专题01 一元一次方程（考题猜想，七大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（华东师大版2024）

专题01 一元一次方程（七大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 一元一次方程的定义 · 题型二 方程的解/一元一次方程的解 · 题型三 等式的性质（高频） · 题型四 解一元一次方程（重点） · 题型五 同解方程 · 题型六 求含参数的一元一次方程（重点） · 题型七 一元一次方程的应用（高频） 【题型1】一元一次方程的定义 1．（24-25七年级下·河南南阳·期中）下列四个式子中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）下列方程是一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如果方程是关于x的一元一次方程，那么m的值是（    ） A．0 B．2 C．     D．1 4．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如果关于的方程是一元一次方程，则 ． 【题型2】方程的解/一元一次方程的解 5．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列以为解的一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值： 0 1 2 1 4 7 则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·广东汕头·期末）是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·天津河西·期末）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为 ． 【题型3】等式的性质 10．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25七年级下·广东广州·期中）由可以得到用x表示y的式子为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·海南·期中）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 13．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（24-25六年级下·山东淄博·期中）下列变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 15．（24-25七年级上·吉林·期末）把方程变形为，其依据是（    ） A．有理数乘法法则 B．等式的性质1 C．等式的性质2 D．等式的性质1和等式的性质2 【题型4】解一元一次方程 16．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）解方程 (1) (2) 17．（24-25七年级下·河南南阳·期中）解下列方程： (1) (2) 18．（24-25六年级下·山东淄博·期中）解方程 (1)． (2)． 19．（24-25六年级下·山东烟台·期中）解方程： (1)； (2)． 20．（24-25七年级下·海南·期中）解下列方程． (1)； (2)． 21．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）解方程： (1) (2) 【题型5】同解方程 22．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）淇淇同学在解方程时不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是， (1)淇淇同学猜想“█”是1，请你根据猜想算一算x的值； (2)淇淇翻看了该题的答案，发现此方程的解与方程的解相同，求被污染的常数． 23．（2024七年级上·云南·专题练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 24．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 25．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 26．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 27．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知关于x的方程和方程的解相同，求： (1)m的值； (2)求方程的解． 【题型6】求含参数的一元一次方程 28．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 29．（24-25七年级下·河南新乡·期中）关于的一元一次方程．小明在去分母时，没有将方程右边的项“”乘以，因而求得解为． (1)试求的值； (2)求出原方程的解． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为，试求a的值，并正确求出方程的解． 31．（2024七年级上·浙江·专题练习）知识回顾： 若，则，所以若已知非零有理数的绝对值，则有两个值，一个正数，一个负数． 阅读材料： 解方程． 解：当为正数时，，解得； 当为负数时，，解得． 所以原方程的解是或． 解决问题： (1)解方程：； (2)若方程的解也是方程的解，求的值． 【题型7】一元一次方程的应用 32．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 33．（2025·陕西咸阳·二模）人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司开发了甲、乙两款AI模型．为了提高效率，实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．已知乙模型每小时处理的数据比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小时分别处理多少GB的数据？ 34．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）图1是2025年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则_______．若，则_______； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为87，你认为他的说法对吗？请说明理由； 35．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）（列一元一次方程解决问题）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸即以180米/分钟的速度去追赶小明． (1)若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ (2)若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ 36．（23-24七年级上·广西河池·期末）【问题情境】某班计划购买 20 个书柜和一批书架（书架不少于20个），现从甲、乙两家商店了解到，同型号的产品价格相同，书柜每个210元，书架每个70元；甲商店的优惠方案为每买1个书柜赠送1个书架，乙商店的优惠方案为所有商品打 8 折．设某班购买x个书架． 【初步分析】 （1）若某班到甲商店购买书柜和书架，则应支付 （用含x的式子表示）． （2）若某班到乙商店购买书柜和书架，则应支付 （用含x的式子表示） 【提出问题】 （3）若规定只能到其中一家商店购买所有物品，该班购买多少个书架时到甲商店和到乙商店的花费一样多？ 37．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： （注：获利=售价进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 26 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 38．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）水果批发市场批发丰水梨的价格如表： 购买丰水梨（千克） 单价 不超过千克的部分 元千克 超过千克但不超过千克的部分 元千克 超过千克的部分 元千克 (1)若陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费______元；第二次购买丰水梨千克，需要付费______元；第三次购买丰水梨千克，（超过千克），需要付费______元（化简结果用含的式子表示）． (2)若陈阿姨购买丰水梨花了元，求她买了多少千克的丰水梨？ (3)若陈阿姨分两次共购买千克的丰水梨，且第一次购买的数量为千克（），请问她这两次购买丰水梨共需要付多少元？（化简结果用含的式子表示） 39．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管可注满一池水，单独开放乙管可注满一池水，单独开放丙管可放尽一池水． (1)若同时开放甲、乙两个水管，几小时可注满水池？ (2)若甲管先开放，而后同时开放乙、丙两个水管（保持甲管始终进水），则注满水池甲管总共开放了几小时？ 40．（24-25七年级上·广东茂名·期末）【问题背景】 某学校举办田径运动会，要购买一批排球、足球和篮球共30个（每种球类都要有）作为奖励．经调查发现，足球的单价比排球的单价贵15元，若买2个足球和5个排球共需要450元．篮球则根据品牌有两种选择，价格如下表： 篮球品牌 A品牌 B品牌 单价 95元 105元 【知识运用】 (1)请计算排球和足球的单价分别是多少元？ (2)现在学校计划购买m个排球，且篮球的数量与排球数量相同． ①请分别写出选择A品牌篮球和B品牌篮球所需费用（用含m的代数式表示） ②若学校刚好用2370元去购买这三种球类，请分析说明选择哪种品牌篮球比较合适，购买方案是什么？ 41．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）某旅游景点门票价格规定如表： 项目 成人票 学生票（学生证） 团体票（15人及以上，不分成人、学生） 票价 50元/张 25元/张 30元/张 五一假期，小博等同学随家长共13人一同到该景点游玩．在购买门票时，小博的爸爸按照成人票和学生票的票价计算出一共需要475元． (1)小博他们一共去了多少个成人？ (2)小博看了团体票的价格，说他有最省钱的购票方法，请你通过计算说明最省钱的购票方法是什么？能节省多少钱？ 42．（24-25七年级上·陕西安康·期末）某初级中学为适应新中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价元，跳绳每条定价元．现有两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． 网店：买一个篮球送一条跳绳； 网店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知该学校要购买篮球个，跳绳条． (1)若在网店购买，需付款_____元，若在网店购买，需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)①当时，①通过计算说明在哪家网店购买较为合算？②此时，请你设计一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元？ (3)为何值时，在两家网店花钱一样多（列方程解答）？ 43．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水后再接 s的开水，此时温水和开水混合后共有的水； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间； (3)丙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是，求这杯水混合后的水温． $$专题01 一元一次方程（七大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 一元一次方程的定义 · 题型二 方程的解/一元一次方程的解 · 题型三 等式的性质（高频） · 题型四 解一元一次方程（重点） · 题型五 同解方程 · 题型六 求含参数的一元一次方程（重点） · 题型七 一元一次方程的应用（高频） 【题型1】一元一次方程的定义 1．（24-25七年级下·河南南阳·期中）下列四个式子中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； B、未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； C、是一元一次方程，符合题意； D、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）下列方程是一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元一次方程分析即可． 【详解】解：A、中未知数的最高次数为，不是一元一次方程； B、中含有两个未知数，不是一元一次方程； C、是一元一次方程； D、的分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程． 故选：C． 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如果方程是关于x的一元一次方程，那么m的值是（    ） A．0 B．2 C．     D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握等式两边是只含有一个未知数且未知数的次数为1的整式的方程叫一元一次方程成为解题的关键． 直接根据一元一次方程的定义列式求解即可解答． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，解得：． 故选B． 4．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如果关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元一次方程的一般形式为只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，得到且，解之即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且，即且， 解得， 故答案为：． 【题型2】方程的解/一元一次方程的解 5．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列以为解的一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，正确理解定义是解题的关键． 把代入方程，判断方程的两边是否相等即可判断． 【详解】解：、把代入，左边右边， ∴符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 故选：． 6．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值： 0 1 2 1 4 7 则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，根据表格只需要找到整式的值为时的值即可得到答案． 【详解】解：由表格可知，当时，， ∴关于的方程的解为， 故选：B． 7．（24-25七年级上·广东汕头·期末）是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 把分别代入方程，逐项判断即可． 【详解】解：A.当 时，，故该选项符合题意； B. 当 时，，故该选项不符合题意； C. 当 时，，故该选项不符合题意； D. 当 时，，故该选项不符合题意； 故选：A ． 8．（24-25七年级上·天津河西·期末）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键．将代入各项逐项判断即可． 【详解】解：当时， A．，符合题意；     B．，不符合题意； C．，不符合题意；     D．，不符合题意． 故选：A． 9．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．代入到方程，解出的值即可求解． 【详解】解：代入得，， 解得：， 的值为7． 故答案为：7． 【题型3】等式的性质 10．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，故原等式变形错误，不符合题意； B． 若，当时，则，故原等式变形错误，不符合题意； C． 若，则，故原等式变形正确，符合题意； D． 若，则，故原等式变形错误，不符合题意； 故选：C． 11．（24-25七年级下·广东广州·期中）由可以得到用x表示y的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式变形，熟练掌握等式性质是解题的关键．把看作常数，解关于的一元一次方程即可解得． 【详解】解：， 移项得，， 解得：， 故选：B． 12．（24-25七年级下·海南·期中）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、由，得，原式变形错误，不符合题意； B、由，得，原式变形错误，不符合题意； C、由，得，原式变形正确，符合题意； D、由，得，原式变形错误，不符合题意； 故选：C． 13．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式两边同时加（或减）同一个数（或式子）；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，两边都加3，则，故该选项不符合题意； B、若，两边都减2，则，故该选项不符合题意； C、若，两边都乘以，则，故该选项不符合题意； D、若，当时，两边都除以无意义，故该选项符合题意； 故选：D． 14．（24-25六年级下·山东淄博·期中）下列变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式性质1对A进行判断；根据等式性质2对B、C进行判断；根据等式性质1、2对D进行判断，从而可得答案． 【详解】解：A、由得，所以A选项错误； B、如果，那么，所以B选项错误； C、由得，所以C选项错误； D、由得，则，所以，所以D选项正确． 故选：D． 15．（24-25七年级上·吉林·期末）把方程变形为，其依据是（    ） A．有理数乘法法则 B．等式的性质1 C．等式的性质2 D．等式的性质1和等式的性质2 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式性质，熟练掌握等式的性质是关键． 等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等，据此计算即可． 【详解】解： 则 即，其依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等， 故选：B． 【题型4】解一元一次方程 16．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得到，， 移项得，， 合并同类项得到，， 系数化为1得，； （2） 去分母得到， 去括号得到，， 移项得，， 合并同类项得到，， 系数化为1得， 17．（24-25七年级下·河南南阳·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键． （1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化1 ，即可解方程； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1 ，即可解方程． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 18．（24-25六年级下·山东淄博·期中）解方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． （2）去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 19．（24-25六年级下·山东烟台·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握运算步骤是解答本题的关键． （1）根据“去括号，移项，合并同类项，系数化为1”求出未知数即可； （2）根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”求出未知数即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 方程两边都除以3，得：； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 方程两边都除以，得． 20．（24-25七年级下·海南·期中）解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：，             移项得：，             合并同类项得：，                   系数化为1得：； （2）解： 去分母得：，         去括号得：， 移项得：，         合并同类项得：，             系数化为1得：． 21．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解； 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【题型5】同解方程 22．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）淇淇同学在解方程时不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是， (1)淇淇同学猜想“█”是1，请你根据猜想算一算x的值； (2)淇淇翻看了该题的答案，发现此方程的解与方程的解相同，求被污染的常数． 【答案】(1) (2)被污染的常数为 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的解法、一元一次方程的解等知识点，掌握解一元一次方程的方法与步骤成为解题的关键． （1）代入代入方程，然后解一元一次方程即可； （2）先计算方程，设被污染的常数为a，求出方程的解代入，然后解关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：当“█”是1时，原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 设被污染的常数为a， 把代入被污染的方程中得，， ∴， ∴． ∴被污染的常数为． 23．（2024七年级上·云南·专题练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】(1)3 (2)，过程见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值； （2）根据两个方程同解可得n的值． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得：； （2）解：当时，关于的方程为：， 解得：； 因为两个方程解相同，所以将代入， 得， 解方程，得． 24．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，理解方程解的定义，能正确解一元一次方程是解题关键．先求出第一个方程的解，再把代入第二个方程得出，再求解即可得到答案． 【详解】解：解方程， ， 得：， 把代入方程， 得：， ， ， ， 解得：． 25．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解代入方程即可解答． 【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解相同， ， 解得：． 26．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，熟知同解方程的定义是解题的关键． 先求出方程的解，再根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，即可求出的值． 【详解】解： ， 由题意，把代入中， ， 答：的值为． 27．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知关于x的方程和方程的解相同，求： (1)m的值； (2)求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同解方程，本题解决的关键是能够求解关于m的方程，要正确理解方程解的含义． （1）解出两个方程的解，根据两解相等，得到关于m的方程，从而可以求出m的值； （2）将代入或，求解即可得答案． 【详解】（1）解：由，解得， 由，解得， ∵关于x的方程和方程的解相同， ∴，解得：． （2）解：当时，代入得， 故方程的解为． 【题型6】求含参数的一元一次方程 28．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，故把代入，再根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． （2）把代入，然后根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， 整理得， 去分母得， 移项， 合并同类项得， 系数化1，得； （2）解：由（1）得，则， 去分母得， 去括号得， 移项得得， 合并同类项得， 系数化1，得． 29．（24-25七年级下·河南新乡·期中）关于的一元一次方程．小明在去分母时，没有将方程右边的项“”乘以，因而求得解为． (1)试求的值； (2)求出原方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）按小明的错误解法将代入求解即可求出的值； （2）由（1）可知原方程为，根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，求解即可．． 【详解】（1）解：根据题意是方程的解， 将代入得： ； （2）由（1）知， 原方程为， ． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为，试求a的值，并正确求出方程的解． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和代数式求值，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 把代入小明粗心得出的方程，求出a的值，代入方程求出解即可． 【详解】解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为）， ， 把代入得：， 将代入原方程得：， 去分母得： 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 所以，方程的解为． 31．（2024七年级上·浙江·专题练习）知识回顾： 若，则，所以若已知非零有理数的绝对值，则有两个值，一个正数，一个负数． 阅读材料： 解方程． 解：当为正数时，，解得； 当为负数时，，解得． 所以原方程的解是或． 解决问题： (1)解方程：； (2)若方程的解也是方程的解，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的求解，把含绝对值的一元一次方程化为不含绝对值的一元一次方程是解题关键． （1）根据绝对值的意义把原方程化为两个一元一次方程即可得解； （2）先求得的值然后代入，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 或， 或； （2）解： ， 或， 或， 当时，，， 当时，，， 或． 【题型7】一元一次方程的应用 32．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)男生26人；女生29人 (2)应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底 【分析】（1）设该班有男生x人，根据“共有学生55人，男生人数比女生人数少3人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设该班有男生x人，依题意得 ， 解得， ∴该班有男生26人，女生29人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， ∴， ∴应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底． 33．（2025·陕西咸阳·二模）人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司开发了甲、乙两款AI模型．为了提高效率，实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．已知乙模型每小时处理的数据比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小时分别处理多少GB的数据？ 【答案】甲模型每小时处理60GB的数据，乙模型每小时处理45GB的数据 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设甲模型每小时处理 的数据，则乙模型每小时处理 的数据．甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．据此列方程并解方程即可． 【详解】解：设甲模型每小时处理 的数据，则乙模型每小时处理 的数据． 由题意，得， 解得， （）， 答：甲模型每小时处理60的数据，乙模型每小时处理45的数据． 34．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）图1是2025年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则_______．若，则_______； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为87，你认为他的说法对吗？请说明理由； 【答案】(1)14； (2)小明的说法对，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用，可求出的值，利用，即可用含的代数式表示出的值； （2）假设小明的说法正确，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再分别求得b，c和d可得出假设成立，即小明的说法成立． 【详解】（1）解：根据题意得：若，则， 若，则． 故答案为：14；． （2）解：小明的说法对，理由如下： 假设小明的说法正确，根据题意得：， 即， 解得：， 则， 即小明的说法对． 35．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）（列一元一次方程解决问题）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸即以180米/分钟的速度去追赶小明． (1)若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ (2)若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ 【答案】(1)4分钟 (2)分钟 【分析】本题主要考查了一元一次方程实际问题中的行程问题，熟练掌握行程问题的基本等量关系是解决本题的关键． （1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，小明分钟走的路程分钟走的路程爸爸追上小明所走路程，列出方程求解即可求解． （2）设爸爸出发y分钟追上小明，爸爸与小明相遇时爸爸的路程小明分钟的路程，列出方程求解即可求解． 【详解】（1）解：设爸爸追上小明用了x分钟，依题意得 ， 解得． 答：爸爸追上小明用了4分钟； （2）设爸爸出发y分钟追上小明，由题意得∶ ， 解得， 答： 爸爸出发分钟追上小明． 36．（23-24七年级上·广西河池·期末）【问题情境】某班计划购买 20 个书柜和一批书架（书架不少于20个），现从甲、乙两家商店了解到，同型号的产品价格相同，书柜每个210元，书架每个70元；甲商店的优惠方案为每买1个书柜赠送1个书架，乙商店的优惠方案为所有商品打 8 折．设某班购买x个书架． 【初步分析】 （1）若某班到甲商店购买书柜和书架，则应支付 （用含x的式子表示）． （2）若某班到乙商店购买书柜和书架，则应支付 （用含x的式子表示） 【提出问题】 （3）若规定只能到其中一家商店购买所有物品，该班购买多少个书架时到甲商店和到乙商店的花费一样多？ 【答案】（1）；（2）；（3）该班购买40个书架时到甲商店和到乙商店的花费一样多 【分析】（1）根据“甲商店的优惠方案为每买1个书柜赠送1个书架”即可解答； （2）根据“乙商店的优惠方案为所有商品打 8 折”即可解答； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）若某班到甲商店购买书柜和书架，则应支付元， 故答案为：； （2）若某班到乙商店购买书柜和书架，则应支付元， 故答案为：； （3）由题意得， 解得 答：该班购买40个书架时到甲商店和到乙商店的花费一样多． 37．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： （注：获利=售价进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 26 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 【答案】(1)该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件 (2)共可获得利润1900元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据单价×数量=总价，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总利润=单件利润×销售数量，列式计算即可求出结论． 【详解】（1）解：设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件． （2）解：（元）． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1900元． 38．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）水果批发市场批发丰水梨的价格如表： 购买丰水梨（千克） 单价 不超过千克的部分 元千克 超过千克但不超过千克的部分 元千克 超过千克的部分 元千克 (1)若陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费______元；第二次购买丰水梨千克，需要付费______元；第三次购买丰水梨千克，（超过千克），需要付费______元（化简结果用含的式子表示）． (2)若陈阿姨购买丰水梨花了元，求她买了多少千克的丰水梨？ (3)若陈阿姨分两次共购买千克的丰水梨，且第一次购买的数量为千克（），请问她这两次购买丰水梨共需要付多少元？（化简结果用含的式子表示） 【答案】(1)，，； (2)陈阿姨买了千克的丰水梨； (3)当时，需要付费元；当时，需要付费元． 【分析】本题考查了列代数式，有理数加法和乘法的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出算式和代数式，再根据有理数运算，整式加减运算求解即可； （）由陈阿姨购买丰水梨花了元，可得陈阿姨购买丰水梨超过千克，再根据（）代数式列出方程，然后解方程即可； （）分当时和当时两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费（元）； 第二次购买丰水梨千克，需要付费（元）； 第三次购买丰水梨千克，（超过千克），需要付费 （元） 故答案为：，，； （2）解：因为陈阿姨购买丰水梨花了元， ∴陈阿姨购买丰水梨超过千克， ∴， 解得：， 答：陈阿姨买了千克的丰水梨； （3）解：当时，需要付费元； 当时，需要付费元． 39．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管可注满一池水，单独开放乙管可注满一池水，单独开放丙管可放尽一池水． (1)若同时开放甲、乙两个水管，几小时可注满水池？ (2)若甲管先开放，而后同时开放乙、丙两个水管（保持甲管始终进水），则注满水池甲管总共开放了几小时？ 【答案】(1)同时开放甲、乙两个水管，2小时可注满水池 (2)注满水池甲管总共开放了小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， （1）设三个水管同时开放小时可注满水池，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设注满水池甲管总共开放了小时，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设三个水管同时开放小时可注满水池， 根据题意得， 解得， 所以同时开放甲、乙两个水管，2小时可注满水池； （2）解：设注满水池甲管总共开放了小时， 依题意得， 解得， 所以注满水池甲管总共开放了小时． 40．（24-25七年级上·广东茂名·期末）【问题背景】 某学校举办田径运动会，要购买一批排球、足球和篮球共30个（每种球类都要有）作为奖励．经调查发现，足球的单价比排球的单价贵15元，若买2个足球和5个排球共需要450元．篮球则根据品牌有两种选择，价格如下表： 篮球品牌 A品牌 B品牌 单价 95元 105元 【知识运用】 (1)请计算排球和足球的单价分别是多少元？ (2)现在学校计划购买m个排球，且篮球的数量与排球数量相同． ①请分别写出选择A品牌篮球和B品牌篮球所需费用（用含m的代数式表示） ②若学校刚好用2370元去购买这三种球类，请分析说明选择哪种品牌篮球比较合适，购买方案是什么？ 【答案】(1)排球每个60元，足球每个75元 (2)①选择A品牌篮球需要元，选择B品牌篮球需要元；②选择B品牌篮球比较合适，购买方案是：购买8个排球，14个足球，8个B品牌篮球 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设排球每个x元，则足球每个元，根据买2个足球和5个排球共需要450元列出方程，解方程即可； （2）①根据购买m个排球，且篮球的数量与排球数量相同，列出关系式即可； ②分别求出购买A品牌篮球和B品牌时，m的值，然后再进行判断，得出答案即可． 【详解】（1）解：设排球每个x元，则足球每个元，根据题意得： ， 解得：， （元）， 答：排球每个60元，则足球每个75元； （2）解：①∵学校计划购买m个排球，且篮球的数量与排球数量相同， ∴购买篮球的数量为m个，购买足球的数量为个， 选择A品牌篮球所需要的费用为元；选择B品牌篮球所需要的费用为元； ②选择A品牌篮球时：， 解得：， ∵，不符合题意； 选择B品牌篮球时：， 解得：， ∴（个）， 答：选择B品牌篮球比较合适，购买方案是：购买8个排球，14个足球，8个B品牌篮球． 41．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）某旅游景点门票价格规定如表： 项目 成人票 学生票（学生证） 团体票（15人及以上，不分成人、学生） 票价 50元/张 25元/张 30元/张 五一假期，小博等同学随家长共13人一同到该景点游玩．在购买门票时，小博的爸爸按照成人票和学生票的票价计算出一共需要475元． (1)小博他们一共去了多少个成人？ (2)小博看了团体票的价格，说他有最省钱的购票方法，请你通过计算说明最省钱的购票方法是什么？能节省多少钱？ 【答案】(1)6个 (2)小明他们可以购买15张团体票，此时最省钱，能节省25元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设他们一共去了x个成人，则去了个学生，根据总费用为475元列出方程求解即可； （2）求出购买15张团体票的费用，与475比较即可得到答案． 【详解】（1）解；设他们一共去了x个成人，则去了个学生， 由题意得，， 解得， 答：他们一共去了6个成人． （2）解：购买15张团体票的费用为元， ∵， ∴小明他们可以购买15张团体票，此时最省钱，能节省25元． 42．（24-25七年级上·陕西安康·期末）某初级中学为适应新中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价元，跳绳每条定价元．现有两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． 网店：买一个篮球送一条跳绳； 网店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知该学校要购买篮球个，跳绳条． (1)若在网店购买，需付款_____元，若在网店购买，需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)①当时，①通过计算说明在哪家网店购买较为合算？②此时，请你设计一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元？ (3)为何值时，在两家网店花钱一样多（列方程解答）？ 【答案】(1)， (2)①在网点购买交合算，理由见详解；②在网点购买个篮球，再在网点购买条跳绳，所需费用为元 (3)当跳绳购买数为条时，两家网点花钱一样多 【分析】本题主要考查代数式的运用，一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）根据题意列式即可； （2）①把代入（1）中的式子计算即可；②根据两个店的情况，在网点购买个篮球，再在网点购买条跳绳，代入计算，进行比较即可求解； （3）根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：学校要购买篮球个，跳绳条， 网店：买一个篮球送一条跳绳，所付费用为：（元）； 网店：篮球和跳绳都按定价的付款，所付费用为：（元）； 故答案为：，； （2）解：当时， ①网店的费用为：（元），网店的费用为：（元）， ∵， ∴在网点购买交合算； ②购买个篮球，条跳绳， 在网点购买个篮球，送了条跳绳，费用为：（元）， 再在网点购买条跳绳，费用为：（元）， 合计：（元）， ∵， ∴在网点购买个篮球，再在网点购买条跳绳，这种方按最省钱，所付费用为元； （3）解：， 解得，， ∴当跳绳购买数为条时，两家网点花钱一样多． 43．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水后再接 s的开水，此时温水和开水混合后共有的水； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间； (3)丙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是，求这杯水混合后的水温． 【答案】(1)8 (2)乙同学接了温水，开水 (3)这杯水混合后的水温为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）利用接开水的时间温水的流速×接温水的时间开水的流速，即可求出接开水的时间； （2）设乙同学接了温水，则接了开水，根据这杯水混合后的水温为，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即接温水的时间），再将其代入中，即可求出接开水的时间； （3）设丙同学接了温水，则接了开水，根据共接了的水，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，将其代入及中，即可求出接温水及开水的体积，设这杯水混合后的水温为，根据开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴再接的开水． 故答案为：8； （2）解：设乙同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：乙同学接了温水，开水； （3）解：设丙同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴丙同学接了温水，开水． 设这杯水混合后的水温为， 根据题意得：， 解得：． 答：这杯水混合后的水温为． $$