专题03 平行四边形（考题猜想，七大题型）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题03 平行四边形（七大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 利用平行四边形的性质求解（高频） · 题型二 平行四边形中最小值问题 · 题型三 判断能否构成平行四边形 · 题型四 添一个条件成为平行四边形（高频） · 题型五 求与己知三点组成平行四边形的点的个数 · 题型六 平行四边形的判定与性质综合（重点） · 题型七 平行四边形中动点综合题（重点） 【题型1】利用平行四边形的性质求解（高频） 1．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图所示，在平行四边形中，对角线，相交于点，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行四边形的对角线互相平分得，，再在中利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，主要运用了平行四边形的两个性质：①边：平行四边形的对边平行．②角：平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质得，，则，再由角平分线定义得，即可得出结论． 【详解】解：在中，， ． 平分交于点， ． 又四边形是平行四边形， ． 故选：C． 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长交于点．则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的画法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，由作图可知是的平分线，得，由平行四边形的性质得，，即得，得到，即可得，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题可得，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：. 4．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知平行四边形的顶点，，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；③作射线，交边于点G，则点G的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、勾股定理、平行四边形的性质、等角对等边等知识点，掌握角平分线的作法是解题的关键． 如图：依据勾股定理即可得到中，，依据，即可得到，进而得出即可确定点G的坐标． 【详解】解：如图：    ∵平行四边形的顶点，， ∴ ∴， ∴中，， 由作图可知：平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质并利用数形结合的思想是解题关键．根据平行四边形的性质结合所给三个顶点的坐标可得出，，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，， ∴，轴， ∴，， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 6．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 7．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 通过计算、的长度，利用三角形面积公式求得，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ， 即， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·期末）如图， 的对角线相交于点O， 且， 过点O作， 交于点M．如果的周长为18， 那么的周长是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与线段垂直平分线的性质． 由四边形是平行四边形，可得，又由，可得，然后由的周长为18，求得平行四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∴平行四边形的周长是：． 故答案为：36． 【题型2】平行四边形中最小值问题 9．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，交于点，过点作于点，连接，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点与点，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 【详解】解：设，交于点，过点作于点，连接，如图所示， 在平行四边形中，，， ， 是等腰三角形， ， ， ， 在中，， ， ， 当点与点重合时，最小， 的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三线合一、勾股定理解直角三角形、垂线段最短，解题关键是利用等面积法求解． 10．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形，，，点为上一动点，则的最小值为 【答案】10 【分析】本题考查了轴对称最短问题和平行四边形的性质，学会利用轴对称的性质解决最短问题是解题的关键； 作点A关于的对称点，连接交于点P，即为最小值，根据直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半及勾股定理求出，根据轴对称得出，然后根据平行四边形的性质得出，，再次利用勾股定理即可求出结果． 【详解】如图：作点A关于的对称点，连接交于点P，即为最小值， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 点A和点关于轴对称， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 故答案为：10． 11．（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形中位线的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 根据平行四边形的性质可得；如图：过作，连接， 依据直角三角形的性质和勾股定理可得，再根据垂线段最短可得的最小值为；再说明是的中位线，进而得到的最小值为即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴, 如图：过作，连接， ∴， ∴， ∴, ∴的最小值为， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 12．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键． 13．（2024·广西钦州·一模）如图，在四边形中，， ，，，点在上，且为边上的两个动点，且，则四边形的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先确定和的长为确定的值，得到四边形的周长最小时，即为最小时，过点F作得平行四边形，知作点E关于对称点Q，连接则连接当三点共线时，的值最小，为得到最小为在中由勾股定理可得从而可求出结论． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴四边形的周长为， 要使四边形的周长最小，只要最小即可， 过点F作交于点P，则四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ 延长到点，使连接则 ∴ ∴ 当三点共线时，的值最小，为 ∴的最小值为 在中， ∴四边形的周长为 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及三角形三边关系，勾股定理，能将周长和的最小值表示成一条线段的长与固定长度的和是解题的关键． 【题型3】判断能否构成平行四边形 14．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； B．由，，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C．由，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； D．由，，能判定四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 15．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，已知，对角线，相交于点，若增加下列条件，则可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边的判定定理是解题的关键．根据平行四边的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A. 由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B. 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D. 由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 16．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ，，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 由，结合，可得，则，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 由，则四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 17．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，四边形中，对角线与相交于点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据各选项对比平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、符合两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定，故不符合题意； B、符合两组对边分别平行的四边形是平行四边形的判定，故不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故符合题意； D、符合对角线相互平分的四边形是平行四边形的判定，故不符合题意； 故选：C． 18．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，平行四边形中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案的个数是（    ） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．证即可求证. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且 ∴ 若，则 ∴ ∴ 即： ∴ ∴四边形为平行四边形，故甲的方案正确； 当或，不能推出四边形为平行四边形，故乙、丙的方案错误； 故选：A 【题型4】添一个条件成为平行四边形（高频） 19．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； B、根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项符合题意； C、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 20．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，已知，增加下列条件仍不可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意；     B．∵，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； C．∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意；     D．由，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 21．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，应添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．根据，无法判断四边形是平行四边形，故A错误； B．根据，无法判断四边形是平行四边形，故B错误； C．∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故C正确． D．∵， ∴， ∴无法判断四边形是平行四边形，故D错误； 故选：C． 22．（23-24八年级下·天津河东·期末）如图，四边形的对角线相交于点，且，若要证明四边形为平行四边形，不能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、由，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 23．（23-24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 【题型5】求与己知三点组成平行四边形的点的个数 24．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，先建立平面直角坐标第，再分和两种情况求解即可． 【详解】解：①当，时，如图： ∵点C的坐标是，点A的坐标是， ∴， ∵点B不在第一象限， ∴点B坐标为，即 ①当，时，如图： 由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点O， ∴由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点B， 故点B坐标为：即， 综上所述：点B的坐标是或， 25．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A、B，直线交直线AB于点C，交轴于点D，点D的坐标为，点C的横坐标为4．    (1)求直线的函数解析式； (2)在坐标平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点F的坐标为或或 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点C的坐标，根据点C，D的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数解析式； （2）存在，设点F的坐标为，分为对角线，为对角线及为对角线三种情况考虑，利用平行四边形的性质（对角线互相平分），即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出点F的坐标． 【详解】（1）（1）当时，， ∴点C的坐标为； 设直线的函数解析式为， 将点，代入， 得：， 所以 则直线的函数解析式： （2）解：存在，设点F的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为． 若使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论：    ①当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得， 所以的坐标为； ②当为对角线时，记为点F2， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为（11，4）； ③当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，找出点C，A的坐标；根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）分为对角线，为对角线及为对角线这三种情况，求出点F的坐标． 【题型6】平行四边形的判定与性质综合（重点） 26．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，已知． (1)利用无刻度的直尺和圆规作图：①以为顶点，为一边，在的外部作，在射线上截取，连接；②过点作边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查尺规作图和勾股定理，涉及作一个角等于已知角、截取已知线段和过点作垂线， 根据作一个角等于已知角即可作的直线，结合截取已知线段的做法即可作出直线，利用过点作垂线方法即可作出直线； 根据题意可证明四边形是平行四边形，结合已知条件可求得，利用平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2） ， ∴四边形是平行四边形 ，， ， ， 在中，解得， 的面积为． 27．（23-24八年级下·重庆永川·期中）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的周长，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明且得到四边形为平行四边形，继而得证； （2）利用四边形的周长为12，，求出，继而求出，从而得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即，， 又∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵四边形的周长为12，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴平行四边形ABCD的周长． 28．（22-23八年级下·广东深圳·期末）已知：如图，E、F是对角线上的两点．      (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接交于O，根据，得，，继可证得，即可由平行四边形的判定定理得出结论． （2）先由，，得出，，再证，得，从而证得四边形是平行四边形，即可根据平行四边形的性质得． 【详解】（1）证明：连接交于O，      ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 29．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）已知：CD＝6，∠A＝120°，求△DCE的底边CE上的高． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由线段关系可证FD＝CE，可得结论； （2）由平行四边形的性质可得AB∥CD，∠A＋∠ADC＝180°，∠DCE＝∠ADC，由∠A＝120°，得到∠CDG＝30°，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵F是AD的中点， ∴FD＝AD， ∵CE＝BC， ∴FD＝CE， ∵FD∥CE， ∴四边形CEDF是平行四边形； （2）过点D作DG⊥CE于点G， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠A＋∠ADC＝180°，∠DCE＝∠ADC， ∵∠A＝120°， ∴∠DCE＝∠ADC＝180°﹣∠A＝60°， 在Rt△DGC中，∠DGC＝90°，∠DCE＝60°， ∴∠CDG＝30°， ∵CD＝6， ∴CG＝CD＝3， 故△CDE的底边CE上的高DG＝． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的判定和性质． 30．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明，故可得出结论； （2）根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得出，再由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：在中， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 【题型7】平行四边形中动点综合题（重点） 31．（23-24八年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，等边三角形的边长为10cm，射线，点E从点A出发沿射线：以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（    ） A．2或3 B．2或5 C．5或10 D．2或10 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以、、、为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点在的左侧时，根据题意得： ， ， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点在的右侧时，根据题意得： ， ， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 综上可得：当或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． 故选：D． 32．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动．规定运动时间为秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动． (1) ____，____（分别用含有的式子表示）； (2)四边形可能是平行四边形吗？说明理由． (3)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． (4)当点与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)，． (2)四边形不可能是平行四边形，理由见解析 (3)； (4)或3或5 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想是解决问题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，即可求解； （2）根据平行四边形的性质进行判断即可； （3）设点到距离为，根据四边形的面积是四边形面积的2倍，可列方程，解方程即可得到答案； （4）分四种情况讨论，根据平行四边形对边相等，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点以的速度由向运动，点以的速度由向运动， ∴，， ∴， 故答案为：，． （2）四边形不可能是平行四边形， 由题意可得，，若四边形是平行四边形，则， 但是， ∴四边形不可能是平行四边形 （3）解：设点到的距离为， ∵四边形的面积是四边形面积的2倍， ∴可得：， 解得：； （4）解：若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：（不合题意，舍去）， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 综上可得：当或3或5时，点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形． 33．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，，连接，，，动点P从点A出发，沿线段匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段匀速运动．当P，Q其中一点到达顶点，另一点也停止运动．设运动的时间为．    (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当四边形为平行四边形时，求t的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的判定证明，再利用平行四边形的判定即可得证； （2）由题意可知，，，由勾股定理得，再由平行四边形的性质得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， 四边形是平行四边形， ，， 由题意可知，，， 当四边形是平行四边形时，点在线段上时，此时，， ， ， 解得：． 34．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，，，．点在边上由点向点运动，速度为每秒；点在边上由点向点A运动，速度为每秒．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，连接，设运动时间为秒． (1)当何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质得出，列出关于t的方程，求出t的值即可； （2）根据平行四边形的性质和角平分线定义得出，根据等腰三角形的判定得出，即可得出，求出t的值即可； （3）设平行四边形边是高为，根据四边形的面积是四边形的面积的四分之三，得出，求出t的值即可． 【详解】（1）解：因为四边形为平行四边形， 所以， 所以， 解得：． （2）解：连接， 因为四边形为平行四边形， 所以，， 所以， 因为点在的平分线上， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得：； （3）解：设平行四边形边是高为， 因为四边形的面积是四边形的面积的四分之三， 所以， 解得， 所以，当时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三． 35．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，求的面积． (3)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在 间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时 Q点也停止），若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2) (3)9.6秒或16秒或19.2秒 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义可得，则可得，再结合可得是等边三角形，进而可得． （2）作于H点，由平行四边形的性质可得，再根据等边三角形面积公式计算即可． （3）根据题意可得， P点从A点运动到D点停止时，Q点需往返运动2次．由四边形是平行四边形可得，因此．若以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则，设运动时间为t秒，分4种情况讨论：①，②，③，④，根据列方程，即可求出t的值． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ，， ， ∵平分， ， ， ， 又， ， ∴是等边三角形， ， ． （2）如图，作于H点， ∵四边形是平行四边形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ． （3）由题知P点从A点运动到D点需要，Q点从C点运动到B点需要，因此P点从A点运动到D点停止时，Q点需往返运动2次． ∵四边形是平行四边形， ∴， ， 若以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则． 设运动时间为t秒， ①当时，，， ， 此方程无解； ②当时，，， ， 解得； ③当时，，， ， 解得； ④当时，，， ， 解得． 综上，当运动时间为9.6秒或16秒或19.2秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、分类讨论等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质并进行分类讨论是解题的关键． $$专题03 平行四边形（七大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 利用平行四边形的性质求解（高频） · 题型二 平行四边形中最小值问题 · 题型三 判断能否构成平行四边形 · 题型四 添一个条件成为平行四边形（高频） · 题型五 求与己知三点组成平行四边形的点的个数 · 题型六 平行四边形的判定与性质综合（重点） · 题型七 平行四边形中动点综合题（重点） 【题型1】利用平行四边形的性质求解（高频） 1．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图所示，在平行四边形中，对角线，相交于点，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长交于点．则的长是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知平行四边形的顶点，，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；③作射线，交边于点G，则点G的坐标为（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 7．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 8．（24-25八年级上·全国·期末）如图， 的对角线相交于点O， 且， 过点O作， 交于点M．如果的周长为18， 那么的周长是 ． 【题型2】平行四边形中最小值问题 9．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形，，，点为上一动点，则的最小值为 11．（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 12．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 13．（2024·广西钦州·一模）如图，在四边形中，， ，，，点在上，且为边上的两个动点，且，则四边形的周长的最小值为 ． 【题型3】判断能否构成平行四边形 14．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 15．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，已知，对角线，相交于点，若增加下列条件，则可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D． 17．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，四边形中，对角线与相交于点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 18．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，平行四边形中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案的个数是（    ） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【题型4】添一个条件成为平行四边形（高频） 19．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，已知，增加下列条件仍不可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，应添加的条件是（　　） A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·天津河东·期末）如图，四边形的对角线相交于点，且，若要证明四边形为平行四边形，不能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【题型5】求与己知三点组成平行四边形的点的个数 24．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 25．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A、B，直线交直线AB于点C，交轴于点D，点D的坐标为，点C的横坐标为4．    (1)求直线的函数解析式； (2)在坐标平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型6】平行四边形的判定与性质综合（重点） 26．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，已知． (1)利用无刻度的直尺和圆规作图：①以为顶点，为一边，在的外部作，在射线上截取，连接；②过点作边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，，求四边形的面积． 27．（23-24八年级下·重庆永川·期中）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长． 28．（22-23八年级下·广东深圳·期末）已知：如图，E、F是对角线上的两点．      (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数． 29．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）已知：CD＝6，∠A＝120°，求△DCE的底边CE上的高． 30．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若求的度数． 【题型7】平行四边形中动点综合题（重点） 31．（23-24八年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，等边三角形的边长为10cm，射线，点E从点A出发沿射线：以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（    ） A．2或3 B．2或5 C．5或10 D．2或10 32．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动．规定运动时间为秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动． (1) ____，____（分别用含有的式子表示）； (2)四边形可能是平行四边形吗？说明理由． (3)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． (4)当点与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 33．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，，连接，，，动点P从点A出发，沿线段匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段匀速运动．当P，Q其中一点到达顶点，另一点也停止运动．设运动的时间为．    (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当四边形为平行四边形时，求t的值． 34．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，，，．点在边上由点向点运动，速度为每秒；点在边上由点向点A运动，速度为每秒．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，连接，设运动时间为秒． (1)当何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？ 35．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，求的面积． (3)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在 间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时 Q点也停止），若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． $$