精品解析：四川省阆中北大博雅骏臣学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

阆中北大博雅骏臣学校2025年春期中知识整理 高一年级 数学 整理时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每题5分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若，则 A. B. C. D. 3. 如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则向量与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，所对的边分别为，，，若，则（ ）． A. B. C. D. 6. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 中，角的对边分别为，且满足，则角的值为 A. B. C. D. 8. 设函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，按选对个数给分，选错不得分） 9. 要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点（ ） A. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位 B. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位 C. 向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） D. 向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 10. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 函数的图象关于点对称 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递增 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ). A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 三、填空题（每题5分） 12. 复数，则______． 13. 在△ABC中，，，，则△ABC的面积为______． 14. 需要测量某塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为__________米 四、解答题 15. 已知中，，，. （1）求； （2）求； （3）求的面积. 16. 如图，在矩形中，，点为线段上的动点，与的交点为. （1）求； （2）若点为的中点，求. 17. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式与单增区间； （2）求的解集． 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且. （1）求角A； （2）若，，求的面积； （3）若，求的最大值. 19. 锐角三角形中，角的对边分别为且. （1）求； （2）求三角形周长的取值范围； （3）求三角形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阆中北大博雅骏臣学校2025年春期中知识整理 高一年级 数学 整理时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每题5分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式即可得解. 【详解】 . 故选：D. 2. 若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由公式可得结果. 详解： 故选B. 点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 3. 如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算，可得解 【详解】由题意，． 故选：B 4. 已知向量，，则向量与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】，， ， 又因为， 所以. 故选：D 5. 在中，，，所对的边分别为，，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由余弦定理，即可得出结果. 【详解】由余弦定理的推论，得， 又，所以． 故选：D． 【点睛】本题主要考查由余弦定理解三角形，属于基础题型. 6. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 7. 中，角的对边分别为，且满足，则角的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，结合余弦定理，得到，化简整理得到，再利用余弦定理，求得. 【详解】根据题的条件，结合余弦定理可得， 整理得，即， 所以有， 因为，所以， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，特殊角的三角函数值，属于简单题目. 8. 设函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三条对称轴､两个零点， 则满足，解得，所以的取值范围为. 故选：C. 二、多选题（每题6分，按选对个数给分，选错不得分） 9. 要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点（ ） A. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位 B. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位 C. 向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） D. 向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 【答案】BC 【解析】 【分析】根据周期变换和平移变换的原则即可得解. 【详解】要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位； 或者向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 函数的图象关于点对称 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】先用辅助角公式将函数变形为，结合正弦型函数的性质逐项判断正确与否即可. 【详解】函数， 对于选项A，，A正确； 对于选项B和C，将代入函数的解析式，得，函数的图象关于点对称，B正确，C错误； 对于选项D，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，D不正确； 故选：AB. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ). A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，由余弦定理，可知为锐角， 但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误； 对于C，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（每题5分） 12. 复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为复数，则. 故答案为： 13. 在△ABC中，，，，则△ABC的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理求出，再代入面积公式即可. 【详解】由余弦定理得（负根舍去）， 所以. 故答案为： 14. 需要测量某塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为__________米 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，然后利用解直角三角形即得. 【详解】因为在中，，，米， 所以， 由正弦定理得，即，解得(米)， 在中，，所以，即塔高(米). 故答案为：. 四、解答题 15. 已知中，，，. （1）求； （2）求； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用余弦定理求解即可； （2）利用正弦定定理列方程求解； （3）直接利用三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 由余弦定理， 可得， 因为，所以； 【小问2详解】 在中，由正弦定理， 可得，解得； 【小问3详解】 由的面积， 可得. 16. 如图，在矩形中，，点为线段上的动点，与的交点为. （1）求； （2）若点为的中点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的运算律，结合向量的加法运算，计算求解即可； （2）建系，求得向量坐标，由向量的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 因为，所以 . 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示平面直角坐标系， 可得.则. 若为的中点，则，故， 又由，则. 17. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式与单增区间； （2）求的解集． 【答案】（1），单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象得出，进而得出函数解析式，再结合正弦函数单调性计算求解； （2）应用正弦函数图象及特殊角的函数值解不等式即可. 【小问1详解】 由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以. 令,解得， 故单调递增区间为 【小问2详解】 ，则 结合图象可得 解得， 故的解集为 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且. （1）求角A； （2）若，，求的面积； （3）若，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示，正弦定理边化角求解. （2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. （3）利用余弦定理建立关系，再利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 向量，且，则， 在中，由正弦定理得，而， 则，即，又， 所以. 【小问2详解】 由余弦定理得，即 于是，而，解得， 所以的面积. 【小问3详解】 由余弦定理得， 则， 当且仅当时取等号，解得， 所以当时，取得最大值4. 19. 锐角三角形中，角的对边分别为且. （1）求； （2）求三角形周长的取值范围； （3）求三角形面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边换角并利用两角和的正弦公式展开化简即可得到答案； （2）利用正弦定理得，再将周长转化为三角函数值域问题即可； （3）利用余弦定理和基本不等式即可得到的最大值，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【小问1详解】 由正弦定理：， 则， 所以，根据得：. 【小问2详解】 由正弦定理：，所以， ， 注意到，所以， 所以， 所以， 所以周长的取值范围是. 【小问3详解】 余弦定理：， 所以三角形面积为， 当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $