专题02 一次方程组（考题猜想，八大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（华东师大版2024）

专题02 一次方程组（八大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二元一次方程(组)的定义 · 题型二 二元一次方程的解 · 题型三 已知二元一次方程组的解求参数 · 题型四 解二元一次方程组（重点） · 题型五 二元一次方程组的特殊解法 · 题型六 二元一次方程组的应用（重点） · 题型七 解三元一次方程组 · 题型八 三元一次方程组的实际应用 【题型1】二元一次方程(组)的定义 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：由二元一次方程的定义可知，四个方程中只有A选项中的方程是二元一次方程， 故选：A． 2．（24-25七年级下·北京·期中）已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．1或 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此进行求解即可． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·重庆万州·期中）下列各方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的定义是：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是的整式方程．根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是二元一次方程，故该选项符合题意； B. ，分母有未知数，不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； C. ，含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； D. 含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“①只有两个未知数；②未知数的项最高次数都应是一次；③都是整式方程”．据此即可判断． 【详解】解：由二元一次方程组的概念：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的整式方程；可判断①②⑤是二元一次方程组． 故选：C． 5．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此进行判断即可． 【详解】解：符合二元一次方程组的定义，则A符合题意； 中不是整式，则B不符合题意； 中的次数不是1，则C不符合题意； 中的次数不是1，则D不符合题意； 故选：A． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程组是二元一次方程组，则（ ） A．1或 B．2或 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：根据题意得： ， 解得： ． 故选：C． 7．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）若方程是二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．根据二元一次方程的概念列出方程求解字母的值，代入代数式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ∴ 故答案为：． 【题型2】二元一次方程的解 8．（24-25七年级下·海南海口·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个二元一次方程组可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程组的解，如果使方程组中两个方程左右两边的值都相等，那么就是这个方程组的解，如果方程组中有一个方程不成立，则就不是这个方程组的解． 【详解】解：A选项： ， ， 不是方程组的解， 故A选项不符合题意； B选项： ， ， 不是方程组的解， 故B选项不符合题意； C选项： ， ，， 是方程组的解， 故C选项符合题意； D选项： ， ， 不是方程组的解， 故D选项不符合题意． 故选：C． 9．（24-25七年级下·北京·期中）若是方程的一个解，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，解一元一次方程，理解方程的解的概念是解题的关键． 将方程的解代入原方程中，解关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：将代入得： ， 解得：， 故选：D． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）已知是方程组的解，则的值是（　　） A． B．2 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，涉及已知含参数二元一次方程组的解求参数、解二元一次方程组等知识，先由是方程组的解，代入得到新的方程组求解即可得到的值，代值求解即可得到答案．熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键． 【详解】解： 是方程组的解， ，解得， ， 故选：B． 11．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知是关于，二元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、代数式求值等知识点，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键． 把代入可得，再把所求代数式化成含有的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入可得， ∴． 故答案为3． 12．（24-25七年级下·重庆石柱·期中）若是方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程解的定义即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键． 把方程的解代入得，从而得到，整体代入计算即可． 【详解】∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·北京·期中）若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，理解定义是解题的关键，注意整体思想的运用．根据方程的解的定义，把这对数值代入方程，即可得到，再整体代入即可求得． 【详解】解：把代入二元一次方程，得， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）潇潇在整理错题集时发现，一道解二元一次方程组的题目为．方程组的解为．其中与处已经看不清了，请你用所学的知识帮潇潇确定处的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程解的定义，熟记二元一次方程解的定义是解题的关键．把代入求出，把代入即可求解． 【详解】解：把代入得， 解得， 把代入得． 故答案为：． 【题型3】已知二元一次方程组的解求参数 15．（24-25七年级下·四川内江·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，由题意可得，解方程组即可求解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 【详解】解∶∵方程组的解是， ∴方程组中， 解得：． 故选：A 16．（24-25七年级下·河南新乡·期中）若关于，的二元一次方程组的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，掌握以上知识点是解题关键．把方程组的解代入原方程组求出、的值，即可求解． 【详解】解：把代入得： ， 解得：， ， 故选：C． 17．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）方程组的解为，则被遮盖的两个数“□”、“△”分别为（   ） A．2，1 B．1，3 C．5，2 D．5，1 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中的每一个方程都成立的未知数的值． 把代入中即可求出的值，然后即可计算的值，从而求出被遮盖的两个数． 【详解】解：把代入中得，， 把，代入中得，， ∴□表示的数是5，△表示的数是1， 故选：D． 18．（24-25七年级下·山东青岛·期中）亮亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和☆，请你帮他求出 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的未知数的值叫二元一次方程组的解． 根据二元一次方程组的解的定义得到满足方程，于是把代入得到，可解出y的值． 【详解】解：把代入得，解得． 故答案为：0． 19．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）关于、的二元一次方程组，和关于、的二元一次方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题及解二元一次方程组，掌握以上知识是解题的关键； 根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组将其方程组的解代入即可求解； 【详解】解：由题意可知方程组的解和关于的二元一次方程组的解相同． 解方程组得：， 将代入方程组得：， 解得：， 所以； 【题型4】解二元一次方程组 20．（24-25七年级下·贵州·期中）解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）用代入消元法解方程组即可； （2）用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把代入得， 解得， 将代入得， 原方程组的解为； （2）解： 得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 21．（24-25七年级下·北京通州·期中）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）直接利用加减消元法解方程组即可； （2）直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 22．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法步骤并正确求解是解答的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可 【详解】（1）解：方程组， 把①代入②得，则， 将代入①中，得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组， 得， 将代入①中，得，则， ∴方程组的解为． 23．（24-25七年级下·天津和平·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）方程组利用代入消元法求解即可 （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由①得：， 将③代入②得：，即， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； （2）解： ②①得： 解得： 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为 24．（24-25七年级下·北京·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：． （2）解：， 得： 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 25．（24-25七年级下·广东江门·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：． ∴二元一次方程组的解为． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴二元一次方程组的解为：． 26．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查解二元一次方程组，熟练掌握运用加减消元法是解题关键． （1）直接利用加减消元法求解即可； （2）现将方程组化简，然后利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得：，代入①中， 解得：， ∴方程组的解为：． （2）方程组整理为 得：， 解得：，代入①中， 解得：， ∴方程组的解为：． 27．（24-25七年级下·河南许昌·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得， 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为． 【题型5】二元一次方程组的特殊解法 28．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过“换元”可以解决问题．设，则原方程组可化为_______，解关于的方程组，得，所以解这个方程组，得_______． (2)运用上述方法解方程组：． (3)已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的二元一次方程组的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； （3）将所求方程组变形为，然后得出，进而可得答案． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 解方程组， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 所以； （2）解：设，则原方程组可化为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得： 解得， 所以， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 所以； （3）解：方程组可化为， 所以， 所以． 29．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次方程、二元一次方程组的求解，注意正确理解题意即可． （1）由题意得：,即可求解； （2）根据定义即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：, 解得： （2）解：， ， 则原方程组的解为 30．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求和的值； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）由题意列出方程组，再由即可求解． 【详解】（1）解：， 由得：； 由得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由得：． 31．（23-24七年级下·四川泸州·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便： 解：①②得，，所以， 将③，得， ②④，得，由③，得， 所以方程组的解是 (1)请采用上面的方法解方程组． (2)直接写出关于x、y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题例进行解题即可； （2）根据题例进行解题即可． 【详解】（1） ①②，得， ∴， 将③，得， ②④，得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为； （2）， ①②，得， ∴， 将③，得， ②④，得， 解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 【题型6】二元一次方程组的应用 32．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路沿线有一家食品公司，它到A地的距离，到B地的距离是．这家公司从A地购买当地特产大货桃运回公司，制成黄桃罐头后全部销售到B地．已知黄桃的进价为每吨2000元，黄桃罐头（含包装）的出厂价为每吨4000元；公路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元：铁路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元．若这两次运输（第一次：A地→公司；第二次：公司→B地）共支付公路运费720元，铁路运费990元． (1)求此次购买的黄桃和制成的罐头分别为多少吨？ (2)求这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【答案】(1)购买了10吨黄桃，制成了40吨罐头 (2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多138290元 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，解题的关键是根据公路运费和铁路运费的条件分别列出方程，组成方程组并求解； （1）设购买了吨黄桃，制成了吨罐头，根据题意列出方程组，联立方程组求解得到黄桃和罐头的重量； （2）分别计算销售款、原料费和运输费，进而求出销售款比原料费与运输费的和多的金额； 【详解】（1）解：设购买了吨黄桃，制成了吨罐头． 根据题意得：， 解得：． 答：购买了10吨黄桃，制成了40吨罐头； （2）解：黄桃的收购款为（元）， 罐头的销售款为（元）， 运费支出（元）， 多出（元）． 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多138290元． 33．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品．若种笔记本买20本，本笔记本买30本，则钱还缺40元；若种笔记本买30本，种笔记本买20本，则钱恰好用完． (1)求，两种笔记本的单价； (2)由于实际需要，需要增加购买单价为6元的种笔记本若干本．若购买，，三种笔记本共75本（每种笔记本都有购买），钱恰好全部用完，求种笔记本购买了多少本． 【答案】(1)种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为2元 (2)A种笔记本购买了本或本或本或本． 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键． （1）设种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买种笔记本本，种笔记本本，则购买种笔记本本，根据题意列出二元一次方程，根据整数解求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元， 依题意，得：， 解得：， 答：种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元． （2）解：设购买种笔记本本，种笔记本本，则购买种笔记本本， 依题意，得：， ∴，则， ∵，均为正整数， ∴，或，或，或，， 答：A种笔记本购买了本或本或本或本． 34．（24-25七年级下·重庆万州·期中）亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月 7 日在我国哈尔滨举行，某经销商销售带有“滨滨”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表： 种类 种类进价（元/件） 售价（元/件） 甲 50 80 乙 70 90 (1)经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共 200 个，全部销售完后总利润（利润＝售价－进价）为 4700 元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？ (2)经销商第二次购进了与第（1）问中第一次购进一样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部销售完后总利润比上次还多赚 1400 元，求甲类纪念品打了几折？ 【答案】(1)70 ；130 (2)八折 【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，明确题意，找准等量关系是解答本题的关键． （1）设甲类x个，则乙类个，根据题意列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解； （2）设甲类打y折，根据题意列出关于y的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设甲类x个，则乙类y个，由题意得： ， 解得： ∴（个）， 答：甲类纪念品购进70个，乙类纪念品购进130个． （2）设甲类打y折，由题意得： ， 解得：． 答：甲类纪念品打了八折． 35．（24-25七年级下·重庆·期中）2025年3月28日，缅甸发生级大地震，中国政府第一时间宣布启动紧急人道主义救援行动，向缅甸运送捐赠物资。在某次运送捐赠物资的过程中，已知用3辆型车和1辆型车装满货物一次可运货13吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满物资一次可分别运送多少吨? (2)若现有救灾物资20吨，计划同时租用型车辆，型车辆（，均不为0），一次运完，且恰好每辆车都载满物资，求型车，型车各有多少辆? 【答案】(1)1辆型车一次可分别运送3吨，1辆型车一次可运送4吨 (2)型车有4辆，型车有2辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设1辆型车载满货物一次可运送吨，1辆型车载满货物一次可运送吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可； （2）根据租用的两种车一次运完20吨货物且恰好每辆车都装满货物，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆型车载满货物一次可运送吨，1辆型车载满货物一次可运送吨， 依题意得，，解得：， 答：1辆型车载满货物一次可运送3吨，1辆型车载满货物一次可运送4吨． （2）解：依题意得，， ， 、均为正整数且不为0， ， 答：型车有4辆，型车有2辆． 36．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，某校欲购置规格为的甲品牌消毒液和规格为的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请求出所有的购买方案． (3)若该校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元 (2)见解析 (3)10天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用． （1）设每瓶甲品牌消毒液的价格为x元，每瓶乙品牌消毒液的价格为y元，根据“购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需要购买甲消毒液a瓶，购买乙消毒液b瓶，根据该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，可列出关于a、b的二元一次方程，再根据a、b均为正整数，即可得出购买方案； （3）设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶，设使用t天，根据“校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液”，列出对应的方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元， 根据题意得：， 解得， 答： 甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）解：设需要购买甲消毒液 a 瓶，购买乙消毒液 b 瓶， 根据题意得：， 整理得，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有三种方案： 方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； （3）解：设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶，设使用t天， 则 ， 由①得③， 把③代入②得：， 解得， 答：这批消毒液可使用10天． 37．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一出水口．利用图中信息解决下列问题： 物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度”． (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为． ①王老师的水杯容量为______； ②求此时杯中的水温（不计热损失）； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间． 【答案】(1)①400；② (2)求嘉琪同学的接水时间为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，列代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据水量等于水速乘时间列式计算，即可作答． ②结合“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．”即可列式，结合题意列式，解方程，即可作答． （2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意： ∴王老师的水杯容量为． ②接入水杯的温水吸收的热量为：； 由题意： 解得 答：王老师的水杯容量为，水温约； （2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为， 则，    解得， ， ∴嘉琪同学的接水时间为． 38．（24-25七年级下·福建泉州·期中）杆秤是我国度量衡“三大件（尺、斗、秤）”的重要组成部分，是中华民族衡重的基本工具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此． 如图1是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，设秤盘和货物的总质量为，秤砣的质量为，当秤杆平衡时，有，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图2所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是；如图3所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，回答下列问题： (1)分别求出秤盘和秤砣的质量； (2)求这把杆秤的秤星对应的刻度是多少克． 【答案】(1)秤盘质量为4克，秤砣质量为10克 (2)这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程组的应用． （1）设秤盘质量为x克，秤砣质量为y克，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设这把杆秤的秤星E对应的刻度是m克，根据题意列出关于m的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设秤盘质量为x克，秤砣质量为y克， 根据题意得： ， 解得：， 答：秤盘质量为4克，秤砣质量为10克． （2）解：设这把杆秤的秤星E对应的刻度是m克， 根据题意得： ， 解得：， 答：这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克． 39．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）综合与实践 探究操场跑道的设计与分析 素材 标准田径跑道的设计如图． 直道长度：84.39米； 跑道数量：8条； 弯道半径：最内圈为36.5米； 跑道宽度：1.22米； 注：由内圈向外圈数，最内圈跑道记为第1道，以此类推，最外圈跑道记为第8道； 任务一 计算第1道跑道的长（实际跑线在分道线外侧，所以跑道长比实际跑线略短）（取3.14） 任务二 计算第8道与第1道的长度之差．（取3.14，保留一位小数） 任务三 小明从点沿第1圈跑道逆时针跑，小方从点的正上方（垂直于）沿第4圈跑道顺时针跑，两人同时出发，21秒后在跑道的段相遇，已知小方的速度比小明的速度快1.03米/秒，分别求出小明与小方的速度．（取3，保留两位小数） 【答案】任务一：第1跑道的长为398米 任务二：第8道与第1道的长度之差为53.6米 任务三：小方的速度为8米/秒，小明的速度为6.97米/秒 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解答本题的关键． 任务一：用第1道跑道圆的周长加上两个直道的长即可求解； 任务二：根据弯道半径相差求解即可； 任务三：设小方的速度为米/秒，小明的速度为米/秒，根据21秒后在跑道的段相遇，小方的速度比小明的速度快1.03米/秒列方程组求解即可． 【详解】任务一：米 答：第1跑道的长为398米． 任务二： 答：第8道与第1道的长度之差为53.6米． 任务三：设小方的速度为米/秒，小明的速度为米/秒． 解得 答：小方的速度为8米/秒，小明的速度为6.97米/秒． 【题型7】解三元一次方程组 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法将方程组转化为一元一次方程进行解答． （1）将①代入②消去y，与③联立得到关于x，z的二元一次方程组求解，再求y的值即可； （2）由，，消去y，得到关于x，z的二元一次方程组求解，再求y的值即可． 【详解】（1）， 将①代入②，得 ， ∴， ， 解得， 把代入①，得， ∴； （2）， 由，得， ，得， 由④⑤得到 将代入①可得， ， ∴原方程组的解为． 41．（23-24七年级下·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解方程组较简单． （1）把三元一次方程组化为二元一次方程组，求解二元一次方程组即可得解； （2）把三元一次方程组化为二元一次方程组，求解二元一次方程组即可得解． 【详解】（1）解： ， 由，得④， 由，得 把代入④，得 把，代入①，得 ， ∴， ∴原方程组的解是． （2）解： 由，得 把④和组成方程组得 ∴ 把代入①，得 ∴原方程组的解是． 42．（2025七年级下·浙江·专题练习）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，先消去未知数z，得到关于x、y的方程组，再进一步解答，即可得答案． 【详解】解：， ①②得：④， ①③得：⑤， ⑤④得：， 解得：， 把代入⑤得：， 把，代入③得：， ∴方程组的解为：． 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组及三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用代入消元法及加减消元法解此方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．④ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 把代入①，得． 故原方程组的解是； （2）解： 把①代入②，得， 即．④ ，得，解得． 把代入①，得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解为． 44．（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键； （1）利用加减消元法即可解答； （2）方程①是用未知数x表示y的式子，将①代入②可得关于x、z二元一次方程组，利用加减消元法解方程组，再将x的值代入①可得y的值． 【详解】（1）解：，得④ ，得 ，得 ，得 原方程组的解为； （2）把①代入②，得．④ 由④和③组成方程组 解得 把代入①，得， 原方程组的解为 【题型8】三元一次方程组的实际应用 三、解答题 45．（21-22七年级下·江苏扬州·期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？ 【答案】(1)－1；3 (2)见解析 (3)购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元 【分析】（1）①－②可求出，可求出； （2）证明为定值即可； （3）设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据题意列方程组，利用整体思想求出即可． 【详解】（1）解： ①－②得：， 得：， 等式两边同时除以3得：， 故答案为：－1；3． （2）证明： 得：， 等式两边同时除以2得：， 得：， 等式两边同时除以2得：， 因此不论a取什么实数，的值始终不变． （3）解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元， 由题意得， 得：， 等式两边同时乘以2得：， 得：， 故， 即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元． 【点睛】本题考查利用整体思想解方程组，读懂题意，熟练掌握并灵活运用整体思想是解题的关键． 46．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 【答案】(1)两种类型食物各需13名，11名志愿者 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． （1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可． 【详解】（1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，由题意，得 ， 解得， 所以两种类型食物各需13名，11名志愿者； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，由题意，得 ， 得： ， ∴， ∵每种类型的食物至少安排11名志愿者， ∴当时，， 当时，， 当时，， 所以方案一：A类型11人，B类型17人，C类型12人；方案二：A类型12人，B类型14人，C类型14人；方案三：A类型13人，B类型11人，C类型16人． 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗洪必需物资打算运往灾区．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量/（t/辆） 6 9 10 汽车运费/（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，分别需要甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16，要求三种车型同时参与运货，请用列方程组的方法求出满足条件的所有运送方案； (3)在（2）的基础上，哪种方案的运费最省？最省的运费是多少元？ 【答案】(1)需要甲种车型8辆、乙种车型10辆 (2)共有三种方案：①甲种车型3辆，乙种车型10辆，丙种车型3辆；②甲种车型4辆，乙种车型6辆，丙种车型6辆；③甲种车型5辆，乙种车型2辆，丙种车型9辆 (3)甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最省，最省的运费是9100元 【分析】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键． （1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案． （3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【详解】（1）解：设需要甲种车型a辆，需要乙种车型b辆． 根据题意，得 解得 故需要甲种车型8辆、乙种车型10辆． （2）解：设三种车型同时参与时，需要甲种车型x辆，乙种车型y辆，丙种车型z辆． 根据题意，得 ，得，即． 均是非负整数，且三种车型共16辆，要求同时参与运货， ，且， 的取值可以为3，4，5， 解得或或 ∴共有三种方案：①甲种车型3辆，乙种车型10辆，丙种车型3辆；②甲种车型4辆，乙种车型6辆，丙种车型6辆；③甲种车型5辆，乙种车型2辆，丙种车型9辆． （3）解：三种方案的运费分别是①（元）； ②（元）； ③（元）． ， ∴第三种方案即甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最省，最省的运费是9100元． 48．（24-25八年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． $$专题02 一次方程组（八大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二元一次方程(组)的定义 · 题型二 二元一次方程的解 · 题型三 已知二元一次方程组的解求参数 · 题型四 解二元一次方程组（重点） · 题型五 二元一次方程组的特殊解法 · 题型六 二元一次方程组的应用（重点） · 题型七 解三元一次方程组 · 题型八 三元一次方程组的实际应用 【题型1】二元一次方程(组)的定义 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京·期中）已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．1或 3．（24-25七年级下·重庆万州·期中）下列各方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤ 5．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程组是二元一次方程组，则（ ） A．1或 B．2或 C． D．2 7．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）若方程是二元一次方程，则 ． 【题型2】二元一次方程的解 8．（24-25七年级下·海南海口·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个二元一次方程组可能是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·北京·期中）若是方程的一个解，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 10．（24-25七年级下·重庆·期中）已知是方程组的解，则的值是（　　） A． B．2 C．5 D． 11．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知是关于，二元一次方程的解，则代数式的值是 ． 12．（24-25七年级下·重庆石柱·期中）若是方程的一个解，则的值是 ． 13．（24-25七年级下·北京·期中）若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 14．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）潇潇在整理错题集时发现，一道解二元一次方程组的题目为．方程组的解为．其中与处已经看不清了，请你用所学的知识帮潇潇确定处的值为 ． 【题型3】已知二元一次方程组的解求参数 15．（24-25七年级下·四川内江·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 16．（24-25七年级下·河南新乡·期中）若关于，的二元一次方程组的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）方程组的解为，则被遮盖的两个数“□”、“△”分别为（   ） A．2，1 B．1，3 C．5，2 D．5，1 18．（24-25七年级下·山东青岛·期中）亮亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和☆，请你帮他求出 ． 19．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）关于、的二元一次方程组，和关于、的二元一次方程组的解相同，求的值． 【题型4】解二元一次方程组 20．（24-25七年级下·贵州·期中）解下列方程组： (1)； (2) 21．（24-25七年级下·北京通州·期中）解下列方程组 (1) (2) 22．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）解下列方程组： (1) (2) 23．（24-25七年级下·天津和平·期中）解方程组： (1) (2) 24．（24-25七年级下·北京·期中）解方程组： (1) (2) 25．（24-25七年级下·广东江门·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 26．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）解方程组： (1) (2) 27．（24-25七年级下·河南许昌·期中）解下列方程组： (1) (2) 【题型5】二元一次方程组的特殊解法 28．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过“换元”可以解决问题．设，则原方程组可化为_______，解关于的方程组，得，所以解这个方程组，得_______． (2)运用上述方法解方程组：． (3)已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的二元一次方程组的解． 29．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 30．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求和的值； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 31．（23-24七年级下·四川泸州·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便： 解：①②得，，所以， 将③，得， ②④，得，由③，得， 所以方程组的解是 (1)请采用上面的方法解方程组． (2)直接写出关于x、y的方程组的解． 【题型6】二元一次方程组的应用 32．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路沿线有一家食品公司，它到A地的距离，到B地的距离是．这家公司从A地购买当地特产大货桃运回公司，制成黄桃罐头后全部销售到B地．已知黄桃的进价为每吨2000元，黄桃罐头（含包装）的出厂价为每吨4000元；公路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元：铁路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元．若这两次运输（第一次：A地→公司；第二次：公司→B地）共支付公路运费720元，铁路运费990元． (1)求此次购买的黄桃和制成的罐头分别为多少吨？ (2)求这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 33．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品．若种笔记本买20本，本笔记本买30本，则钱还缺40元；若种笔记本买30本，种笔记本买20本，则钱恰好用完． (1)求，两种笔记本的单价； (2)由于实际需要，需要增加购买单价为6元的种笔记本若干本．若购买，，三种笔记本共75本（每种笔记本都有购买），钱恰好全部用完，求种笔记本购买了多少本． 34．（24-25七年级下·重庆万州·期中）亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月 7 日在我国哈尔滨举行，某经销商销售带有“滨滨”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表： 种类 种类进价（元/件） 售价（元/件） 甲 50 80 乙 70 90 (1)经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共 200 个，全部销售完后总利润（利润＝售价－进价）为 4700 元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？ (2)经销商第二次购进了与第（1）问中第一次购进一样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部销售完后总利润比上次还多赚 1400 元，求甲类纪念品打了几折？ 35．（24-25七年级下·重庆·期中）2025年3月28日，缅甸发生级大地震，中国政府第一时间宣布启动紧急人道主义救援行动，向缅甸运送捐赠物资。在某次运送捐赠物资的过程中，已知用3辆型车和1辆型车装满货物一次可运货13吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满物资一次可分别运送多少吨? (2)若现有救灾物资20吨，计划同时租用型车辆，型车辆（，均不为0），一次运完，且恰好每辆车都载满物资，求型车，型车各有多少辆? 36．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，某校欲购置规格为的甲品牌消毒液和规格为的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请求出所有的购买方案． (3)若该校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 37．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一出水口．利用图中信息解决下列问题： 物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度”． (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为． ①王老师的水杯容量为______； ②求此时杯中的水温（不计热损失）； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间． 38．（24-25七年级下·福建泉州·期中）杆秤是我国度量衡“三大件（尺、斗、秤）”的重要组成部分，是中华民族衡重的基本工具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此． 如图1是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，设秤盘和货物的总质量为，秤砣的质量为，当秤杆平衡时，有，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图2所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是；如图3所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，回答下列问题： (1)分别求出秤盘和秤砣的质量； (2)求这把杆秤的秤星对应的刻度是多少克． 39．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）综合与实践 探究操场跑道的设计与分析 素材 标准田径跑道的设计如图． 直道长度：84.39米； 跑道数量：8条； 弯道半径：最内圈为36.5米； 跑道宽度：1.22米； 注：由内圈向外圈数，最内圈跑道记为第1道，以此类推，最外圈跑道记为第8道； 任务一 计算第1道跑道的长（实际跑线在分道线外侧，所以跑道长比实际跑线略短）（取3.14） 任务二 计算第8道与第1道的长度之差．（取3.14，保留一位小数） 任务三 小明从点沿第1圈跑道逆时针跑，小方从点的正上方（垂直于）沿第4圈跑道顺时针跑，两人同时出发，21秒后在跑道的段相遇，已知小方的速度比小明的速度快1.03米/秒，分别求出小明与小方的速度．（取3，保留两位小数） 【题型7】解三元一次方程组 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 41．（23-24七年级下·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2)． 42．（2025七年级下·浙江·专题练习）解方程组： 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 44．（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程组： (1) (2) 【题型8】三元一次方程组的实际应用 45．（21-22七年级下·江苏扬州·期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？ 46．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗洪必需物资打算运往灾区．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量/（t/辆） 6 9 10 汽车运费/（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，分别需要甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16，要求三种车型同时参与运货，请用列方程组的方法求出满足条件的所有运送方案； (3)在（2）的基础上，哪种方案的运费最省？最省的运费是多少元？ 48．（24-25八年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ $$