专题02 函数（考题猜想，十六大题型）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题02 函数（十六大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 函数的概念 · 题型二 函数解析式 · 题型三 自变量取值范围（高频） · 题型四 平面直角坐标系（高频） · 题型五 从函数图像获取信息 · 题型六 一次函数的性质（高频） · 题型七 一次函数的图像（重点） · 题型八 一次函数与方程，不等式的关系（易错） · 题型九 一次函数的实际应用（高频） · 题型十 一次函数与几何综合（重点） · 题型十一 反比例函数的性质（高频） · 题型十二 反比例函数的图像 · 题型十三 反比例函数系数k的几何意义（重点） · 题型十四 反比例函数与一次函数交点问题（高频） · 题型十五 反比例函数与一次函数应用 · 题型十六 反比例函数与一次函数综合（重点） 【题型1】 函数的概念 1．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）下列曲线中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义，逐项判断即可求解， 本题主要考查了函数的基本概念，解题的关键是：熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量． 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y只有一个值与之相对应，所以y是x的函数故本选项不符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，即可解答． 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 所以曲线能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以曲线能表示y是x的函数，故本选项不符合题意 C、满足对于x的取值时，y有两个值与之对应关系的情况，所以曲线不能表示y是x的函数，故本选项符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以曲线能表示y是x的函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）圆的半径为r，面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（    ） A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量 【答案】B 【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，掌握其概念是解题的关键．根据常量（不会发生变化的量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解． 【详解】解：A、是自变量，故A选项错误，不符合题意； B、是常量，故B选项正确，符合题意； C、是因变量，故C选项错误，不符合题意； D、是常量，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级·浙江·期末）圆周长公式中，变量是 ． 【答案】和 【分析】本题主要考查了函数的定义， 根据函数的意义可知：变量是改变的量，据此即可确定变量． 【详解】解：在圆的周长公式中，与是改变的，是变量， 变量是，， 故答案为：和． 【题型2】函数解析式 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y（元）与学生人数x（人）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“4名教师”及“成人票每张15元，学生票每张10元”列式，即可求解． 本题考查了实际问题中列函数关系式，解题的关键是：理解题意列出正确的函数关系式． 【详解】解：根据题意列式：， 故选：D． 5．（23-24八年级上·四川成都·期末）某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则 y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式．找到正确的等量关系是解题关键．计算出每的耗油量即可求解． 【详解】解：由题意得： 每的耗油量为：， 故汽车加满油后最多可行驶： 故可得： 故选：D． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）已知等腰三角形的周长为10，设腰长为，底边为，试写出与的函数表达式 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，运用方程的思想列出关系式、根据三角形三边关系求得的取值范围是解答本题的关键．根据已知列方程，化为函数关系式，再根据三角形三边的关系确定的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 两边之和大于第三边， ，即， ， 综上可得，与的函数表达式为． 故答案为：． 【题型3】自变量取值范围（高频） 7．（24-25九年级上·云南昭通·期末）函数的自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了自变量取值范围的判断， 根据题意可知，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故选：B． 8．（24-25八年级上·重庆·期末）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性及函数，熟练掌握算术平方根的非负性及函数是解题的关键；根据题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 【题型4】平面直角坐标系（高频） 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特征进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴点所在的象限为第三象限， 故选C． 10．（24-25七年级上·山东烟台·期末）下列说法中，能确定物体位置的是（   ） A．离小明家3千米的大楼 B．东经，北纬 C．和平街 D．北偏西方向 【答案】B 【分析】本题考查根据坐标确定物体位置，根据坐标的定义逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 离小明家3千米的大楼，可以在一个圆上，不固定，故A不符合题意， 东经，北纬，能确定位置，故B符合题意， 和平街，没说明门牌号的，不固定，故C不符合题意， 北偏西方向，没说明距离及观测点，不固定，故D不符合题意， 故选：B． 11．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，，其中，如果，那么的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．作轴于C，轴于，证明，得出，，根据，得出，，即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 作轴于，轴于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 12．（24-25八年级上·江苏南京·期末）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查象限内点的坐标特征，熟知点的象限符号及点到坐标轴的距离定义是解答的关键．根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断点P坐标． 【详解】解：点P在第二象限， 点P横坐标为负，纵坐标为正， 点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2， 则点P的坐标为， 故选：D． 13．（24-25八年级上·浙江·期末）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则t的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了y轴上的点的特点，掌握y轴上的点的特点是解题的关键．根据y轴上的点的特点为，横坐标求解即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴ 故答案为：4． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）点到轴的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到轴的距离，解题关键是点到轴的距离为纵坐标的绝对值． 根据点到轴的距离为纵坐标的绝对值即可． 【详解】解：点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即． 故答案为：6 15．（24-25七年级上·山东东营·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，线段的长为4且平行于轴，则点B的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，关键是根据平行于y轴的坐标特点解答．根据平行于y轴的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵直线平行于y轴，点A的坐标为，线段， 则点B的坐标为，， 故答案为：或． 【题型5】从函数图像获取信息 16．（24-25七年级上·山东烟台·期末）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（       ） A．时，两架无人机都上升了 B．时，两架无人机的高度差为 C．乙无人机上升的速度为 D．时，甲无人机距离地面的高度是 【答案】B 【分析】本题考查函数图象的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由图象可得， A．时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故错误； C．甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故错误； B．时，两架无人机的高度差为：，故正确； D．时，甲无人机距离地面的高度是，故错误； 故选：B． 17．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水，下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键．分成3段分析可得答案． 【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选：C． 18．（24-25八年级上·山东济南·期末）坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为，注水时间为，则与的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段：甲水面上升，乙水面上升，甲、乙水面一起上升，再根据甲、乙底面积的关系求出的关系即可得到结论． 【详解】解：由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段，第一阶段为甲水箱中的水面随着时间的推移逐渐上升，直至到达连通器的入口，第二阶段为甲水箱中的水面不上升，注入的水通过连通器流入乙中，使乙水箱中的水面上升，直至到达连通器的入口，第三阶段为甲、乙两个水箱中的水以相同的速度上升（上升速度比第一阶段慢）， 设单位时间内注水体积为，甲水箱的底面积为，则乙水箱的底面积为，则连通器的高度为， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 19．（24-25八年级上·江苏南京·期末）小明家、报亭、乒乓球馆在一条直线上．小明从家跑步到乒乓馆打球，再去报亭看报，最后回家．小明离家的距离与时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（  ） A．小明从家到乒乓球馆的速度是 B．小明在报亭停留时间为 C．乒乓球馆在小明家与报亭之间 D．小明回家的速度是先慢后快 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的应用，根据函数图象中每一段所表示关系，对各选项进行判断即可得到结果，读懂函数图象，获取信息是解题的关键． 【详解】、根据函数图象，小明家到乒乓球馆的距离是用时为， ∴小明从家到乒乓球馆的速度是，原选项错误，不符合题意； 、图象中第二段与轴平行的图象，表示在报亭停留时 间，对应的轴上用时从到，用时为，原选项正确，符合题意； 、根据函数图象，小明先到乒乓球馆，再往回走到报亭再回到家，则乒乓球馆不一定在小明家与报亭之间，原选项不符合题意 ， 、从报亭回到家用时，走了，速度为， ∴小明回家的速度是不变的，原选项错误，不符合题意， 故选：． 20．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长之间的函数关系式的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图像的识别，根据三角形周长公式得出，再根据三角形三边关系可得出，即可得出函数图像． 【详解】解：根据题意，， ∴． 根据三角形的三边关系，①； ②，即， 解得：． ∴y与x的函数关系式为． 故选D． 21．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿，，运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是 ． 【答案】20 【分析】点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明的长为4； 当点P在上运动时，的面积保持不变，就是矩形面积的一半，并且动路程由4到9，说明的长为5； 根据上述求出的矩形的边长，求出矩形的面积. 本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出、的长度是解决问题的关键． 【详解】解：结合图形可以知道，P点在上，的面积为y增大， 当x在4-9之间时的面积不变，得出，， ∴矩形的面积为：． 故答案为：20． 【题型6】一次函数的性质（高频） 22．（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各点中，在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项所给点的横坐标代入中求出纵坐标，看与所给点的纵坐标是否相等，如果相等，则该点在函数的图象上，若不相等，则该点不在函数的图象上． 本题主要考查了正比例函数图象的性质，凡是满足函数关系式的点都在该函数图象上，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A、∵当时，， ∴此点不在正比例函数图象上，故A本选项错误； B、∵当时，， ∴此点在正比例函数图象上，故本选项正确； C、∵当时，， ∴此点不在正比例函数图象上，故本选项错误； D、∵当时，， ∴此点不在正比例函数图象上，故本选项错误． 故选B． 23．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知点，都在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，分别把点，代入直线，求出，的值，再比较大小即可．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：点，都在直线上， ，． ， ． 故选：B． 24．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，点A点的横坐标为a，根据图像，判断下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与不等式的关系，熟练掌握知识点，利用数形结合思想是解题的关键． 根据一次函数与不等式的关系即可判断A、B、D，根据一次函数的性质即可判断C． 【详解】解：A、当时，，故A错误，不符合题意； B、当时，，故B错误，不符合题意； C、当时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意； D、当时，，正确，符合题意， 故选：D． 25．（24-25八年级上·四川成都·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与x轴交于点 C．点在函数图象上 D．点和在函数的图象上，若，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，数来能掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数的图象与性质逐一判定即可． 【详解】A、因为，，所以一次函数的图象经过第一、二、四象限，所以选项A错误，不符合题意； B、令，则，解得，所以图象与x轴交于点，所以选项B错误，不符合题意； C、当时，，所以点在函数图象上，所以选项C正确，符合题意； D、因为，，所以y随着x的增大而减小，若点和在函数的图象上，当，则，所以选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【题型7】一次函数的图像（高频） 26．（24-25七年级上·山东威海·期末）小丽根据画出了函数的图象，你认为正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、分段函数等知识．根据x的取值范围确定函数图象即可得到答案． 【详解】解：当时，，图象为直线在y轴右侧部分，y随着x的增大而减小， 当时，，即为点， 当时，，图象为直线在y轴左侧部分，y随着x的增大而增大， 只有选项B符合题意， 故选：B 27．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先根据题意判断出、的符号，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， ， 一次函数的图象经过二、三、四象限， 故选：D． 28．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）一次函数与正比例函数（k，b为常数，）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象，根据一次函数与图象的位置关系确定、，再去对照正比例函数的图象与的关系，逐项判断即可． 【详解】解：A、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项A不符合题意； B、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项B不符合题意； C、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项C不符合题意； D、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象不满足这一关系，故选项D符合题意； 故选：D． 29．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象（根据一次函数解析式判断其经过的象限），熟练掌握、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键：当时，一次函数图象必过一、三象限；当时，一次函数图象必过二、四象限；当时，一次函数图象与轴交于正半轴；当时，一次函数图象与轴交于负半轴；或者说：当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限． 根据、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数， ，， 函数图象经过第一、二、四象限， 故选：． 30．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移3个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象平移，掌握图象平移与点坐标变化的关系是解题的关键． 根据平移得到，又由即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象由直线向下平移3个单位长度得到， ∴ ∵ ∴位于第二、三、四象限． 故选：D． 【题型8】一次函数与方程，不等式的关系（易错） 31．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两条直线的交点与方程组的解的关系， 先求出两个一次函数的交点坐标，再根据两条直线的交点的横纵坐标，即为两个函数关系式对应的方程组的解得出答案． 【详解】解：∵一次函数经过点， ， 解得：， ， ∴方程组的解是． 故选：A． 32．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数（a，b为常数）与正比例函数（k为常数）的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数与一元一不等式，能利用函数图象直接得出不等式的取值范围是解答此题的关键． 直接根据两函数图象的交点即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象不在直线的下方， 所以关于x的不等式的解集是． 故选：D． 33．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，随的增大而减小，当时，， ∴当时，的取值范围是； 故选D． 34．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，直线与直线交于点A，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，观察图象可知交点为，从交点向左函数的图象在的图象下方，进而得出取值范围． 【详解】解：观察图象可知， 当时，． 故答案为：． 【题型9】 一次函数的实际应用（高频） 35．（24-25八年级上·四川成都·期末）2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． (1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ (2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？ 【答案】(1)香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元 (2)总利润的最大值是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，根据“购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子，利用总利润＝每千克香蕉的销售利润×购进香蕉的数量+每千克橙子的销售利润×购进橙子的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元； （2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子， 根据题意得：， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为（元）． 答：总利润的最大值是元． 36．（2025·陕西咸阳·模拟预测）小明以如图的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度（）与纸杯的个数（个）之间是一次函数关系，有关数据如下表． 纸杯个数（个） 纸杯高度（） (1)求与之间的函数表达式． (2)小明把杯子叠成如图的一摞，放入高的柜子里（如图）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？ 【答案】(1) (2)最多能放个杯子 【分析】（）由表格可知，每增加一个纸杯，高度增加，据此列出函数表达式即可； （）由列出不等式解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意求出函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格可知，每增加一个纸杯，高度增加， ∴， 即； （2）解：当时，， 解得， ∵为整数， ∴的最大值为， ∴一摞最多能叠个杯子，可以竖着一次性放进柜子里． 37．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“13度的甜，14度的鲜”，杨梅是本地区重要农业经济产业，杨梅正成为兰溪乃至金华的“共富果”．根据提供的材料解决问题． 材料一 内容 某商贸公司经销甲、乙两个品种的杨梅，甲种杨梅进价为16元/斤；乙品种杨梅的进货总金额y（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种杨梅的售价分别为20元/斤和25元/斤． 材料二 某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的杨梅共1000斤，其中乙品种的收购量不低于200斤，且不高于500斤． 材料三 杨梅运到H城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种杨梅都很喜欢，于是决定把两种杨梅按同样的价格销售，并适当让利给消费者． 任务一 （1）已知，，求图中直线的函数表达式． 任务二 （2）若从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，收购的杨梅能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的杨梅所获总利润为w元（利润销售额成本）．求出w（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案． 任务三 （3）在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么按同样的价格销售的杨梅的销售价应定为多少元？（结果保留整数） 【答案】（1） （2），甲杨梅的进货量为500斤，乙杨梅的进货量为500斤 （3）销售价应定为：22（元/斤） 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）根据甲、乙两个品种的杨梅共1000斤，其中乙品种的收购量不低于200斤，且不高于500斤，得出，且，再结合一次函数的性质进行作答即可． （3）先算出甲乙两个品种的杨梅获得的利润以及甲乙品种杨梅的进货总金额，从而得出总成本，再除以总数量，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，设直线的函数表达式为， 把，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）依题意，乙品种杨梅的进货量x斤，则甲品种杨梅的进货量斤， ∵乙品种的收购量不低于200斤，且不高于500斤． ∴， 由（1）得， 则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，最大值为， （斤）， 即甲杨梅的进货量为500斤，乙杨梅的进货量为500斤时获得的利润最大； （3）∴甲乙两个品种的杨梅获得的利润是（元）， 则乙品种杨梅的进货总金额是（元）， 甲品种杨梅的进货总金额是（元）， ∴总成本为（元）， ∴混合销售杨梅的销售价应定为（元）． 38．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元． (1)，两类图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本． ①求关于的关系式． ②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)，两类图书每本的进价分别为32元，24元 (2)①，②当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用， （1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．”列出方程组，即可求解； （2）①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设，两类图书每本的进价分别为元，元． ，解得 答：，两类图书每本的进价分别为32元，24元． （2）①依题意；   ∴ ②解得 设利润为元． 因为小于0，所以随的增大而减小， 当取501时， ， 所以当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元． 39．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 【建立模型】 （1）观察表、表发现都是一次函数模型请结合表、表的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1），；（2）电动汽车在服务区充电分钟 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【详解】解：（1）设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． 设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． （2）当时，， ∴行驶千米后，电动汽车仪表盘显示电量为， 充电分钟后，增加的电量为， ∴充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为， ∴行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， ． 答：电动汽车在服务区充电分钟． 【题型10】 一次函数与几何综合应用（重点） 40．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线：与直线相交于点，交轴负半轴于点．已知点的横坐标为的面积为10． (1)点的坐标为________； (2)求直线对应的函数表达式； (3)若为线段上的一个动点，将沿着直线翻折，点是否存在某个位置，使得点的对应点恰好落在轴正半轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将点B横坐标代入即可求解； （2）根据的面积为10，求出，，再用待定系数法求解即可； （3）过点B作轴于点E，则，由翻折得：，则在中，，那么，则的中点为，由翻折可得直线垂直平分，直线经过的中点，可求直线的表达式为，再与直线联立即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图， ∵的面积为10， ∴， ∴， 当， ∴， ∵C在y轴负半轴， ∴， 将，代入 得：， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为； （3）解：存在，理由如下， 过点B作轴于点E， ∵ ∴， 由翻折得：， ∵， ∴在中，， ∴， 则的中点为， 由翻折可得直线垂直平分， ∴直线经过的中点， 设直线的表达式为：， 代入，的中点得：， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与图形的变换，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，翻折的性质，勾股定理． 41．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，点C为直线上的一点，点C的纵坐标为3，点P是y轴上的一点． (1)求点C的坐标； (2)若点P的坐标为，求的面积； (3)若，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)点P坐标为或 【分析】（1）求出直线解析式为，令得，故的坐标为； （2）求出， ， ，可得的面积为6； （3）过点B作交延长线于，过点H作轴，过点作于，过作于点，设．当点P在上方时，证明，可得，解得，故， 即可得直线解析式为， 则；当点P在下方时，同理可得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为． 令，则， 解得， ∴点C的坐标为． （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． （3）解：过点B作交延长线于，过点H作轴，过点作于，过作于点， 设， 当点P在上方时，如图： ∵， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 由得直线解析式为， 令得， ． 当点P在下方时，如图 同理可得， ， 解得， ， 由，可得解析式为， 令得， ； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及全等三角形判定与性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 42．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)在直线上是否存在点使得的面积为12．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在，点或 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质． （1）令，则，令，则，即可求出答案； （2）设点，根据的面积为12得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：令，则， ， 令，则， ， ， 故答案为：； （2）设点 的面积为12， 或14， ∴点或 43．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图1，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若P为直线上一动点，的面积，求点P的坐标； (3)如图3，直线上一点Q位于第三象限，以为斜边向右侧作等腰直角，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为 【分析】（1）把点代入，求得，把代入，得到，求得直线的解析式； （2）解方程得到，求得，设，根据三角形的面积列方程即可得到结论； （3）解方程得到，求得，设，过作轴于，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，于是得到点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入得， ， 把代入得， ， 直线的解析式为； （2）在中，令，则， ， 在中，令，则， ， ∴ 设， ， ，或 解得或， 或； （3）在中，令，则， ， ， 设， 过Q作轴于， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 点的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 44．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足 ，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处. (1)求OA，OC的长； (2)求直线AD的解析式； (3)点M在直线DE上，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)OA＝6，OC＝8；(2)y＝﹣2x+6；(3)存在点N，点N的坐标为(0.5，0)或(15.5，0)． 【分析】（1）根据非负数的性质求得m、n的值，即可求得OA、OC的长；（2）由勾股定理求得AC=10，由翻折的性质可得：OA＝AE＝6，OD＝DE＝x，DC＝8﹣OD＝8﹣x，在Rt△DEC中，由勾股定理可得x2+42＝(8﹣x)2，解方程求得x的值，即可得DE＝OD＝3，由此可得点D的坐标为(3，0)，再利用待定系数法求得直线AD的解析式即可；（3）过E作EG⊥OC，在Rt△DEC中，根据直角三角形面积的两种表示法求得EG的长，再利用勾股定理求得DG的长，即可求得点E的坐标，利用待定系数法求得DE的解析式，再根据平行四边形的性质求得点N的坐标即可． 【详解】(1)∵线段OA，OC的长分别是m，n且满足， ∴OA＝m＝6，OC＝n＝8； (2)设DE＝x， 由翻折的性质可得：OA＝AE＝6，OD＝DE＝x，DC＝8﹣OD＝8﹣x， AC＝=10， 可得：EC＝10﹣AE＝10﹣6＝4， 在Rt△DEC中，由勾股定理可得：DE2+EC2＝DC2， 即x2+42＝(8﹣x)2， 解得：x＝3， 可得：DE＝OD＝3， 所以点D的坐标为(3，0)， 设AD的解析式为：y＝kx+b， 把A(0，6)，D(3，0)代入解析式可得： ， 解得： ， 所以直线AD的解析式为：y＝﹣2x+6； (3)过E作EG⊥OC，在Rt△DEC中，， 即， 解得：EG＝2.4， 在Rt△DEG中，DG＝ ， ∴点E的坐标为(4.8，2.4)， 设直线DE的解析式为：y＝ax+c， 把D(3，0)，E(4.8，2.4)代入解析式可得： ， 解得： ， 所以DE的解析式为：y＝x﹣4， 把y＝6代入DE的解析式y＝x﹣4，可得：x＝7.5， 即AM＝7.5， 当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时， CN＝AM＝7.5， 所以N＝8+7.5＝15.5，N'＝8﹣7.5＝0.5， 即存在点N，且点N的坐标为(0.5，0)或(15.5，0)． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果． 【题型11】反比例函数的性质（高频） 45．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．根据题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大，由此问题可求解． 【详解】解：由反比例函数可知该函数在第二、第四象限，则在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴ 故选D． 46．（24-25九年级上·广东河源·期末）关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式得到反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大， ∴只有B选项符合题意， 故选：B ． 47．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知点，在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：反比例函数的，反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， A、当时，，则，正确，符合题意； B、当时，，则，原说法错误，不符合题意； C、当时，，则，原说法错误，不符合题意； D、当时，，则，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 48．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数的比例系数，图象在第一、三象限，，图象在第二、四象限．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ， ， 故选：A． 49．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）若反比例函数的图象经过点，则k的值为（   ） A． B．18 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 直接把点代入，然后求出k即可． 【详解】解：把点代得：，． 故选：A． 【题型12】反比例函数的图像 50．（2025八年级下·全国·专题练习）函数和（）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于（），当时，，观察图象可排除B和D； 当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过二、三、四象限； 观察A、C选项，选项C符合题意， 故选：C． 51．（24-25九年级上·河北沧州·期末）函数与 在同一平面直角坐系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图象与反比例函数图象综合，根据函数图象分别求出反比例函数比例系数的符号以及正比例函数一次项系数的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：∵当时，的图象经过第一、第三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限， 当时，的图象经过第二、第四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴D选项符合题意． 故选：D． 【题型13】反比例函数系数k的几何意义（重点） 52．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，是双曲线上关于原点对称的任意两点， 轴， 轴，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义，难易程度适中，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的三角形面积，结合图象解答是解题的关键． 根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积可知，，再根据反比例函数的对称性可知，为中点，则，，进而求出四边形的面积． 【详解】解：连接， 是双曲线上关于原点对称的任意两点， 经过原点， 轴，轴， ， 假设点坐标为， 则点坐标为， 则， ，， 四边形面积， 故选：B ． 53．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用含k的式子表示出和 面积之和，即可求解． 【详解】解：点A、B是反比例函数图象上任意两点， 设，， 轴于点D，轴于点C， ，，，， 和 面积之和为6， ， ， 故选A． 54．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，直线与轴平行且分别与反比例函数，的图象交于点和点，点是轴上的一个动点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，平行线之间的距离，掌握反比例函数中比例系数的几何意义是解题的关键．连接，，则，进而根据反比例函数的几何意义即可解答． 【详解】解：如图，连接，，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵，， ∴，， ∵轴， ∴与同底等高， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 55．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．连接，推出，再根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 56．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，连接，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 由于，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后结合函数的图象所在的象限解方程得到满足条件的的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 而， ． 故答案为：． 【题型14】反比例函数与一次函数交点问题（高频） 57．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，由题意可得A，B两点关于原点对称，从而可得点的横坐标为，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的横坐标为2， ∴点的横坐标为， ∴由图象可得，当时，x的取值范围是或， 故选：B． 58．（24-25九年级上·广东惠州·期末）如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先求出，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵函数和函数的图象相交于点， ， ， ， 由图象可得：若，则的取值范围是或， 故选：C． 59．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，函数的图象等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．把A的坐标代入反比例函数，求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式求出B的坐标，根据A、B的横坐标结合图象即可得出答案． 【详解】解：把代入得：， 即反比例函数的解析式是， 把代入得：，解得：， 即B的坐标是， 所以当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 【题型15】反比例函数与一次函数应用 60．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 61．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 62．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设关系为，将代入求； （2）将代入函数关系式求出的值． 【详解】（1）解：设． 过点， ． 当时，与的关系式为：； （2）将代入上式中得：，． 温度在时，电阻． 在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时， ， 把代入， 得； 把时代入， 得； 答：当时，电阻不超过． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 【题型16】反比例函数与一次函数综合（重点） 64．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，主要考查学生的计算能力．利用了数形结合思想． （1）利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）先求出点坐标，再结合图象写出一次函数落在反比例函数的图象下方的部分对应的自变量的取值范围即可； （3）先求出，则，得出点的纵坐标，即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ， ， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：∵在一次函数的图象上， ， ， 根据图象可知，不等式的解集为或； （3）解：把代入， 解得：， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴，则或， 当时，，， 当时，，， 综上：或． 65．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与轴交于点，与轴交于点 ． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)在轴上取一点，使为等腰三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，利用勾股定理，建立方程都是解本题的关键； （1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案； （2）分三种情况，当时， 当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得到， ∴ 把代入，得到， 把代入 ，得到 ， ∴； （2）解：∵为等腰三角形 ∴分情况讨论 第一种情况，当时，; 第二种情况，当时， ∵， ∴ ∴或 第三种情况，当时， 在中，设， 由得， 解得， ∴ $$专题02 函数（十六大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 函数的概念 · 题型二 函数解析式 · 题型三 自变量取值范围（高频） · 题型四 平面直角坐标系（高频） · 题型五 从函数图像获取信息 · 题型六 一次函数的性质（高频） · 题型七 一次函数的图像（重点） · 题型八 一次函数与方程，不等式的关系（易错） · 题型九 一次函数的实际应用（高频） · 题型十 一次函数与几何综合（重点） · 题型十一 反比例函数的性质（高频） · 题型十二 反比例函数的图像 · 题型十三 反比例函数系数k的几何意义（重点） · 题型十四 反比例函数与一次函数交点问题（高频） · 题型十五 反比例函数与一次函数应用 · 题型十六 反比例函数与一次函数综合（重点） 【题型1】 函数的概念 1．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）下列曲线中，表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）圆的半径为r，面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（    ） A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量 3．（23-24八年级·浙江·期末）圆周长公式中，变量是 ． 【题型2】函数解析式 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y（元）与学生人数x（人）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·四川成都·期末）某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则 y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（  ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）已知等腰三角形的周长为10，设腰长为，底边为，试写出与的函数表达式 ． 【题型3】自变量取值范围（高频） 7．（24-25九年级上·云南昭通·期末）函数的自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·重庆·期末）函数的自变量的取值范围是 ． 【题型4】平面直角坐标系（高频） 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（24-25七年级上·山东烟台·期末）下列说法中，能确定物体位置的是（   ） A．离小明家3千米的大楼 B．东经，北纬 C．和平街 D．北偏西方向 11．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，，其中，如果，那么的坐标是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·江苏南京·期末）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·浙江·期末）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则t的值为 ． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）点到轴的距离为 ． 15．（24-25七年级上·山东东营·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，线段的长为4且平行于轴，则点B的坐标为 ． 【题型5】从函数图像获取信息 16．（24-25七年级上·山东烟台·期末）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（       ） A．时，两架无人机都上升了 B．时，两架无人机的高度差为 C．乙无人机上升的速度为 D．时，甲无人机距离地面的高度是 17．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水，下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（   ）    A．   B．   C．   D．   18．（24-25八年级上·山东济南·期末）坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为，注水时间为，则与的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   19．（24-25八年级上·江苏南京·期末）小明家、报亭、乒乓球馆在一条直线上．小明从家跑步到乒乓馆打球，再去报亭看报，最后回家．小明离家的距离与时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（  ） A．小明从家到乒乓球馆的速度是 B．小明在报亭停留时间为 C．乒乓球馆在小明家与报亭之间 D．小明回家的速度是先慢后快 20．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长之间的函数关系式的图象是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿，，运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是 ． 【题型6】一次函数的性质（高频） 22．（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各点中，在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知点，都在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 24．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，点A点的横坐标为a，根据图像，判断下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 25．（24-25八年级上·四川成都·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与x轴交于点 C．点在函数图象上 D．点和在函数的图象上，若，则 【题型7】一次函数的图像（高频） 26．（24-25七年级上·山东威海·期末）小丽根据画出了函数的图象，你认为正确的是（    ） A．B．C．D． 27．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象可能为（    ） A．B．C．D． 28．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）一次函数与正比例函数（k，b为常数，）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（    ） A．B．C．D． 29．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 30．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移3个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【题型8】一次函数与方程，不等式的关系（易错） 31．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数（a，b为常数）与正比例函数（k为常数）的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，直线与直线交于点A，当时，x的取值范围是 ． 【题型9】 一次函数的实际应用（高频） 35．（24-25八年级上·四川成都·期末）2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． (1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ (2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？ 36．（2025·陕西咸阳·模拟预测）小明以如图的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度（）与纸杯的个数（个）之间是一次函数关系，有关数据如下表． 纸杯个数（个） 纸杯高度（） (1)求与之间的函数表达式． (2)小明把杯子叠成如图的一摞，放入高的柜子里（如图）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？ 37．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“13度的甜，14度的鲜”，杨梅是本地区重要农业经济产业，杨梅正成为兰溪乃至金华的“共富果”．根据提供的材料解决问题． 材料一 内容 某商贸公司经销甲、乙两个品种的杨梅，甲种杨梅进价为16元/斤；乙品种杨梅的进货总金额y（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种杨梅的售价分别为20元/斤和25元/斤． 材料二 某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的杨梅共1000斤，其中乙品种的收购量不低于200斤，且不高于500斤． 材料三 杨梅运到H城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种杨梅都很喜欢，于是决定把两种杨梅按同样的价格销售，并适当让利给消费者． 任务一 （1）已知，，求图中直线的函数表达式． 任务二 （2）若从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，收购的杨梅能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的杨梅所获总利润为w元（利润销售额成本）．求出w（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案． 任务三 （3）在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么按同样的价格销售的杨梅的销售价应定为多少元？（结果保留整数） 38．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元． (1)，两类图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本． ①求关于的关系式． ②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 39．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 【建立模型】 （1）观察表、表发现都是一次函数模型请结合表、表的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【题型10】 一次函数与几何综合应用（重点） 40．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线：与直线相交于点，交轴负半轴于点．已知点的横坐标为的面积为10． (1)点的坐标为________； (2)求直线对应的函数表达式； (3)若为线段上的一个动点，将沿着直线翻折，点是否存在某个位置，使得点的对应点恰好落在轴正半轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 41．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，点C为直线上的一点，点C的纵坐标为3，点P是y轴上的一点． (1)求点C的坐标； (2)若点P的坐标为，求的面积； (3)若，请直接写出点P的坐标． 42．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)在直线上是否存在点使得的面积为12．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； 43．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图1，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若P为直线上一动点，的面积，求点P的坐标； (3)如图3，直线上一点Q位于第三象限，以为斜边向右侧作等腰直角，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标． 44．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足 ，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处. (1)求OA，OC的长； (2)求直线AD的解析式； (3)点M在直线DE上，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【题型11】反比例函数的性质（高频） 45．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 46．（24-25九年级上·广东河源·期末）关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 47．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知点，在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 48．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）若反比例函数的图象经过点，则k的值为（   ） A． B．18 C． D．2 【题型12】反比例函数的图像 50．（2025八年级下·全国·专题练习）函数和（）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（  ） A． B． C． D． 51．（24-25九年级上·河北沧州·期末）函数与 在同一平面直角坐系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【题型13】反比例函数系数k的几何意义（重点） 52．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，是双曲线上关于原点对称的任意两点， 轴， 轴，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 53．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（    ） A． B． C．6 D．12 54．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，直线与轴平行且分别与反比例函数，的图象交于点和点，点是轴上的一个动点，则的面积为 ． 55．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则的值为 ． 56．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，连接，，若，则的值为 ． 【题型14】反比例函数与一次函数交点问题（高频） 57．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 58．（24-25九年级上·广东惠州·期末）如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 59．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【题型15】反比例函数与一次函数应用 60．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 61．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 62．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【题型16】反比例函数与一次函数综合（重点） 64．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 65．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与轴交于点，与轴交于点 ． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)在轴上取一点，使为等腰三角形，请求出点的坐标． $$