精品解析：河北省唐县第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

数学试题 试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过解分式不等式得到集合A，再由对数函数的定义域求得集合B，然后取交集，最后在实数范围内求补集即可得出结果. 【详解】化简集合，分式不等式等价于， 整理得， 解得或，即， 化简集合，对数函数要求真数大于0， 即，解得，即， ，. 故选：A 2. 已知实数，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用分离参数法求出的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可. 【详解】对，则，而， 当且仅当时取等号，因此； 当时, ，当且仅当时取等号， 所以是的充要条件. 故选：C. 3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 55 B. C. 65 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据展开式的通项公式进行计算即可. 【详解】含的项为， 所以展开式中的系数为． 故选： 5. 在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别求得事件和事件的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】从装有6个大小质地完全相同的小球的盒中一次取出2个小球，共有种取法， 其中事件， 有9种取法，概率为， 事件，有3种取法，概率为， 所以. 故选：C. 6. 若函数在上有极值，则的取值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将函数求导，将函数有极值问题转化为方程在上有两不等实根，通过求二次函数的值域即得的取值范围. 【详解】函数在上有极值， 即在上有变号零点， 也即方程在上有两不等实根， 由可得，当且仅当时，等号成立， 故需使. 故选：B. 7. 已知随机变量，若，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态密度曲线的对称性，得到，再利用“1”的妙用，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，正态密度曲线关于对称，所以，且， 所以， 则， 当且仅当，，即时，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B 8. 设是两个随机事件，已知，，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用相互独立事件的概率与条件概率计算即可. 【详解】由已知得， 注意到，所以相互独立， 故， ， 又因为，故， 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共有3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是（ ） A. 五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种 B. 安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法 C. 五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法 D. A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑即可求解A,根据排列即可求解B，根据分组分配问题即可求解C，利用列举，结合分步乘法计数原理即可求解D. 【详解】对于A,将A、B两名同学看作一个整体，与其他三个同学一起全排列，则共有种情况，故A正确， 对于B，安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有种安排方法,故B错误， 对于C,由于A、B、C三人值日的先后顺序固定，只需要将剩下两名同学安排好即可，故共有种方法，故C正确， 对于D,从三个人中选2个人安排在第一天和第二天，则有种方法，假若前两天值日的人为分别为，则6天的安排有共有5种，故总的安排有,故D正确， 故选：ACD 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可． 【详解】对于A：因为，故A错误； 对于B：因为，故B正确； 对于C：因为， ， 所以，故C正确； 对于D：由上可得， 又因为，故D错误， 故选：BC． 11. 记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若为偶函数，则 D. 可能为二次函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造函数，利用导数，由题意可得是减函数，由此判断A，B；若为偶函数，则，两边求导，可得为奇函数，由此判断C，用特殊值法，可判断D. 【详解】由，得， 因为，所以， 即，所以是减函数， 所以，即，所以A正确； ，即，所以B不正确； 若为偶函数，则. 两边求导，得，所以是奇函数. 由，，得. 所以，所以C正确； 假设，则. 由，得. 由，得，所以. 由，得，即恒成立； 则，即. 令，则成立， 所以可能为二次函数，所以D正确. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】通过赋值，代入即可求解. 【详解】由，令， 则有， 即. 故答案为：0 13. 若函数存在唯一零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点和方程解的关系，判断方程解的个数，进而根据方程解与函数图像交点间的关系，求出存在唯一零点时的情况，根据函数导数的几何意义，求出直线相切时的参数值，求出结果. 【详解】由题意可得， 可知方程存在唯一解，即射线与曲线和共有一个交点. 当时，与交于一点，与无公共点，符合题意； 当时，若与曲线或相切，有唯一公共点， 可知曲线的导函数为， 设切点为，则切线斜率为，切线方程为， 当切线经过原点时，解得，此时斜率为，即； 可知曲线的导函数为 设切点为，则切线斜率为，切线方程为， 当切线经过原点时，解得，此时斜率为，即； 综上，. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为______. 【答案】##0.3125 【解析】 【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求出的表达式，即可求得的值. 【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，， 设“次传球后球在甲手中”，则， 则． 即， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，所以， 所以5次传球后球在甲手中的概率为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 我国清洁能源产业领跑全球，风电、光伏等发电规模稳居世界首位．如今我国率先开辟全新发展赛道，依托本土充沛低价绿电搭建智算中心，将电能转化为算力进而生成AI Token完成对外输出．我国自主生成的AI Token综合成本仅为欧美市场的，国产自研AI模型在全球算力服务时长中占比超，行业优势十分突出．为研究AI技术普及前后，电力企业依托Token出海模式的收益变化是否存在关联，调研人员抽取家电力企业开展统计，得到如下列联表： 收益显著提升 收益未明显提升 合计 AI技术推出前 AI技术推出后 合计 （1）根据小概率值的独立性检验，分析电力企业收益提升情况与AI技术推出是否有关联； （2）利用分层抽样从全部家企业中抽取家企业，再从抽取到的企业里随机选取家，设这家企业中收益显著提升的企业数量为，求的分布列与数学期望． 附，其中， 【答案】（1）根据小概率值的独立性检验，认为电力企业收益提升情况与AI技术推出有关联 （2）的分布列为 ． 【解析】 【分析】（1）先设零假设：收益提升与AI技术无关，再用卡方公式代入列联表数据计算统计量，与对应的临界值比较，判断是否拒绝，得出关联结论； （2）先按抽样比分层抽取家企业，得到家收益显著提升、家未明显提升；再根据超几何分布定义，写出的可能取值，计算对应概率并列出分布列，最后用超几何分布期望公式或分布列直接计算． 【小问1详解】 零假设：电力企业收益提升情况与AI技术推出无关联， 根据表中数据可得，， 因为，所以零假设不成立， 根据小概率值的独立性检验，认为电力企业收益提升情况与AI技术推出有关联． 【小问2详解】 抽样比：，收益显著提升的企业共家，抽取数量：家， 收益未明显提升的企业共家，抽取数量：家， 抽取的家企业中，家 “收益显著提升”，家 “收益未明显提升”， 由题意，服从超几何分布：的可能取值为， ，，， ，， 所以的分布列为 ． 16. 已知，． （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导得，利用导函数的正负判断函数的单调区间； （2）根据题意求出，再结合定义域分离参数可得，令，对求导，得到的单调性，再求出的最大值,从而得到的取值范围. 【小问1详解】 ∵函数的定义域是，． 令，得，解得， 的单调递减区间是． 令，得，解得，的单调递增区间是． 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是． 【小问2详解】 ，恒成立，恒成立． ，在上恒成立． 设，则． 令，得，（舍去）． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． ∴当时，取得极大值，也是最大值，且， 若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是． 17. 随着智能网联汽车应用服务的推陈出新，智能网联汽车规模持续上升，下表为2021～2025中国智能网联汽车应用服务市场的规模及预测（表中2025年的数据为预测规模）． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模（单位：千亿元） 0.93 1.26 1.61 2.15 2.79 （1）小张同学根据上表数据求得关于的经验回归方程为，小王同学利用散点图发现，点的分布更像模型，利用变换，可将转换为线性模型，根据下面提供的数据及公式求出该回归方程； （2）利用相关系数可以判断两变量间线性相关性的强弱，|r|越大，线性相关性就越强，且当时，则认为经验回归方程有价值，否则无价值．用相关系数比较两模型哪一个更有价值？ 参考公式：． 参考数据：,(其中)． 【答案】（1） （2）模型更有价值 【解析】 【分析】（1）将两边取对数，只需结合所给公式求出的值即可得解； （2）只需计算出两个相关系数，然后它们和0.75这三个数之间比较大小即可作出结论. 【小问1详解】 将两边取对数，得，令， 由题意得， 所以， 所以， 所以，即， 所以． 【小问2详解】 因为回归直线方程为， 所以， 所以， 所以． 因为，所以该经验回归方程有价值． 因为， 所以， 所以与线性相关性强，其经验回归方程有价值， 又， 所以模型更有价值. 18. 某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. （1）求小张同学成功晋级复赛的概率； （2）已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设小张同学在初赛的得分为，则，结合二项分布运算求解即可； （2）设在复赛中每轮得分为，并求对应的概率.（i）分析可知2轮4分，1轮2分，进而求概率；（ii）可得，，利用导数求最值即可. 【小问1详解】 设小张同学在初赛的得分为，则， 所以小张同学成功晋级复赛的概率. 【小问2详解】 设在复赛中每轮得分为，则有： ； ； ， （i）若，则，，， 因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分， 所以小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）由题意可知：，， 则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在内单调递减， 所以取到最大值. 19. 已知函数. （1）当为偶函数时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：； （3）若实数使得对任意恒成立，当取最大值时，求. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据为偶函数，求出a，可得函数解析式，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）将原不等式转化为证，构造函数，利用导数判断其单调性，即可证明结论； （3）将对任意恒成立转化为恒成立，构造函数，利用导数求解的最小值，即可求得答案. 【小问1详解】 若为偶函数，即， 则，即得， 即，由于，则， 此时， 所以， 故所求的切线方程为，即； 【小问2详解】 当时，，要证， 即证. 设，则. 令，得，由于，故， 等号仅在时取得，故是R上的增函数，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，得证. 【小问3详解】 恒成立，即恒成立，则. 设函数，即， 则，由（2）可知是增函数，且易知其值域为， 故存在，使得，即， 当时， ，单调递减，当时， ，单调递增， 所以， 要使最大，则取，再分析的最大值. 设函数， 则， 因为，且仅在处等号成立， 所以当时， ，单调递增，当时， ， 单调递减， 所以 即的最大值为，当时， ， 得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 55 B. C. 65 D. 5. 在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上有极值，则的取值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 已知随机变量，若，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 设是两个随机事件，已知，，，记，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共有3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是（ ） A. 五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种 B. 安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法 C. 五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法 D. A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若为偶函数，则 D. 可能为二次函数 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的值为__________. 13. 若函数存在唯一零点，则的取值范围是__________. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 我国清洁能源产业领跑全球，风电、光伏等发电规模稳居世界首位．如今我国率先开辟全新发展赛道，依托本土充沛低价绿电搭建智算中心，将电能转化为算力进而生成AI Token完成对外输出．我国自主生成的AI Token综合成本仅为欧美市场的，国产自研AI模型在全球算力服务时长中占比超，行业优势十分突出．为研究AI技术普及前后，电力企业依托Token出海模式的收益变化是否存在关联，调研人员抽取家电力企业开展统计，得到如下列联表： 收益显著提升 收益未明显提升 合计 AI技术推出前 AI技术推出后 合计 （1）根据小概率值的独立性检验，分析电力企业收益提升情况与AI技术推出是否有关联； （2）利用分层抽样从全部家企业中抽取家企业，再从抽取到的企业里随机选取家，设这家企业中收益显著提升的企业数量为，求的分布列与数学期望． 附，其中， 16. 已知，． （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 17. 随着智能网联汽车应用服务的推陈出新，智能网联汽车规模持续上升，下表为2021～2025中国智能网联汽车应用服务市场的规模及预测（表中2025年的数据为预测规模）． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模（单位：千亿元） 0.93 1.26 1.61 2.15 2.79 （1）小张同学根据上表数据求得关于的经验回归方程为，小王同学利用散点图发现，点的分布更像模型，利用变换，可将转换为线性模型，根据下面提供的数据及公式求出该回归方程； （2）利用相关系数可以判断两变量间线性相关性的强弱，|r|越大，线性相关性就越强，且当时，则认为经验回归方程有价值，否则无价值．用相关系数比较两模型哪一个更有价值？ 参考公式：． 参考数据：,(其中)． 18. 某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. （1）求小张同学成功晋级复赛的概率； （2）已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 19. 已知函数. （1）当为偶函数时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：； （3）若实数使得对任意恒成立，当取最大值时，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $