精品解析：山东省泰安市2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

高二年级考试 数学试题 2025.04 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 乘积展开后的项数为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】分析每个括号组成情况，采用分步乘法计数原理进行计算即可. 【详解】从第一个括号中选一个字母有3种方法， 从第二个括号中选一个字母有2种方法， 第三个括号中选一个字母有4种方法， 故根据分步乘法计数原理可知共有（项）． 故选：D 2. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，代入得切线斜率，利用点斜式，写出切线方程. 【详解】依题意，， 因为， 所以，所以切线方程为， 即， 故选：D. 3. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列性质计算可得，再由期望值公式计算可得. 【详解】易知，解得； 所以分布列为 0 1 2 因此. 故选：C 4. （1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x3的系数为，故选A． 【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数． 5. 函数在处取得极值10，则（ ） A. 5 B. C. 0 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】由在处取得极值10，求得或，再结合函数的极值的概念检验得解. 【详解】函数，求导得， 由在处取得极值10，得，解得或， 当时，，函数在R上递增，无极值，不符合题意； 当时，得， 当或时，；当时，， 因此是函数极小值点，符合题意，所以. 故选：B 6. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到花样滑冰，冰球，冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则甲，乙两人分配到同一个项目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将5名志愿者分为3组，每组的人数分别为1、1、3或2、2、1，利用分组分配原理可求得总不同的分配方案，然后把除了甲乙剩余3人分成两类利用分类加法原理即可求出甲，乙两人分配到同一个项目的分配方案数，然后利用古典概型公式计算即可. 【详解】将5名志愿者分为3组，每组的人数分别为1、1、3或2、2、1， 当每组的人数分别为1、1、3时，不同的方案共有种， 当每组的人数分别为2、2、1，不同的方案共有种； 总的分配方案数为， 除了甲乙剩余3人分成两类： 一类是3个项目各一个志愿者，不同的方案共有种； 一类是一个项目一个志愿者，一个项目0个志愿者，一个项目2个志愿者，不同的方案共有种； 乙两人分配到同一个项目的分配方案共种， 所以甲，乙两人分配到同一个项目的概率为， 故选：B 7. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ） A. 27种 B. 36种 C. 54种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果． 【详解】解：由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况； 再排甲，也有3种情况； 余下3人有种排法．故共有种不同的情况． 故选：C. 8. 已知，，，，则，，，的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，利用导函数判断函数单调性，根据函数单调性比较大小即可 【详解】因为，则， 当时，，所以在单调递增； 因为，， 又，故A错； ，所以，故B错； 因为，故C错； 因，所以，所以，故D 对； 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某体育器材厂生产一批乒乓球，设乒乓球的直径为（单位：厘米），若，其中，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 越小，越大 【答案】AC 【解析】 【分析】运用正态分布的性质，包括正态分布曲线的对称性、原则以及标准差对概率的影响．来逐一分析每个选项． 【详解】对于正态分布，其正态分布曲线关于直线对称． 已知，则该正态分布曲线关于对称． 所以，选项正确．  ，，，． 由正态分布曲线的对称性可知，， 所以，选项错误．  因为正态分布曲线关于对称，3.95与4.05关于对称． 所以，C选项正确．  越小，说明数据越集中在均值附近，正态分布曲线越“瘦高”． 那么越小，选项错误．  故选：AC． 10. 已知函数，其导函数为，则下列结论正确是（ ） A. 直线是曲线切线 B. 有三个零点 C. D. 若在上有最大值，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数解析式求导，根据直线方程可得其斜率，利用导数的几何意义建立方程，求得切点坐标，代入直线方程检验，可得A的正误；利用导数可得函数的单调性，求得函数的极值，根据零点存在性定理，可得B的正误；由题意以及导数解析式，建立方程，可得C的正误；根据函数单调性与极大值，建立不等式，可得D的正误. 【详解】对于A，由，则，由直线，则其斜率为， 令，即，解得，，可得切点坐标为， 将代入，则，故A错误； 对于B，由当时，，当时，， 则函数在和单调递增，在单调递减， 由，，，，即， 则函数在，，分别存在唯一零点，即函数存在三个零点，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由B可知函数在取得极大值，由，则，解得，故D正确. 故选：BD. 11. 对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.例如：考察恒等式，左边的系数为，而右边，的系数为，因此可得到组合恒等式.利用算两次的思想方法或其他方法，可以得出下面有关组合数的等式，正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，，左边的系数等于右边的系数，得到A正确；B选项，在个人中选人搞卫生工作，其中人擦窗户，人拖地，共有多少种不同的方法，用两种方法解答，得到B正确；C选项，，左边的系数等于右边的系数，故，C错误；D选项，在C基础和题干条件下，得到方程组，联立得到答案. 【详解】A选项，， 左边的系数为， 右边， 故的系数为， 故，A正确； B选项，在个人中选人搞卫生工作，其中人擦窗户，人拖地，共有多少种不同的方法？ 方法一：先从在个人中选人，再从选出的人中选出人擦窗户，共有种不同的方法； 方法二：先从在个人中选人擦窗户，再从剩余的人中选人拖地， 故共有种方法； 故，B正确； C选项，， ， 左边的系数为， 右边的系数为，故，C错误； D选项，由题干可得， 故， 即①， 由C可知，，则②， 故①-②得， 所以，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用这9个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______. 【答案】448 【解析】 【分析】应用分步乘法原理计算求解. 【详解】用这9个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是. 故答案为：. 13. 已知，，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用全概率公式以及对立事件的概率公式即可. 【详解】由全概率公式可得， 则由题意可得， 解得. 故答案为： 14. 若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得在上有且仅有一个根，讨论、，导数研究区间单调性并确定右侧的值域，即可得参数范围. 【详解】令有且仅有一个根，且 所以，在上有且仅有一个根， 当，则 令且，则 所以在上单调递增，x趋向于0时，x趋向于1时 所以 当，则 令在上单调递减，且，x趋向于+∞时所以 综上所得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的二项展开式中. （1）若，求展开式中含项的系数； （2）若展开式中含有常数项，求最小的正整数的值. 【答案】（1）60 （2）5 【解析】 【分析】（1）利用二项展开式的通项计算可得结果； （2）由通项得出含有常数项时，再结合其范围可得当时，取最小值5. 【小问1详解】 当时，展开式的通项为 令，解得 所以展开式中含项的系数为 【小问2详解】 展开式的通项， 由于展开式含有常数项，可得 即，又 即当时，取最小值5，此时展开式含有常数项， 因此最小的正整数的值为5. 16. 在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球. （1）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； （2）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值. 【答案】（1）分布列见解析 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意，由二项分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由超几何分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 若每次抽取后最放回，则每次取到黑球的概率均为， 取到小球的个数 ∴ ∴的分布列为 0 1 2 3 【小问2详解】若每次抽取后都不放回，取到小球的个数服从超几何分布 ∴的分布列为 0 1 2 3 17. 已知. （1）若函数在上为增函数，求的取值范围； （2）当，且时，不等式在上恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）将问题转化为在上恒成立，进而利用参变分离求的最大值即可； （2）参变分离求的最小值，最后利用即可求得. 【小问1详解】 因，则， 因在上为增函数，则即在上恒成立， 则， 又在上单调递减，则当时，则， 故的取值范围是； 【小问2详解】 当时，， 当时，不等式等价于， 即对任意恒成立， 设，，则， 设，，则， 则在单调递增， 因，， 则存在使，即， 所以当时，，；当时，，， 故在单调递减，在单调递增， 则 所以， 又因，故的最大值为. 18. 甲，乙两人参加投篮比赛，比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定，后续两人轮流投篮，每人每次投一个球，投进得1分，投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲乙两人各完成一次投篮记为一轮比赛.比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为.第一轮投篮后甲乙两人各积1分的概率为.记比赛结束时甲乙两人的投篮总次数为. （1）求； （2）求在的情况下，乙获胜的概率； （3）求甲在3轮比赛之内获胜的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助概率乘法公式计算即可得； （2）分析题意，分别计算出时的概率及时甲晋级的概率，再借助条件概率公式计算即可得； （3）可能为3、4、5、6，分类讨论，列出符合要求的所有情况并计算其概率后求和即可得. 【小问1详解】 由题意可知： ∴ 【小问2详解】 当时，甲，乙两人共投篮3次 由于比赛结束，故有一人投篮2次全进，另一人投篮1次未进 设“时，比赛结束”，“乙获胜” ； 【小问3详解】 若甲在3轮比赛之内获胜，则两人可能的投篮总次数为3，4，5，6 设“甲获胜”，“时比赛结束” 当时，若甲胜，两人的投篮情况一定为：甲进，乙不进，甲进， ∴ 当时，若甲胜，两人的投篮情况一定为：乙不进，甲进，乙不进，甲进， 则 当时，若甲胜，两人的投篮情况可能为： 甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进； 甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进； 甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进； ∴ 当时，若甲胜，则乙先投篮，两人的投篮情况可能为： 乙不进，甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进； 乙不进，甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进； 乙不进，甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进； 乙进，甲进，乙不进，甲进，乙不进，甲进； ∴ ∴甲在3轮比赛之内获胜的概率为 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）对于函数，，若存在，使，则称函数与为“互补函数”， ，为“互补数”.已知当时，函数与为“互补函数”且互补数为. （ⅰ）是否存在，使？并说明理由； （ⅱ）若，，请用含有的代数式表示的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）存在，理由见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求导后根据参数的范围分类讨论可得； （2）（i）由互补函数的定义结合代入可得； （ii）由互补函数的定义构成方程组解出的表达式，再构造函数求导，二次构造和求导分析单调性和最值可得. 【小问1详解】 ∵，∴， ①当时，，∴在上单调递减， ②当时令得，令得， ③当时令得，令得. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 ∵与为“互补函数”， ∴存在，使， （ⅰ）若，则即， ∴，. （ⅱ）设，则， 即即， ∴①+②得③， ①-②得④， 得， ∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 设，，则， 设，则， 设，则在上恒成立， ∴在上单调递增，∴ ∴在上恒大于0，∴在上单调递增 ∴，∴在上恒成立 ∴在上单调递增， ∴， ∴的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级考试 数学试题 2025.04 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 乘积展开后的项数为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 2. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A B. C. D. 3. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 则（ ） A B. C. D. 4. （1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 5. 函数在处取得极值10，则（ ） A. 5 B. C. 0 D. 0或 6. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到花样滑冰，冰球，冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则甲，乙两人分配到同一个项目的概率为（ ） A B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ） A. 27种 B. 36种 C. 54种 D. 72种 8. 已知，，，，则，，，的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某体育器材厂生产一批乒乓球，设乒乓球的直径为（单位：厘米），若，其中，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 越小，越大 10. 已知函数，其导函数为，则下列结论正确的是（ ） A. 直线是曲线的切线 B. 有三个零点 C. D. 若在上有最大值，则的取值范围为 11. 对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.例如：考察恒等式，左边的系数为，而右边，的系数为，因此可得到组合恒等式.利用算两次的思想方法或其他方法，可以得出下面有关组合数的等式，正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用这9个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______. 13. 已知，，，则______. 14. 若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值集合为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的二项展开式中. （1）若，求展开式中含项的系数； （2）若展开式中含有常数项，求最小的正整数的值. 16. 在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球. （1）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； （2）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值. 17. 已知. （1）若函数在上为增函数，求的取值范围； （2）当，且时，不等式在上恒成立，求的最大值. 18. 甲，乙两人参加投篮比赛，比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定，后续两人轮流投篮，每人每次投一个球，投进得1分，投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲乙两人各完成一次投篮记为一轮比赛.比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为.第一轮投篮后甲乙两人各积1分的概率为.记比赛结束时甲乙两人的投篮总次数为. （1）求； （2）求在的情况下，乙获胜的概率； （3）求甲在3轮比赛之内获胜概率. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）对于函数，，若存在，使，则称函数与为“互补函数”， ，为“互补数”.已知当时，函数与为“互补函数”且互补数为. （ⅰ）是否存在，使？并说明理由； （ⅱ）若，，请用含有的代数式表示的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$