专题04 三角形（考题猜想，十大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（华东师大版2024）

专题04 三角形（十大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 三角形的三边关系（高频） · 题型二 三角形中线与面积问题 · 题型三 三角形中角平分线、高的综合运算 · 题型四 三角形角内外角平分线的综合（重点） · 题型五 多边形的对角线（重点） · 题型六 截角问题（易错） · 题型七 （正）多边形内角运算（高频） · 题型八 多边形外角运算 · 题型九 多边形内角和外角综合运算（高频） · 题型十 多边形内角和和外角和综合实际应用 【题型1】三角形的三边关系 1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）把一根的铁丝按下面选项中的长度剪开，剪成的三段拉直后首尾顺次相接可以围成三角形的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）现有长度分别为和的两根小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形（三根小木棒首尾顺次相接）的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小聪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则A，B间的距离不可能是（   ） A．50米 B．40米 C．30米 D．20米 4．（24-25七年级下·全国·期末）已知a，b，c分别为的三边长，且满足，． (1)求c的取值范围． (2)若的周长为21，求a，b，c的值． 5．（24-25八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 【题型2】三角形中线与面积问题 6．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，点D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，的面积为a，分别延长，使，，，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 10．（24-25八年级上·广西玉林·期末）如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是 ． 【题型3】三角形中角平分线、高的综合运算 11．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为：（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·山西忻州·期末）如图，在中，平分，则的度数为 度． 14．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    15．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，是的高，是的平分线，是的平分线，相交于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 16．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为40，，求的长． 【题型4】三角形角内外角平分线的综合 17．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，中分别平分、，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，将三角形纸片沿折叠使点落在点处．且平分，平分．若，则（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，点，分别在，上，平分，平分，若，则的度数为 ． 22．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，点在的延长线上，与的平分线交于点，则的度数是 ． 23．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 24．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【题型5】多边形的对角线 25．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）从多边形的一个顶点出发可引出条对角线，则它是（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 26．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可引12条对角线，则它是（   ） A．十二边形 B．十三边形 C．十四边形 D．十五边形 27．（24-25八年级上·山东临沂·期末）六边形的对角线总条数是（   ） A．12条 B．9条 C．6条 D．3条 28．（24-25七年级上·福建三明·期末）若过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 29．（24-25七年级上·陕西西安·期末）在研究多边形的几何特征时，我们常常把它分割成三角形进行研究．从七边形的一个顶点出发画对角线，这些对角线最多可以将七边形分割为多少个三角形（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型6】截角问题 30．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 31．（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 32．（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 33．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是（　　） A．9 B．10 C．8或9或10 D．9或10或11 【题型7】（正）多边形内角运算 34．（24-25八年级上·青海海北·期末）八边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在五边形中，，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 36．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）一个n边形的每个内角均为，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 37．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在五边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·云南昭通·期末）一个多边形的内角和比四边形的内角和多，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 39．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（   ） A．十边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形 【题型8】多边形外角运算 40．（22-23八年级上·广西河池·期末）若一个正多边形的每一个外角都等于，则它是（    ） A．正八边形 B．正九边形 C．正十边形 D．正十一边形 41．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，平铺某款圣诞帽后，其下方是正六边形，帽子顶部G为延长线的交点，则（   ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型9】多边形内角和外角综合运算 43．（23-24八年级上·西藏昌都·期末）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．4 D．7 44．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 45．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【题型10】多边形内角和和外角和综合实际应用 46．（24-25八年级上·山西朔州·期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（   ） A． B． C． D． $$专题04 三角形（十大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 三角形的三边关系（高频） · 题型二 三角形中线与面积问题 · 题型三 三角形中角平分线、高的综合运算 · 题型四 三角形角内外角平分线的综合（重点） · 题型五 多边形的对角线（重点） · 题型六 截角问题（易错） · 题型七 （正）多边形内角运算（高频） · 题型八 多边形外角运算 · 题型九 多边形内角和外角综合运算（高频） · 题型十 多边形内角和和外角和综合实际应用 【题型1】三角形的三边关系 1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）把一根的铁丝按下面选项中的长度剪开，剪成的三段拉直后首尾顺次相接可以围成三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了能够构成三角形的条件，掌握组成三角形的条件是解题的关键． 根据在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，即可求得结果． 【详解】解：A、，故不能组成三角形，不符合题意； B、，故不能组成三角形，不符合题意； C、，故不能组成三角形，不符合题意； D、，故能组成三角形，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）现有长度分别为和的两根小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形（三根小木棒首尾顺次相接）的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 设第三根木棒的长为，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为，则，即．观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小聪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则A，B间的距离不可能是（   ） A．50米 B．40米 C．30米 D．20米 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，计算出的取值范围即可解答． 【详解】解：连接， 根据三角形的三边关系可得，即， ∴A，B间的距离不可能是50米． 故选：A． 4．（24-25七年级下·全国·期末）已知a，b，c分别为的三边长，且满足，． (1)求c的取值范围． (2)若的周长为21，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)10，2，9 【分析】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． （1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出，任意两边之差小于第三边得出，列不等式组求解即可； （2）由的周长为21，，，解方程组得出答案即可． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可知，． ，， ，， ， 解得． （2）解：根据题意，得， 解得， ， 解得， ，． 5．（24-25八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 【答案】(1) (2)6或8 【分析】（1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解； （2）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，再根据c为偶数解答即可． 此题考查了三角形的三边关系，注意第三边的条件． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得； （2）根据三角形三边关系可得， 因为第三边c的长为偶数， 所以c取6或8； 故答案为：6或8； 【题型2】三角形中线与面积问题 6．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，点D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两份成为解题的关键． 根据点E分别是的中点可得，同理可得即可解答． 【详解】解：∵点E分别是的中点， ∴， ∵点D分别是的中点， ∴． 故选C． 7．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵点，分别为，边上的中点， ∴，， ∵的面积为12， ∴， 故选：A． 8．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，的面积为a，分别延长，使，，，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系在实际问题中的灵活应用，有一定难度．连接和，求出的面积为a，的面积为，的面积为a，的面积为a，的面积为，的面积为a，进而可得出答案． 【详解】解：连接和， ∵，的面积为a， ∴的面积为a， ∴的面积为， ∵， ∴的面积为a，的面积为a， ∵， ∴的面积为，的面积为a， ∴的面积为， 故选：A 9．（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．易得、的面积均为面积的一半，同理可得，进而得到，由为中点，可得阴影部分的面积等于的面积的一半． 【详解】解： 为中点， ， 为中点， ， ， 为中点， ，即阴影部分的面积为， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·广西玉林·期末）如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积．根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得，． 【详解】解：∵是的中线，的面积是， ∴， ∵是的中线， ∴为的中线， 即， 故答案为：4． 【题型3】三角形中角平分线、高的综合运算 11．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高的定义，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．设，结合已知和高线的定义可得的度数，进而得到的度数，再根据三角形的内角和定理列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设， 是的高， ， ， 是的角平分线， ， ， 解得，即的度数为， 故选：A． 12．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先求出的度数，再根据角平分线求出的度数，根据高线，求出的度数，由此得出的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 13．（24-25八年级上·山西忻州·期末）如图，在中，平分，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义；由题意及三角形内角和求得的度数；由角平分线的定义可求得的度数，再由三角形内角和即可求得结果的度数． 【详解】解：∵， ∴； ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    【答案】 【分析】根据三角形内角和和角平分线求出，根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 本题考查了三角形的角平分线，主要利用了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∵是高， ∴ ∴ ∴． 15．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，是的高，是的平分线，是的平分线，相交于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线和高的定义，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）由三角形高的定义可得，即可得，由角平分线的定义得到，再根据角的和差关系即可求解； （）利用三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 16．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为40，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余可求出的度数； （2）先根据中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【详解】（1）解： ，，， ， 平分， ， 为高， ， ． （2）解：为中线， ， ， . 【题型4】三角形角内外角平分线的综合 17．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练学握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键。 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定；由的结果无法推出． 【详解】∵的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∵， ∴， 故B正确，不符合题意； 取的延长线与点M，的延长线与点N，如图： 平分，平分， ， 故C正确，不符合题意； 由选项C知， ，无法得到， 故D项错误，符合题意． 故选：D． 18．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，……，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得， …… ∴， ∴， 故选：B． 19．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，中分别平分、，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【点睛】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理； 根据角平分线的定义得，，然后根据，利用三角形内角和可得，从而得到，再根据三角形内角和得到． 【详解】解：在中，． ． 平分，平分． ，． ． 在中，． 故选：C． 20．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，将三角形纸片沿折叠使点落在点处．且平分，平分．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质．由题意得．如图，连接．根据三角形外角的性质，得，，则．由三角形内角和定理得．由平分，平分，得，，由，得，进而求得，即可求解． 【详解】如图，连接． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． 由折叠可得：． ∵，， ∴． 故选：D． 21．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，点，分别在，上，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和、角平分线定义，熟记三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据邻补角定义及角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， 平分，平分， ， ； 故答案为： 22．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，点在的延长线上，与的平分线交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和，能灵活推导出与的关系是解决此题的关键．先求出，再推出，进而即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∵， ， ∴ ， 故答案为： ． 23．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)详见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． （1）先根据三角形的内角和得，分别根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠G的度数； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得和的关系； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论． 【详解】（1）解：如图1，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，，理由是： 由（1）知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∴ ， 同理得， ∴，即 ， ∴； （3）如图3，∵， ∴， 由（2）得：， 中，，， ∴， ∴ ． 24．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)①(答案不唯一)；②；③ 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可； ②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和； 以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和； 故答案为：； ②∵在和中，， 在和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； ③、、之间的关系为． 理由如下： 如下图，    ∵和分别平分和， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴、、之间的关系为． 【题型5】多边形的对角线 25．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）从多边形的一个顶点出发可引出条对角线，则它是（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的对角线条数问题，解题的关键是熟记如果一个多边形有条边，则经过此多边形的一个顶点所有的对角线有条，经过此多边形的一个顶点的所有对角线把它分成个三角形． 设多边形有条边，然后根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式，求出边数即可． 【详解】解：设多边形有条边，则， 解得， 故多边形的边数为，即它是八边形， 故选：． 26．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可引12条对角线，则它是（   ） A．十二边形 B．十三边形 C．十四边形 D．十五边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，由此可得到答案． 【详解】解：设这个多边形是n边形． 依题意，得， ∴． 故这个多边形是15边形． 故选D． 27．（24-25八年级上·山东临沂·期末）六边形的对角线总条数是（   ） A．12条 B．9条 C．6条 D．3条 【答案】B 【分析】n边形对角线的总条数为：（，且n为整数），由此可得出答案． 【详解】解：六边形的对角线的条数为． 故选：B． 28．（24-25七年级上·福建三明·期末）若过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，解题的关键在于能够熟练掌握n边形一个顶点出发可引出条对角线，可分成个三角形，据此求解即可． 【详解】∵过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形， ∴这个多边形的边数是． 故选：C． 29．（24-25七年级上·陕西西安·期末）在研究多边形的几何特征时，我们常常把它分割成三角形进行研究．从七边形的一个顶点出发画对角线，这些对角线最多可以将七边形分割为多少个三角形（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查多边形的几何性质，n边形从一个顶点出发可引出条对角线，把n边形分成个三角形，由此解答即可． 【详解】解：从七边形的一个顶点出发可引出条对角线，把七边形分成个三角形， 故选：B． 【题型6】截角问题 30．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 31．（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 32．（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 【答案】D 【分析】根据多边形的内角和公式求出n，再根据截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1来解答． 【详解】解：设新多边形边数为n， ∵新多边形内角和为， ∴， 解得， 若多边形截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1，如下图所示：    ∴原多边形边数为4或5或6， 故选：D． 【点睛】本题主要考查多边形内角和和边数的关系，掌握内角和公式是解题的关键. 33．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是（　　） A．9 B．10 C．8或9或10 D．9或10或11 【答案】D 【分析】首先求得内角和为1440°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为1440°的多边形的边数是n，则（n-2）•180=1440， 解得：n=10． ∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， ∴原多边形的边数是9或10或11． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，求出原来多边形的边数是关键． 【题型7】（正）多边形内角运算 34．（24-25八年级上·青海海北·期末）八边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角，任何多边形的外角和是360度，与多边形的边数无关． 【详解】解：八边形的外角和为， 故选A． 35．（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在五边形中，，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，多边形内角和定理，关键是利用平行线的性质得到． 根据平行线的性质可得，再根据多边形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵五边形中，，， ∴． 故选：B． 36．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）一个n边形的每个内角均为，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和．熟练掌握多边形的内角和为，是解题的关键．根据多边形的内角和公式：，列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：A． 37．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在五边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形内角和定理，求一个角的补角，理解相关知识是解答关键． 根据平行线的性质得到，再求出五边形的内角和度数，再利用求、、之和的补角，结合五边形的内角度数求解． 【详解】解：， ． 五边形的内角和为， ． 故选：A． 38．（24-25八年级上·云南昭通·期末）一个多边形的内角和比四边形的内角和多，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形为边形，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形为边形，由题意，得：， 解得：； 故这个多边形为七边形； 故选C． 39．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（   ） A．十边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形内角和问题，设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为列出方程求解即可． 【详解】解；设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得：， ∴该多边形的边数为8，即该多边形为八边形， 故选：B． 【题型8】多边形外角运算 40．（22-23八年级上·广西河池·期末）若一个正多边形的每一个外角都等于，则它是（    ） A．正八边形 B．正九边形 C．正十边形 D．正十一边形 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和，正多边形的性质，根据正多边形外角和来求解是解本题的关键．根据边数多边形的外角和一个外角的度数即可． 【详解】解：， 故选：C． 41．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，平铺某款圣诞帽后，其下方是正六边形，帽子顶部G为延长线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．根据正六边形可得和的度数，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵正六边形 ∴， ∴． 故选：A． 42．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数． 【详解】正多边形的一个外角等于， 且外角和为， 则这个正多边形的边数是：． 故选：C 【题型9】多边形内角和外角综合运算 43．（23-24八年级上·西藏昌都·期末）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角和、一元一次方程的应用等知识点，掌握任何多边形的外角和为以及多边形的内角和公式成为解题的关键． 设这个多边形的边数是n，再根据任何多边形的外角和是以及内角和等于外角和的2倍列关于n的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 根据题意，得： ，解得：． 故选：B． 44．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的每一个内角与其相邻的外角互补、及外角和的特征． （1）先根据多边形的内角和外角的关系，列方程求解即可得出一个内角和一个外角； （2）根据外角和是固定的，求出多边形的边数，从而可代入公式求解． 【详解】（1）解：设这个n边形一个内角的度数为，则它的相邻外角的度数为， 根据题意，得 解得：， ，， 故这个n边形一个内角的度数为； （2）根据（1）得这个n边形一个外角的度数为， ， 这个n边形的内角和为． 45．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的边数为7． (2)截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式与外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的内角和公式，外角和定理列出方程，求解即可； （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1，三种情况，依据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】（1）设这个多边形的边数为， 则内角和为，外角和为， 由题意，得 解得． 这个多边形的边数为7． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1． 截完后所形成的新多边形的边数可能是6或7或8． ①当多边形为六边形时．其内角和为； ②当多边形为七边形时，其内角和为； ③当多边形为八边形时，其内角和为． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【题型10】多边形内角和和外角和综合实际应用 46．（24-25八年级上·山西朔州·期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角定理，根据多边形的外角和为即可求解，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 【详解】解：六边形的外角和为， 故选：． 47．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．根据多边形的外角和等于度，即可求解． 【详解】解：由多边形的外角和等于度，可得． 故选：B． $$