河北省唐县第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C C D C B B C ACD BC ACD 12.0 13. 14.．/0.3125 15.【解】（1）零假设为：电力企业收益提升情况与 AI 技术推出无关联 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为电力企业收益提升情况与 AI 技术推出有关联，该推断犯错误的概率不超过. （2）抽样比：，收益显著提升的企业共 60 家，抽取数量： 家， 收益未明显提升的企业共 40 家，抽取数量： 家， 抽取的 10 家企业中，6 家 “收益显著提升”，4 家 “收益未明显提升”， 由题意，服从超几何分布：的可能取值为 ， ， ， 所以，的分布列为 1 2 3 4 5 16.【解】（1）∵函数的定义域是，． 令，得，解得， 的单调递减区间是． 令，得，解得，的单调递增区间是． 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是． （2），恒成立，恒成立． ，在上恒成立． 设，则． 令，得，（舍去）． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． ∴当时，取得极大值，也是最大值，且， 若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是． 17.【解】(1)将两边取对数，得，令， 由题意得， 所以， 所以， 所以，即， 所以． (2)因为回归直线方程为， 所以， 所以， 所以． 因为，所以该经验回归方程有价值． 因为， 所以， 所以与线性相关性强，其经验回归方程有价值， 又， 所以模型更有价值. 18.【解】（1）设小张同学在初赛的得分为，则， 所以小张同学成功晋级复赛的概率. （2）设在复赛中每轮得分为，则有： ； ； ， （i）若，则，，， 因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分， 所以小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）由题意可知：，， 则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在内单调递减， 所以取到最大值. 19. 【解】 （1）若为偶函数，则，（1分） 此时，， 所以，， 故所求的切线方程为，即。（3分） （2）当时，。要证， 即证。 设，则。（4分） 继续求导得，故是增函数， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，（6分） 所以，得证。（7分） （3）恒成立，即恒成立，则。（8分） 设函数，即， 则，由（2）可知是增函数，且易知其值域为。 故存在，使得，即，（10分） 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以 。（13分） 要使最大，则取，再分析的最大值。 设函数， 则，（14分） 因为，且仅在处等号成立， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，（16分） 即的最大值为，当时，， 得。（17分） 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知实数，则“，”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是 A． B． C． D． 4．的展开式中的系数为（ ） A．55 B．-70 C．65 D．-25 5．在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则 A． B． C． D． 6．若函数在上有极值，则的取值可能是（ ） A．-1 B． C．0 D．1 7．已知随机变量，若，，，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 8．设，是两个随机事件，已知，，，记，则 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共有3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．、、、、五名同学安排值日，下列说法正确的是（ ） A．五人值五天，每人值一天，、两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种 B．安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法 C．五人值五天，每人值一天，要求、、三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法 D．、、三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法 10．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”，“零件为第台车床加工”（），下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 11．记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若为偶函数，则 D．可能为二次函数 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则的值为________． 13．若函数存在唯一零点，则的取值范围是________． 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）我国清洁能源产业领跑全球，风电、光伏等发电规模稳居世界首位．如今我国率先开辟全新发展赛道，依托本土充沛低价绿电搭建智算中心，将电能转化为算力进而生成AI Token完成对外输出．我国自主生成的AI Token综合成本仅为欧美市场的，国产自研AI模型在全球算力服务时长中占比超，行业优势十分突出．为研究AI技术普及前后，电力企业依托Token出海模式的收益变化是否存在关联，调研人员抽取100家电力企业开展统计，得到如下列联表： 收益显著提升 收益未明显提升 合计 AI技术推出前 20 30 50 AI技术推出后 40 10 50 合计 60 40 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析电力企业收益提升情况与AI技术推出是否有关联； （2）利用分层抽样从全部100家企业中抽取10家企业，再从抽取到的企业里随机选取5家，设这5家企业中收益显著提升的企业数量为，求的分布列与数学期望． 附，其中， （） 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分）已知，． （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分）随着智能网联汽车应用服务的推陈出新，智能网联汽车规模持续上升，下表为2021~2025中国智能网联汽车应用服务市场的规模及预测（表中2025年的数据为预测规模）． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模（单位：千亿元） 0.93 1.26 1.61 2.15 2.79 （1）小张同学根据上表数据求得关于的经验回归方程为，小王同学利用散点图发现，点的分布更像模型，利用变换，可将转换为线性模型，根据下面提供的数据及公式求出该回归方程； （2）利用相关系数可以判断两变量间线性相关性的强弱，越大，线性相关性就越强，且当时，则认为经验回归方程有价值，否则无价值．用相关系数比较两模型哪一个更有价值？ 参考公式：，，． 参考数据：，，，，，（其中）． 18．（17分）某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响． （1）求小张同学成功晋级复赛的概率； （2）已知小张同学已晋级复赛． （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值． 19．（17分）已知函数． （1）当为偶函数时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：； （3）若实数，使得对任意恒成立，当b取最大值时，求a． 学科网（北京）股份有限公司 $