专题02 相交线与平行线（考题猜想，十一大题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材青岛版

专题02相交线与平行线（十一大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 对顶角、邻补角有关运算 · 题型二 点到直线的距离 · 题型三 垂线段最短 · 题型四 平行线公理 · 题型五 同位角，内错角和同旁内角 · 题型六 两直线平行的条件（高频） · 题型七 利用平行线的性质求角（高频） · 题型八 平行线与折叠综合 · 题型九 平行线的生活中的实际应用（高频） · 题型十 平行线的性质与判定综合（重点） · 题型十一 平行线中常考模型（重点 【题型1】对顶角、邻补角有关运算 1．（24-25七年级下·北京大兴·期中）如图，直线，相交于点，于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线和对顶角以及邻补角的相关定义，熟练掌握相关的定义是解题的关键．本题首先利用垂线的定义以及角的和差关系求的度数，再利用对顶角相等即可求得的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，已知，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查邻补角的性质，解题的关键是利用邻补角之和为以及已知的角度比例关系来求解． 先根据与的比例关系，设，则，再结合邻补角的性质求出未知数的值，最后根据对顶角相等得出的度数． 【详解】 ，设，则， ，即， 解得， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，对顶角相等，熟知垂线的定义是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案； （2）设，则，根据垂线的定义可得，解方程求出，则． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【题型2】点到直线的距离 4．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，，，，，则点P到直线l的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离判断．根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是5， 故选：C． 5．（23-24七年级下·北京东城·期末）如图，在三角形中，，，，，则点到的距离等于 ． 【答案】3 【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，即可得出答案．本题主要考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离计算方法进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点到的距离等于3． 故答案为：3． 【题型3】垂线段最短 6．（2022·江苏盐城·三模）如图是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则． 由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断． 【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短， 故选：A． 7．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，计划把水渠中的水引到水池中，可过点作的垂线，然后沿开渠，则能使新开的渠道最短，这种设计方案的数学根据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．体现了数学的实际运用价值． 【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∴沿开渠，能使所开的渠道最短． 故答案为：垂线段最短． 8．（24-25七年级上·北京延庆·期末）如图，点P是直线l外一点，点在直线l上，于点C，在线段，，，中，最短的线段是 ，理由是 ． 【答案】 / 垂线段最短 【分析】本题考查的是垂线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短求解即可． 【详解】解：∵点P是直线l外一点，点在直线l上，于点C， ∴在线段，，，中，，即最短的线段是，理由是垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短． 【题型4】平行线公理 9．（2024七年级下·天津·专题练习）下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的定义、平行公理及推论，逐项判断即可，熟记平行线的定义、平行公理及推论是解题的关键． 【详解】解：∵（1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，是平行的定义，故正确； （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条，是平行公理，故正确； （3）如果，，则，是平行公理推论，故正确； （4）两条不平行的射线，在同一平面内也不一定相交，例如“在同一平面内，点在点的正北方向，点向正西方向作射线，点向正南方向作射线”，两射线不平行也不相交，故原说法错误． ∴正确的是（1）（2）（3）共3个， 故选：C． 10．（23-24七年级上·福建泉州·期末）在同一平面内，若，则b与c的关系为（    ） A．平行或重合 B．平行或垂直 C．垂直 D．相交 【答案】A 【分析】本题考查了平行线公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行．根据此性质即可判断． 【详解】解：若，则或b，c重合； 故选：A． 【题型5】同位角，内错角和同旁内角 11．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 【答案】A 【分析】此题主要考查邻补角、同位角、内错角、同旁内角，根据邻补角、同位角、内错角、同旁内角对选项进行判断即可求解． 【详解】解：A. 与是同旁内角，说法正确； B. 与是邻补角，原说法错误； C. 与是内错角，原说法错误； D. 与是同旁内角，原说法错误； 故选：A． 12．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，下列各对角中，属于同旁内角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角．熟练掌握同旁内角的定义是解题的关键． 根据同旁内角的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，与属于同旁内角， 故选：D． 13．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，下列说法错误的是（    ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角、同位角，内错角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； B、与是同位角，原说法正确，不符合题意； C、与不是内错角，原说法错误，符合题意； D、与是同旁内角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 14．（22-23七年级下·浙江金华·期中）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），则这个表示的是（　　） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 【答案】B 【分析】本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断． 【详解】解：如图所示，两大拇指代表被截直线，食指代表截线，则这个表示的是内错角． 故选：B． 15．（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图，下列对和的说法正确的是（　　） A．和同位角 B．和是内错角 C．和是同旁内角 D．和邻补角 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角、邻补角，根据同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义进行判断即可． 【详解】解：和是直线、被直线所截的同旁内角， 因此选项C符合题意； 故选：C． 【题型6】两直线平行的条件（高频） 16．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、不能判定，该选项不合题意； 、不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，该选项符合题意； 故选：． 17．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，故A选项符合题意； ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵， 无法证明或，故C选项不符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选：A 18．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：①∵，∴，故符合题意； ②∵，∴，不能判断，故不符合题意； ③∵，∴，故符合题意； ④∵，∴，故符合题意； ⑤∴，不能判断，故不符合题意； 综上，①③④都能判定， 故选：B． 19．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 利用平行线判定定理逐项判断即可． 【详解】A，由可推出，不符合题意； B，由可推出，不符合题意； C，由可推出，不符合题意； D，由可推出，符合题意． 故选：D． 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法中“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．根据题目中的图形位置，逐个分析选项中的同旁内角互补能否判定对应的两条直线平行，即可得出正确选项． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，无法推出或，故D选项错误． 故选：C． 【题型7】利用平行线的性质求角（高频） 21．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，已知直线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】、本题考查了平行线的性质，根据得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 22．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图所示的方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则的度数是（    ） A．60° B．50° C．45° D．40° 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行线，内错角相等即可解决问题； 【详解】解：如图， 由题意和图可知：， 又， ∴， ∵， ∴． 故选：C 23．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在边上，且，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 24．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知，，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角性质，两直线平行内错角相等，根据两直线平行内错角相等求出的度数，再由三角形外角性质求出结果即可． 【详解】解：， ，， ， 故选：B． 25．（23-24九年级上·陕西西安·期末）一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∴， 故选：C． 26．（23-24七年级下·广东茂名·期中）如图，，直线F分别交于点E、F，平分，，则的度数为 ． 【答案】/104度 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的定义． 根据可得，由平分可得，最后根据平角的定义求解． 【详解】解：∵， ， 又 ∵平分， ， ， 故答案为：． 【题型8】平行线与折叠综合 27．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．由折叠得到，进而求得，再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：由折叠得到， ∴， ∵在长方形纸条中，， ∴． 故选：A 28．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，图2，根据折叠结合平行线的性质，得到，进而求出的度数，图3中，进行求解即可． 【详解】解：在图2中， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在图3中，． 故答案为：． 29．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）将如图①的长方形纸片沿折叠得到图②，折叠后与相交于点P，如果，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕为角平分线，以及平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：的长方形纸片沿折叠得到图②， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 30．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图所示，将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点处，折痕为，若，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】先利用长方形的性质可得，从而可得，再利用平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，从而利用平行线的性质进行计算，即可解答． 本题考查了长方形的折叠，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴， 故答案为：． 31．（23-24七年级下·河南商丘·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查折叠，平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，折叠的性质，根据题意延长，根据折叠的性质，则，根据平角的性质，求出，根据平行线的性质，则，再根据平行线的性质，，即可． 【详解】解：延长， ∵纸带进行折叠，折痕， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型9】平行线的生活中的实际应用（高频） 32．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 33．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次转弯的角度可以是（   ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再左转 D．先右转，再右转 【答案】B 【分析】本题考查了平行线在实际生活中的应用，掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意画出图示即可． 【详解】解：A．如图所示，不符合题意； B．如图所示，符合题意； C．如图所示，不符合题意； D．如图所示，不符合题意； 故选：B． 34．（22-23七年级下·河北邢台·期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过B作，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解 ． 【详解】解：如图，过B作，    ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键． 35．（22-23八年级上·全国·单元测试）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（　　） A．100° B．160° C．140° D．120° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：过点作，如图， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【题型10】平行线的性质与判定综合（重点） 36．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可； （2）先求出的度数，根据对顶角相等得到的度数即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ． （2）解：，，，， ，， ， ． 37．（24-25七年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定及其应用． （1）根据补角的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出，得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 38．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，如果，，那么与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知） （平角的定义） ∴①________（同角的补角相等） ∴ ②________（同位角相等，两直线平行） ∴（③________） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（④________） 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据同角的补角相等，平行线的判定方法和性质，进行作答即可． 【详解】解：∵（已知） （平角的定义） ∴（同角的补角相等） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 39．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）已知，平分交的延长线于点，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定，角平分线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，即可证明； （2）设，先由平行线的性质得到，则由角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得到，则，求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解；∵， ∴可设， ∵， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 40．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，，，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)探究，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角度的和差，角平分线，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知，得到，于是问题得证； （2）过点作，于是有，根据两直线平行，同旁内角互补得出，，两式相加即可证明； （3）先得出，由，求出，，则可求出，利用角平分线定义求出，结合即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 理由： 如图，过点作， 由（1）知， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交的延长线于点， ∴， ∵， ∴． 41．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，已知，点D在上，交于点E，连接，若，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）根据平行线的性质得出，结合已知可得出，然后根据平行线的判定即可得证； （2）结合已知，根据平行线的性质可求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【题型11】平行线中常考模型（重点） 42．（24-25七年级上·福建漳州·期末）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴． 43．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系； （2）分别过点，，，作，，，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系； （3）分别过点，，，，，作，，，，，从而知道，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ，， ， ，， ； （2）同理（1）得：，理由如下： 分别过点，，，作，，， ，，， （3）同理（1）得：． 理由如下：分别过点，，，，，作，，，，， ， ， ，，，，，， ． 44．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． (1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． (2)类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，应为，见解析； ． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质把两个角转化到同一个顶点的位置． 过点作，根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得：； 仿照的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：猜想：， 证明：过点作， ， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 又， ，（两直线平行内错角相等）， ， （等量代换）， 故答案为：，，两直线平行，内错角相等， 等量代换； （2）中的结论不成立，， 理由如下： 如下图所示， 过点作， ， ， 又， ，， ， ； ， 如下图所示， 过点作， ， ， ，， ． 45．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． （1）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出角的关系； （3）依据（1）的证明方法，可推出角之间的关系． 【详解】（1）解：如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：，理由见解析， 如图：过点作，过点作，过点作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 46．（23-24七年级下·广西玉林·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作， ∴____， ____． 又∵， ∴． 【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明． 【解决问题】 （3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数． 【答案】（1），；（2），见解析；（3） 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算． （1）过点A作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）过点C作，根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论； （3）过点E作，然后根据两直线平行内错角相等，即可求的度数． 【详解】 解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）如图，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴． 47．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键． （1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解； （2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论； （3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图③，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02相交线与平行线（十一大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 对顶角、邻补角有关运算 · 题型二 点到直线的距离 · 题型三 垂线段最短 · 题型四 平行线公理 · 题型五 同位角，内错角和同旁内角 · 题型六 两直线平行的条件（高频） · 题型七 利用平行线的性质求角（高频） · 题型八 平行线与折叠综合 · 题型九 平行线的生活中的实际应用（高频） · 题型十 平行线的性质与判定综合（重点） · 题型十一 平行线中常考模型（重点 【题型1】对顶角、邻补角有关运算 1．（24-25七年级下·北京大兴·期中）如图，直线，相交于点，于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，已知，则的度数是 ． 3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【题型2】点到直线的距离 4．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，，，，，则点P到直线l的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 5．（23-24七年级下·北京东城·期末）如图，在三角形中，，，，，则点到的距离等于 ． 【题型3】垂线段最短 6．（2022·江苏盐城·三模）如图是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 7．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，计划把水渠中的水引到水池中，可过点作的垂线，然后沿开渠，则能使新开的渠道最短，这种设计方案的数学根据是 ． 8．（24-25七年级上·北京延庆·期末）如图，点P是直线l外一点，点在直线l上，于点C，在线段，，，中，最短的线段是 ，理由是 ． 【题型4】平行线公理 9．（2024七年级下·天津·专题练习）下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24七年级上·福建泉州·期末）在同一平面内，若，则b与c的关系为（    ） A．平行或重合 B．平行或垂直 C．垂直 D．相交 【题型5】同位角，内错角和同旁内角 11．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 12．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，下列各对角中，属于同旁内角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 13．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，下列说法错误的是（    ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 14．（22-23七年级下·浙江金华·期中）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），则这个表示的是（　　） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 15．（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图，下列对和的说法正确的是（　　） A．和同位角 B．和是内错角 C．和是同旁内角 D．和邻补角 【题型6】两直线平行的条件（高频） 16．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 【题型7】利用平行线的性质求角（高频） 21．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，已知直线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图所示的方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则的度数是（    ） A．60° B．50° C．45° D．40° 23．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在边上，且，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知，，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 25．（23-24九年级上·陕西西安·期末）一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·广东茂名·期中）如图，，直线F分别交于点E、F，平分，，则的度数为 ． 【题型8】平行线与折叠综合 27．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．若，则（   ）． A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为 ． 29．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）将如图①的长方形纸片沿折叠得到图②，折叠后与相交于点P，如果，则的度数为 ． 30．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图所示，将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点处，折痕为，若，那么的度数为 ． 31．（23-24七年级下·河南商丘·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数是 ． 【题型9】平行线的生活中的实际应用（高频） 32．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 33．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次转弯的角度可以是（   ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再左转 D．先右转，再右转 34．（22-23七年级下·河北邢台·期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（    ）    A． B． C． D． 35．（22-23八年级上·全国·单元测试）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（　　） A．100° B．160° C．140° D．120° 【题型10】平行线的性质与判定综合（重点） 36．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 37．（24-25七年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 38．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，如果，，那么与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知） （平角的定义） ∴①________（同角的补角相等） ∴ ②________（同位角相等，两直线平行） ∴（③________） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（④________） 39．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）已知，平分交的延长线于点，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的数． 40．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，，，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)探究，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，．求的度数． 41．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，已知，点D在上，交于点E，连接，若，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【题型11】平行线中常考模型（重点） 42．（24-25七年级上·福建漳州·期末）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．（直接写出答案） 43．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 44．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． (1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． (2)类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 45．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 46．（23-24七年级下·广西玉林·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作， ∴____， ____． 又∵， ∴． 【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明． 【解决问题】 （3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数． 47．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$