 对于C，由正弦定理得：，解得， 根据，可得：，显然满足唯一解，故C正确； 对于D，由正弦定理得：，解得， 根据，且，可得一个锐角和钝角都满足题意，故D错误； 故选：BC. 11. 我们称底面直径与高相等的圆柱为等边圆柱，如图，在等边圆柱内有一个正三棱锥，正三棱锥的底面在圆柱底面圆周上，顶点P是圆柱的上底面中心，M是底面三角形边的中点，连接，是上底面的一条直径且不平行于，若圆柱的高为4，则下列说法中，正确的是（ ） A. 中的长为 B. 圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为 C. 四面体的体积最大值为8 D. 半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】设下底面圆的圆心为，在直角三角形中，根据勾股定理即可判断；根据球和圆柱的体积公式即可判断；由已知可得当平面时，四面体的体积最大，根据四面体的体积是两个相等的锥体体积之和，即可判断；连接，当平面时，当趋于与平行时，两种临界情况下半平面与半平面所成二面角的余弦值，即可判断. 【详解】 因为圆柱的高为4，所以底面直径为4， 设下底面圆圆心为，因为底面圆为等边的外接圆， 所以点为等边的中心，所以，又， 所以，故不正确； 设底面圆的半径为，则， 设圆柱的外接球的半径为，所以， 所以，， 所以， 即圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为，故正确； 四面体的体积可看作三棱锥和三棱锥的体积之和， 且， 当平面时，三棱锥和三棱锥的体积最大，即四面体的体积最大， 所以最大值为， 故正确； 连接，当平面时，因为平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 此时为半平面与半平面所成二面角， 又， 所以， 当趋于与平行时，此时半平面与半平面所成二面角趋于， 所以二面角的余弦值趋于， 所以当在上底面运动且不平行于时，半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是，故正确. 故选：. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法，将直观图还原为原图，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】根据题意，将直观图还原为原图，如图所示， 可得为直角三角形，其中， 所以的面积为． 故答案： 13. 已知高为1的正四棱柱的顶点都在表面积为的球面上，则该正四棱柱的表面积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】由正四棱柱的外接球表面积求得半径，进而得出正四棱柱的体对角线，求解正四棱柱的底面边长，根据表面积公式即可求解． 【详解】由已知得球的半径，则正四棱柱的体对角线为3， 设正四棱柱的底面边长为，则，解得， 所以该正四棱柱的表面积为， 故答案为：16． 14. 已知向量，，满足，，，若时，的最小值为1，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量夹角运算结合数量积的运算律求得，结合数量积的运算律得，利用二次函数性质及最值列式求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 所以，又，所以， 所以，化简得，即， 而 ， 因为，所以当时，的最小值为，则. 故答案为：2 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量和满足以下条件： （1）求和； （2）若且，求实数的值； （3）若且，，求． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示直接解方程即可； （2）根据向量线性运算及向量共线的坐标表示列方程，解方程即可； （3）根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可. 【小问1详解】 由， 则，即， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 又且， 则，解得； 【小问3详解】 由，， 所以， 又， 所以，即， 由，则， 解得或， 即或. 16. 四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， （1）证明：平面； （2）若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）由条件先证明，再结合（1）将问题求直线到平面的距离转化为求点到平面的距离，证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此可得结论. 【小问1详解】 证明：连接交于点，连接 因为四边形是正方形，所以是的中点 因为是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为在底面上的投影为底面中心，所以平面 因为平面，所以， 由（1）知，平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离 因为为正方形，所以 因为平面，平面，， 所以平面， 所以点到平面的距离即线段的长度 在正方形中，， 所以，所以直线到平面的距离为 17. 如图，在等腰梯形中，，是的中点，在线段上（含边界），和相交于点，令、， （1）若是的中点，用和表示； （2）若，求并求的取值范围． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算法则直接计算； （2）由，根据向量线性运算法则直接计算，再利用转化法表示向量模长，结合函数性质可得取值范围. 【小问1详解】 因为是的中点，所以， 在等腰梯形中，因为， 所以， 所以， 因为是的中点，所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以 又，， 设， 由，，共线，则， 即，所以， 所以， 所以 易得，， 所以 因为，所以令， 所以. 18. 在学习了解三角形后，小万和小千尝试探究下面的问题：如图，在中，，，，，，在边上，且，连接，请完成下述两个问题，并且写出解答过程． （1）小万说：我能求出边的最短长度； （2）小千说：我能求出边的最短长度； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积可得，再利用余弦定理结合基本不等式可得最值； （2）在和中分别用余弦定理，可得，再结合基本不等式可得最值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以，即， 在中，由余弦定理得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即边的最短长度为； 【小问2详解】 因为在边上，且，所以，， 所以在中，由余弦定理得， 同理在中，由余弦定理得， 因为，所以， 即 ， 即， 所以， 所以 ， 当且仅当，时等号成立，所以的最小值为. 19. 如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，且，M是上异于A、B的点，N是的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱锥体积最大为，设， （ⅰ）求体积最大时α的值及此时二面角的余弦值； （ⅱ）当M在弧上运动时（不与A、B重合），证明：点O到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ），；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质即可证明； （2）（ⅰ）由三棱锥体积最大为求得半径及，再根据二面角的定义求解即可； （ⅱ）根据等体积法即可证明． 【小问1详解】 证明：因为M是半圆弧上一点，所以，即， 因为分别是的中点，所以，， 因为是等腰直角三角形，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面，，所以平面． 【小问2详解】 （ⅰ）设的半径为r，过点M作交于点G，如图，则， 因为， 故当最大时，体积最大，此时M位于的中点处， 所以，，所以． 由（1）知，平面，因为平面，所以， 因为，平面平面， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 因为时，，， 在中，， 所以，所以二面角平面角的余弦值为． （ⅱ）：过点M作交于点G，如图所示， 因平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 由（ⅰ）知， 当时，，则， 所以， 由等腰三角形得，， 因为平面，平面，所以， 所以， 在中，，， 所以， 又因为， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期浙东北（ZDB）联盟期中联考 高一年级数学学科试题 选择题部分 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线 B. 若两直线a，b都与平面平行，则 C. 若直线a平行于平面，直线b平面内，则 D. 若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 3. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 底面边长为，侧面积为的正四棱锥的体积为（ ） A B. C. D. 5. 用一个平行于棱锥底面的平面去截一个底面积为4的棱锥，截得的棱台的上底面积为1，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的体积为（ ） A. 12 B. 9 C. 7 D. 6 6. 在正方体中，P、M分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（ ） A B. C. D. 8. 如图是小明家阁楼的一处墙角示意图，其中，在的角平分线上有一定点A，在A处有一盏灯，灯的光线能照亮覆盖的区域范围（图中，），若A距离地面高度为，则这盏灯可照亮的四边形区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 若是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有（ ） A. B. C. D. 10. 根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 我们称底面直径与高相等的圆柱为等边圆柱，如图，在等边圆柱内有一个正三棱锥，正三棱锥的底面在圆柱底面圆周上，顶点P是圆柱的上底面中心，M是底面三角形边的中点，连接，是上底面的一条直径且不平行于，若圆柱的高为4，则下列说法中，正确的是（ ） A. 中的长为 B. 圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为 C. 四面体的体积最大值为8 D. 半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的面积为______． 13. 已知高为1的正四棱柱的顶点都在表面积为的球面上，则该正四棱柱的表面积为________． 14. 已知向量，，满足，，，若时，的最小值为1，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量和满足以下条件： （1）求和； （2）若且，求实数的值； （3）若且，，求． 16. 四棱锥底面是边长为的正方形，是的中点， （1）证明：平面； （2）若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 17. 如图，在等腰梯形中，，是的中点，在线段上（含边界），和相交于点，令、， （1）若是的中点，用和表示； （2）若，求并求取值范围． 18. 在学习了解三角形后，小万和小千尝试探究下面的问题：如图，在中，，，，，，在边上，且，连接，请完成下述两个问题，并且写出解答过程． （1）小万说：我能求出边的最短长度； （2）小千说：我能求出边的最短长度； 19. 如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，且，M是上异于A、B的点，N是的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱锥体积最大为，设， （ⅰ）求体积最大时α的值及此时二面角的余弦值； （ⅱ）当M在弧上运动时（不与A、B重合），证明：点O到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $