专题05 因式分解（考题猜想，六大题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材青岛版

专题05 因式分解（六大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 判断是否是因式分解 · 题型二 已知因式分解的结果求参数 · 题型三 提公因式 · 题型四 运用公式法因式分解 · 题型五 提公因式与公式法分解因式（高频） · 题型六 因式分解的应用 【题型1】判断是否是因式分解 ．1.（23-24八年级下·福建漳州·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东威海·期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【题型2】已知因式分解的结果求参数 6．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 7．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若可以因式分解为，那么的值为（    ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 8．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 9．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·山东烟台·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【题型3】提公因式 12．（2017·山东济宁·一模）因式分解： ． 13．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： ． 14．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）因式分解： ． 15．（24-25八年级上·河南周口·期中）分解因式： ． 【题型4】运用公式法因式分解 16．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）分解因式： ． 17．（24-25八年级上·广东汕头·期末）分解因式： ． 18．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）计算： ． 19．（18-19八年级上·湖北武汉·期末）分解因式： ． 20．（2017·江苏无锡·二模）因式分解： ． 21．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）分解因式： ． 22．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）因式分解： ． 【题型5】提公因式与公式法分解因式 23．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）分解因式： ． 24．（2024·云南昆明·模拟预测）分解因式： ． 25．（24-25八年级上·山西临汾·期末）分解因式： ． 26．（23-24九年级上·广西北海·期末）因式分解： ． 27．（22-23九年级上·广西南宁·期末）分解因式： ． 28．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解： (1) (2)． 【题型6】因式分解的应用 29．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知，，则多项式的值为（   ） A． B．15 C． D．2 30．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 31．（24-25八年级上·广东汕尾·期末）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 32．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知，则代数式的值为 33．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：） (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 34．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ． ． ． ． 问题：已知，求的值． 35．（24-25八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例1．用配方法分解因式： 解：原式 例2．已知，用配方法求的值． 解：原方程可化为，，即 ，， ，， ． 【问题解决】 (1)用配方法分解因式：； (2)若与，请判断M、N的大小关系并说明理由； (3)如图，长方形的长，宽．点P从点A开始以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B开始以的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ $$专题05 因式分解（六大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 判断是否是因式分解 · 题型二 已知因式分解的结果求参数 · 题型三 提公因式 · 题型四 运用公式法因式分解 · 题型五 提公因式与公式法分解因式（高频） · 题型六 因式分解的应用 【题型1】判断是否是因式分解 ．1.（23-24八年级下·福建漳州·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、，不是整式乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、，是因式分解，故本选项符合题意； D、不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是指将一个多项式表示为几个整式乘积的形式． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 是多项式相乘，故该选项不符合题意； B． 右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； C． 是因式分解，故该选项符合题意； D． 右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟知该定义是解题的关键．根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解即可． 【详解】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、分解错误，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·山东威海·期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，进行解答，即可． 【详解】A、，不属于因式分解，不符合题意； B、属于因式分解，符合题意； C、，不属于因式分解，不符合题意； D、，不属于因式分解，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义解答即可，熟练掌握公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 故选：B． 【题型2】已知因式分解的结果求参数 6．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，将展开，利用恒等式对应项相同，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 7．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若可以因式分解为，那么的值为（    ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，将展开，利用对应项相同，求出的值，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 8．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用十字相乘法分解可得答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是， ∴， 则， ， 故选：B 9．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是多项式的因式分解，掌握其运算法则是解决此题关键．首先根据多项式乘多项式的运算法则计算已知等式的右边，再根据系数相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ，，故A正确． 故选：A． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：D． 11．（24-25八年级上·山东烟台·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意， 因为多项式进行因式分解得到， 所以 那么，， 故，， 所以， 故答案为：． 【题型3】提公因式 12．（2017·山东济宁·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 直接找出公因式，进而提取公因式得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，原式直接提取公因式x即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·河南周口·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，利用提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型4】运用公式法因式分解 16．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·广东汕头·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解．熟练掌握平方差公式分解因式，是解题的关键． 直接运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，将被除式分解因式是解题的关键．先将除法化为，再将分解因式，通过约分即求解． 【详解】解：， 故答案为：． 19．（18-19八年级上·湖北武汉·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，直接运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 20．（2017·江苏无锡·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 21．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，掌握公式法分解因式是解题的关键．根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 22．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型5】提公因式与公式法分解因式 23．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 24．（2024·云南昆明·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 25．（24-25八年级上·山西临汾·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因数3，再利用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 26．（23-24九年级上·广西北海·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 27．（22-23九年级上·广西南宁·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 28．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【题型6】因式分解的应用 29．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知，，则多项式的值为（   ） A． B．15 C． D．2 【答案】C 【分析】由题意利用提取公因式的分解方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题，本题的关键是把所求代数式分解因式． 30．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解．根据题意得出，，然后将整式因式分解化简整体带入求解即可 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则 ． 故选：B． 31．（24-25八年级上·广东汕尾·期末）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，先把所求代数式提取公因式，再把和的值代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 32．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知，则代数式的值为 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的值与提公因式． 根据提公因式可进行求解，再将已知条件整体代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 33．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：） (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 【答案】(1) (2)49 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式： （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ∴， ∴． 34．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ． ． ． ． 问题：已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解的应用，涉及完全平方公式分解因式，读懂题意是解题的关键；模仿例题可得到，然后整理得，继而根据非负数的性质即可作答． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：． 35．（24-25八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例1．用配方法分解因式： 解：原式 例2．已知，用配方法求的值． 解：原方程可化为，，即 ，， ，， ． 【问题解决】 (1)用配方法分解因式：； (2)若与，请判断M、N的大小关系并说明理由； (3)如图，长方形的长，宽．点P从点A开始以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B开始以的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)①；②时，S的值最大，最大值是9． 【分析】本题考查了配方法的应用，因式分解，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）仿照题意进行配方得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）对M、N作差，可得，再利用平方的非负性解答即可； （3）①利用三角形的面积公式求出S关于t的代数式即可；②利用配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2），， ， ， ， ， ，， ， ； （3）①由题意，，， ， t的取值范围是：， ； ②， ，当时，它的最大值是0， 的最大值是9， 即时，S的值最大，最大值是9． $$