专题04 整式的乘除（考题猜想，十一大题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材青岛版

专题04 整式的乘法与除法（十一大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 同底数幂的乘除法运算 · 题型二 幂的乘方与积的乘方（高频） · 题型三 零指数幂和负整数的指数幂 · 题型四 科学计数法-表示较小的数 · 题型五 整式的乘法（高频） · 题型六 整式乘法的应用（重点） · 题型七 整式除法运算（高频） · 题型八 平方差及几何意义（易错） · 题型九 完全平方及几何意义 · 题型十 整式的混合运算 · 题型十一 整式的化简求值 【题型1】同底数幂的乘除法运算 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）若，，则（   ） A．9 B．18 C．3 D．6 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A．4 B．12 C． D． 5．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，则 ． 7．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如果，，那么 ． 【题型2】幂的乘方与积的乘方 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）若成立，则m，n的值分别是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算的结果为（   ） A． B． C．1.5 D． 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）已知，则 ． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）比较大小： ．（填“>”“=”或“<”） 【题型3】零指数幂和负整数的指数幂 14．（2024·陕西咸阳·一模）计算：（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．0 C．1 D．2024 16．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）计算：． 17．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：． 18．（24-25八年级上·云南文山·期末）计算： 【题型4】科学计数法-表示较小的数 19．（2025·山东·二模）中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产28nm浸没式DUV光刻机，填补国内空白．已知．将0.000000028用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·全国·课后作业）纳米是一种长度单位，．已知某种花粉的直径为，用科学记数法表示该种花粉的直径是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（   ） A． B．0.000006 C． D．0.00006 【题型5】整式的乘法 22．（24-25八年级上·山东德州·期中）若的结果中不含x的一次项，则（　　） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）若与乘积中不含x的一次项，则m的值是 ． 24．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算：． 25．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）（1）计算 （2）计算 26．（24-25八年级上·吉林·期中）化简：． 27．（24-25八年级上·北京·期中）计算：． 【题型6】整式乘法的应用 28．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 29．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为150元，求修建文化广场所需要的费用． 31．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． (1)求剩余铁皮（阴影部分）的面积． (2)当时，求剩余铁皮的面积． 32．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图是一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别前去一个边长为的小正方形（即阴影部分），然后折成一个无盖的纸盒． (1)请用含a、b的式子表示折成无盖的纸盒所用硬纸片的面积； (2)当，时，求折成无盖的纸盒所用硬纸片的面积． 【题型7】整式除法运算 33．（24-25八年级上·河南周口·期中）长方形的面积为，若它的一边为，则另一边长为（   ） A．1 B． C． D． 34．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： ． 35．（24-25八年级上·山东滨州·期中）与单项式的积是的多项式是 ． 36．（24-25八年级上·陕西安康·期末）计算： 【题型8】平方差及几何意义 37．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）探究：如图1，在边长为a的大正方形中裁剪一个边长为b的小正方形，把图1中的剩下（阴影）部分剪拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：． 请应用上述公式完成下列各题： (1)已知，，求的值； (2)计算：． 39．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成平方差的形式）． (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_______．（利用长方形面积公式，写成多项式乘法形式） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式_______． (4)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 40．（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 41．（24-25七年级上·江西赣州·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【题型9】完全平方及几何意义 42．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知，，则的值为 ． 45．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知，则的值为 ． 46．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：方法1：__________，方法2：__________； (2)观察图2，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：__________： (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①若，，求的值； ②若，求的值． 47．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）为创建文明校园环境，某校制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图1所示的板材裁剪而成，其为一个长为，宽为的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图2所示的一个大正方形． (1)用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积可得到一个等式：________________________； (2)利用(1)中的结论解决以下问题： ①已知则， ； ②已知，求的值． (3)将两个正方形和按图3摆放，边长分别为．且，求图中阴影部分面积的和． 48．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（图②）． (1)观察图②，写出，，之间的等量关系：_______． (2)根据（1）中的结论，若，，则_______． (3)拓展应用：若，求的值． 49．（24-25八年级上·广东广州·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为 　　． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【题型10】整式的混合运算 50．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）计算： (1)； (2)． 51．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）计算： (1) (2) 【题型11】整式的化简求值 52．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中 53．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 54．（24-25八年级上·广东广州·期中）先化简，再求值：，其中，． 55．（24-25八年级上·山西长治·期中）先化简，再求值：，其中，． 56．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）计算： (1)； (2)． 57．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 58．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）先化简再求值：，其中，． $$专题04 整式的乘法与除法（十一大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 同底数幂的乘除法运算 · 题型二 幂的乘方与积的乘方（高频） · 题型三 零指数幂和负整数的指数幂 · 题型四 科学计数法-表示较小的数 · 题型五 整式的乘法（高频） · 题型六 整式乘法的应用（重点） · 题型七 整式除法运算（高频） · 题型八 平方差及几何意义（易错） · 题型九 完全平方及几何意义 · 题型十 整式的混合运算 · 题型十一 整式的化简求值 【题型1】同底数幂的乘除法运算 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则． 利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解： 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法，有理数的乘方，掌握运算法则是解题的关键． 先将变形为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：． 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）若，，则（   ） A．9 B．18 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A．4 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】先转化为以4为底数的幂的运算，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可得解． 本题考查了同底数幂的除法，熟记性质并转化为同底数幂的运算是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：C． 5．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法．利用同底数幂的除法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 6．（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，则 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法等知识点，灵活运用幂的乘方的逆用法则是解题的关键． 由，再根据幂的乘方的逆用、同底数幂除法化简，最后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 7．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法运算法则即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2】幂的乘方与积的乘方 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）若成立，则m，n的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算， 先根据积的乘方和幂的乘方运算计算出等式左边的数，再与右边的数相比较，进而得出关于m，n的方程即可求解． 【详解】解：∵ ∴，， 解得，． 故选：C． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】 ． 故选：B． 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算的结果为（   ） A． B． C．1.5 D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方运算的逆运算，将恒等变形为，再利用积的乘方运算的逆运算及有理数乘法运算求解即可得到答案，熟练掌握积的乘方运算的逆运算是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方．根据幂的乘方将，转化为，求得，利用同底数幂的乘法将，转化为，求得，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 12．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）已知，则 ． 【答案】200 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据同底数幂的乘法、幂的乘方底数不变指数相乘，可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：200． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）比较大小： ．（填“>”“=”或“<”） 【答案】> 【分析】由幂的乘方可得，，继而求得答案． 此题考查了幂的乘方．此题难度不大，注意掌握公式的逆用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故答案为：＞． 【题型3】零指数幂和负整数的指数幂 14．（2024·陕西咸阳·一模）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了负整数指数幂和积的乘方，先计算积的乘方，再计算负整数指数幂即可． 【详解】解：， 故选：A． 15．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查了零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算法则，准确计算．根据零指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 16．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，涉及绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，然后计算加法即可． 【详解】解：原式 ． 17．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，掌握运算法则是关键． 先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，然后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18．（24-25八年级上·云南文山·期末）计算： 【答案】2 【分析】本题考查了负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂，先根据负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂的运算法则进行计算，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：原式． 【题型4】科学计数法-表示较小的数 19．（2025·山东·二模）中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产28nm浸没式DUV光刻机，填补国内空白．已知．将0.000000028用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学计数法的表示方法即可得出答案． 【详解】解：将0.000000028用科学记数法表示为， 故选：B． 20．（23-24七年级下·全国·课后作业）纳米是一种长度单位，．已知某种花粉的直径为，用科学记数法表示该种花粉的直径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂、科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据负整数指数幂、科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：D． 21．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（   ） A． B．0.000006 C． D．0.00006 【答案】B 【分析】考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B 【题型5】整式的乘法 22．（24-25八年级上·山东德州·期中）若的结果中不含x的一次项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式．原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含的一次项即可确定出的值． 【详解】解：， 由结果中不含的一次项，得到， 即． 故选：C． 23．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）若与乘积中不含x的一次项，则m的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可计算，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵与乘积中不含x的一次项， ∴， ∴； 故答案为6． 24．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘单项式，多项式乘多项式，先运算多项式乘多项式，多项式乘单项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 25．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）（1）计算 （2）计算 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算． （1）利用多项式乘多项式的法则求解即可； （2）先利用积的乘方、整式的乘法计算，再合并同类项求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 26．（24-25八年级上·吉林·期中）化简：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，利用单项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 27．（24-25八年级上·北京·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题的关键； 先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【题型6】整式乘法的应用 28．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键．根据题意，运用多项式乘以多项式得到长方形的面积，结合卡片的面积即可求解． 【详解】解：长为，宽为的大长方形， ∴大长方形的面积为， ∵类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， ∴需要类卡片张数为， 故选：C ． 29．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法，列代数式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据图形，用代数式表示出图中阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：、图中阴影部分面积为：，故该选项符合题意， 、图中阴影部分面积为：，故选项不符合题意， 、图中阴影部分面积为：，故选项不符合题意， 、图中阴影部分面积为：，故选项不符合题意． 故选：． 30．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为150元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1) (2)5700元 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积； （2）将，代入求出面积，然后乘以单价即可． 【详解】（1）由题意得，“T”型图形的面积为： ． （2）当，时，， 修建文化广场所需要的费用为：（元）． 31．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． (1)求剩余铁皮（阴影部分）的面积． (2)当时，求剩余铁皮的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式运算的应用： （1）用长方形的面积减去正方形的面积，进行求解即可； （2）将代入（1）中的结果中，进行计算即可． 【详解】（1）解：； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为； （2）当时，； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为． 32．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图是一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别前去一个边长为的小正方形（即阴影部分），然后折成一个无盖的纸盒． (1)请用含a、b的式子表示折成无盖的纸盒所用硬纸片的面积； (2)当，时，求折成无盖的纸盒所用硬纸片的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，根据题意，正确列出算式是解题的关键． （1）这块铁皮的面积减去4个角上的小正方形的面积，就是折成无盖的纸盒所用硬纸片的面积． （2）把，代入（1）所求的代数式计算即可． 【详解】（1）解： ． 答：无盖的纸盒所用硬纸片的面积． （2）解：当，时， ； 答：折成无盖的纸盒所用硬纸片的面积为． 【题型7】整式除法运算 33．（24-25八年级上·河南周口·期中）长方形的面积为，若它的一边为，则另一边长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的除法，根据长方形面积公式列出算式，然后根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：根据题意得，另一边长为： ， 故选：B． 34．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． 利用多项式除以单项式的法则，先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相减计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 35．（24-25八年级上·山东滨州·期中）与单项式的积是的多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法，掌握除法法则是解题的关键．根据题意求即可得出答案． 【详解】依题意： ． 故答案为： 36．（24-25八年级上·陕西安康·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式，单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【题型8】平方差及几何意义 37．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断．本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 【详解】解：A、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、存在相同的项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项符合题意； C、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 38．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）探究：如图1，在边长为a的大正方形中裁剪一个边长为b的小正方形，把图1中的剩下（阴影）部分剪拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：． 请应用上述公式完成下列各题： (1)已知，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1)3 (2)5050 【分析】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键 （1）利用平方差公式得出，代入求值即可； （2）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】（1）解：由，得． ，， ． （2）解： ． 39．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成平方差的形式）． (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_______．（利用长方形面积公式，写成多项式乘法形式） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式_______． (4)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2) (3)； (4)①3；②4 【分析】本题考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，掌握平方差公式的运算是解题的关键． （）根据图形即可求解； （）根据图形即可求解； （）由（）（）的结果即可求解； （）利用平方差公式计算即可求解； 把转化为，再利用平方差公式计算即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）解：它的宽是，长是，面积是， 故答案为：； （3）解：由图、图阴影部分的面积可得，， 故答案为：； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ， ， ， ． 40．（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 【答案】(1) (2) (3) (4)①3；② 【分析】3本题考查了平法差公式的应用，涉及了有理数的乘方运算，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，故阴影部分面积等于． （2）经分析，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，得长方形面积为． （3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，故． （4）①根据平方差公式，进行计算即可求解． ②连续使用平方差公式，进而即可求解。 【详解】（1） （2）经分析，拼接后的长方形长为、宽为． ∴ （3）∵阴影部分图形拼接前后，面积不变， ∴． （4）①解：①∵，， ∴ ∴， ② 故答案为：①3；②． 41．（24-25七年级上·江西赣州·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2) (3)1275 【分析】（1）大正方形面积为，小正方形的面积为，作差即可； 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可； （2）根据第（1）小题发现的规律写出等量关系即可； （3）每两个数为一组按照根据第（2）小题写出的规律进行变形，问题即可解决． 【详解】（1）解：小明的方法：大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 小红的方法：长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为． （2）解：这三个代数式之间的数量关系为： ； （3）解： ． 【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律． 【题型9】完全平方及几何意义 42．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，分别表示两个图形中的面积即可得出答案． 【详解】解：在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形， 第1个图中面积为：， 第2个图中面积为， 因此有， 故选：A． 43．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式直接计算即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 44．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式．解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式把式子变形为．根据，，利用完全平方公式把式子变形，可以求得所求式子的值． 【详解】解：，， ， 故答案为：16． 45．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键；根据完全平方公式得出，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 46．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：方法1：__________，方法2：__________； (2)观察图2，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：__________： (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①若，，求的值； ②若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)①4；② 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式的变形是解题的关键． （1）方法1，由大正方形的边长为，直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可； （2）由（1）直接可得关系式； （3）①根据求解即可； ②设， ，可得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：方法1：，方法2：． 故答案为：，； （2）解：由（1）可知：； 故答案为：； （3）解：①∵，且， ∴， 解得：；          ②设，，， ∴，， ∴，即， 解得：， 则的值为． 47．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）为创建文明校园环境，某校制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图1所示的板材裁剪而成，其为一个长为，宽为的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图2所示的一个大正方形． (1)用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积可得到一个等式：________________________； (2)利用(1)中的结论解决以下问题： ①已知则， ； ②已知，求的值． (3)将两个正方形和按图3摆放，边长分别为．且，求图中阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2)①25②25 (3)8 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用面积公式和分割法求面积两种方法表示出面积即可得出结果； （2）①利用（1）中结论进行求解即可；②令，进而得到，利用（1）中结论求出即可； （3）根据，得到，表示出阴影部分的面积，利用完全平方公式进行求值即可． 【详解】（1）解：由图可知：； 故答案为： （2）①∵， ∴； ②令， 则：， ∵， ∴， ∴， 即：； （3）由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积之和为： ． 48．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（图②）． (1)观察图②，写出，，之间的等量关系：_______． (2)根据（1）中的结论，若，，则_______． (3)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据已知条件利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： 由图可知，图1的面积为，图2中白色部分的面积为： 因为图1的面积和图2中白色部分的面积相等， 所以 ． （2）解：根据(1)中的结论，可知 ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 49．（24-25八年级上·广东广州·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为 　　． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）的值为2.5；（3）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）设，， ， ， ， ， ， 的值为2.5； （3）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 【题型10】整式的混合运算 50．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，同底数幂的乘法以及积的乘方运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则． （1）根据同底数幂的乘法以及积的乘方运算法则计算即可； （2）先去括号，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 51．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）把单项式分别乘以多项式的每一项，再计算即可； （2）先计算多项式除以单项式，多项式乘以多项式，再合并即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【题型11】整式的化简求值 52．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，涉及平方差公式的运用，多项式除以单项式，单项式乘以多项式．先利用平方差公式，单项式乘以多项式合并同类项将括号里的式子化简，再根据多项式除以单项式化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 53．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算以及代数求值，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算括号内平方差公式和完全平方公式，然后合并，然后计算括号外多项式除以单项式，然后化简零指数幂，最后代数求解即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 54．（24-25八年级上·广东广州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】本题整式的混合运算及化简求值，先计算单项式乘多项式、多项式除以单项式，再合并同类项，最后将，代入求值即可． 【详解】解： ， 将，代入，得： 原式 ． 55．（24-25八年级上·山西长治·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算，整式化简求值，正确运用乘法公式是解题的关键． 根据平方差公式和完全平分公式展开，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 56．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的运算． （1）利用多项式除以单项式的法则计算即可； （2）利用单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） 57．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据整式的混合运算法则进行化简，再代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 58．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】，20 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．关键是根据整式的混合运算法则先化简再求值． 【详解】解： ， 当，时，原式． $$