精品解析：河北省廊坊市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

高二下学期期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第七章第4节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 现有4幅不同的油画，3幅不同的国画，2幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 9种 B. 6种 C. 12种 D. 24种 2. 已知数列前n项和为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 250 B. 500 C. D. 4. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与函数，图象分别交于点、，当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 7. 一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（ ） A 1 B. 2 C. D. 8. 将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A B. C. D. 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若为奇函数，则 B. 的图象关于直线对称 C. 若，则的单调递增区间为 D. 当时，在上单调递增 11. 已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（ ） A. X的值可能为，，， B. 的值可能为，，， C. 的概率为 D. 的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的通项公式为，则的最小项的值为______． 13. 将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有___________种． 14. 将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则_____________，的前202项和为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恰有2个零点，求的取值范围． 16. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果： 单位：人 服用情况 患病情况 患病 不患病 服用中药预防方 100 900 不服用中药预防方 400 600 （1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求的值． （2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望． 17. 设等比数列的公比为，前项和为．令，数列的前项和为． （1）若，求的通项公式； （2）若为等比数列，且，求． 18. 已知函数． （1）求的极值； （2）求的单调区间； （3）若，求a的取值范围． 19. 某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有个白球和个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖． （1）求第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率； （2）求这两份奖品都被第名顾客抽取的概率； （3）求由第名顾客终止抽奖活动的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第七章第4节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 现有4幅不同的油画，3幅不同的国画，2幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 9种 B. 6种 C. 12种 D. 24种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理进行求解 【详解】根据分类加法计数原理，共有种不同的选法. 故选：A 2. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据代入即可得解. 【详解】当时，，又，则． 当时，，又，所以， 解得：． 故选：D 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 250 B. 500 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项公式即可求得答案. 【详解】由二项式展开式的通项公式可得，， 令，解得，所以的系数为． 故选：C 4. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式的基本量运算求出，进而得出. 【详解】设等比数列的公比为q，则，又， 解得，故． 故选：D. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】，所求切线方程为． 故选：A 6. 已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令函数，利用导数求出函数的最小值及其对应的值，即可得出结论. 【详解】由题意可得， 令函数，则． 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，即的最小值为，此时． 故选：A. 7. 一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布，套公式求期望即可. 【详解】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布， 取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则． 故选：C. 8. 将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正三棱柱的体积，再求出导函数，根据导函数正负得出函数单调性，进而得出最大值即可. 【详解】设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则，即． 正三棱柱的体积． 当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，V取得最大值，最大值为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列，且，求得，再利用等差数列通项公式和前项和公式求解. 【详解】解得： 所以， A，B，D正确，，C错误． 故选：ABD 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若为奇函数，则 B. 的图象关于直线对称 C. 若，则的单调递增区间为 D. 当时，上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求定义域，根据奇函数性质求出；B选项，计算出，B正确；C选项，，解不等式求出单调递增区间；D选项，求导，得到，其中，解不等式求出单调递增区间. 【详解】A选项，的定义域为， 若为奇函数，则，解得，A错误． B选项，， 所以的图象关于直线对称，B正确． C选项，若，则． 令，解得， 所以的单调递增区间为，C正确． D选项， ， 当时，，故． 令，即，解得， 所以的单调递增区间为，D正确． 故选：BCD 11. 已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（ ） A. X的值可能为，，， B. 的值可能为，，， C. 的概率为 D. 的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先确定满足条件的的个数，再结合定义确定的可能取值，确定取各值的方法数，由此可得取各值的概率，再求的值及取各值的概率，结合概率加法和乘法公式求结论. 【详解】将1，2，3，4，5，6，7，8平均分成组，有种分法. X的值可能为，，，，A正确； 不妨设， 若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时. 若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时. 若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时. 若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时. ，，，. ，C正确； 又的值可能为，，，，B错误； 不妨设 若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时. 若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时. 若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时. 若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时. ，，，. ，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的通项公式为，则的最小项的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由对勾函数的性质求解即可. 【详解】数列的通项公式为，由对勾函数的性质可知： 当时，取得最小项，即. 故答案为：. 13. 将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有___________种． 【答案】1800 【解析】 【分析】先利用组合数的概念从名志愿者中选出人作为一组，再利用排列数的概念将分好的组全排列分配到个小区，最后根据分步乘法计数原理计算出不同的安排方法总数． 【详解】先将2名志愿者看作一组，选法有种， 再将5组志愿者分配到5个小区，分法有种，故不同的安排方法有种． 故答案为： 14. 将数列与中所有项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则_____________，的前202项和为_____________． 【答案】 ①. 14 ②. 49609 【解析】 【分析】与的公共项为，去掉它们的公共项后，得到，两个相邻的公共项之间有5项，其和可以构成等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】与的公共项为，去掉它们的公共项后， 剩余的项从小到大排序为4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…， 所以， 且每两个相邻的公共项之间有5项，分别求和， ，， ，…， 可以看到这5项的和为一项构成的新数列是首项为70，公差为60的等差数列． 因为， 所以前202项和为． 故答案为：14，49609. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恰有2个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出时的导数，然后利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求得，根据的符号讨论出函数的单调性，若在上恰有2个零点，则必须满足，解不等式可得结果. 【小问1详解】 当，则，， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为，因此曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ，，， 当时，，，此时在上单调递增； 当时，，，此时在上单调递减； 因此，若在上恰有2个零点， 则必须满足：，解得：， 所以实数a的取值范围为. 16. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果： 单位：人 服用情况 患病情况 患病 不患病 服用中药预防方 100 900 不服用中药预防方 400 600 （1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求的值． （2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）概率计算，依据条件概率公式来求解； （2）二项分布期望的计算，根据二项分布的期望公式进行计算． 【小问1详解】 由题意可得， ． ． 【小问2详解】 从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，不患病的概率为． 由已知得， 则． 17. 设等比数列的公比为，前项和为．令，数列的前项和为． （1）若，求的通项公式； （2）若为等比数列，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意结合等比数列的性质可得关于的方程组，解方程即可得出答案. （2）由题意可得，可求出，进而求出，再由，代入化简即可得出答案. 【小问1详解】 因为，所以 所以，所以， 又所以 所以，又因为， 所以，因为，解得：. 所以. 【小问2详解】 因为为等比数列，， 所以，即， 因为等比数列的公比为，前项和为， 所以， 所以， 化简可得：，则，所以， 所以，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 由可得：，解得：. 18. 已知函数． （1）求的极值； （2）求的单调区间； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值． （2）答案见解析 （3）． 【解析】 【分析】(1)求出导数，根据导数与极值点的关系求极值点，再求极值即可； (2) 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； (3)由题意，可得，即，构造函数，上式等价于，利用导数计算求解即可得出结果． 【小问1详解】 ． 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 在处取得极小值，极小值为，无极大值． 【小问2详解】 的定义域为． ． 若，则为常函数，无单调区间． 若，则的单调递减区间为，无单调递增区间． 【小问3详解】 因为，所以，即． 令函数，上式等价于． 在上恒成立，所以在上单调递增． 因为当时，，当时，，所以，即． 因为，所以，所以． 故a的取值范围是． 19. 某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有个白球和个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖． （1）求第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率； （2）求这两份奖品都被第名顾客抽取的概率； （3）求由第名顾客终止抽奖活动的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知第名顾客抽取的是红球；第名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第名顾客抽取的是白球.结合独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）利用列举法列举出这两分别奖品都被第名、第名、第名顾客抽走的概率，利用归纳可得出这两份奖品都被第名顾客抽取的概率； （3）设由第名顾客终止抽奖的概率为，可得出的值，讨论的情形，第名顾客共抽取了两份奖品，则前面名顾客都没有抽到奖品；第名顾客抽取了一份奖品，则前面名顾客中第名顾客抽到了一份奖品，计算出两种情况下所求概率，相加即可得解. 【小问1详解】 由题意可得第名和第名顾客各抽中一份奖品，即第名顾客抽取的是红球； 第名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第名顾客抽取的是白球. 故第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率为. 【小问2详解】 这两份奖品被第名顾客抽走的概率为， 被第名顾客抽走的概率为， 被第名顾客抽走的概率为， ， 被第名顾客抽走的概率为. 【小问3详解】 设由第名顾客终止抽奖的概率为，则，以下讨论的情形： 若第名顾客共抽取了两份奖品，则前面名顾客都没有抽到奖品，其概率为， 若第名顾客抽取了一份奖品，则前面名顾客中第名顾客抽到了一份奖品， 则前面名顾客五人抽到奖品，其概率为， 第名顾客只获得一份奖品，其概率为， 第名顾客到第名顾客都没有抽到奖品，其概率为， 所以，第名顾客抽取了一份奖品的概率为 ， 所以，， 当时，不符合上式， 因此，由第名顾客终止抽奖活动的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $