专题01 分式（考题猜想，十三大题型）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题01 分式（十三大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 分式有意义的条件（高频） · 题型二 分式值为0条件 · 题型三 分式的求值（高频） · 题型四 分式的基本性质运用（高频） · 题型五 分式的乘除法运算 · 题型六 分式加减运算 · 题型七 分式的混合运算（重点） · 题型八 分式化简求值（重点） · 题型九 解分式方程（高频） · 题型十 已知分式方程的解求参数（易错） · 题型十一 分式方程应用题（重点） · 题型十二 零指数幂与负整数指数幂 · 题型十三 科学计数法 【题型1】分式有意义的条件 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）若分式有意义，则x的取值应满足（  ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是：分母不为零是解题的关键．根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故选：C． 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件知识点，解题的关键是明确分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件，确定分母的取值情况，进而得出的取值范围． 【详解】由题意可得：， 解这个不等式可得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 3．（2025·广西河池·模拟预测）要使分式有意义，的取值应满足 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义则分母不能为零． 根据题意得到，得出． 【详解】解∶ 分式有意义， ， ， 故答案为：． 【题型2】分式值为0条件 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知分式的值为0，则a的值为（   ） A． B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件值是解题关键．直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不等于0，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解得：． 故选：C． 5．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值是0的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．根据分式的值等于0的条件：分子且分母即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得：． 故答案为：． 6．（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了使分式的值为0时，求的值，要保证分子为0的同时，分母不为0，计算出结果即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 又， ∴取． 故答案为：． 【题型3】分式的求值 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的求值，将代入求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：A． 8．（23-24八年级下·云南红河·期末）已知，则的值是 【答案】 / 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将变最后整体代入计算即可形为，再把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为： 9．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的求值，根据，设，代入分式求值即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故答案为：． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的值，根据可得，代入分式求值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【题型4】分式的基本性质运用 11．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）对于分式，当a，b都扩大到原来的2倍时，分式的值是（   ）． A．不变 B．扩大2倍 C．扩大6倍 D．扩大12倍 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时扩大或者缩小相同的倍数，分式的值不变． 把、替换原来的、，然后进行分式的化简计算，从而与原式进行比较得出结论． 【详解】解：把、替换原来的、可得， 由此可知分式的值扩大2倍， 故选：B． 12.（24-25八年级上·江西赣州·期末）分式中，x和y都扩大到原来的5倍，分式的值（      ） A．不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，把握分子与分母的代数式的次数，分子与分母同次，不变，分子次数比分母次数高变大，分子的次数比分母点，变小是解题的关键． 根据分式的基本性质可把，都扩大到原来的2倍代入原式得进行求解． 【详解】解：把，都扩大到原来的5倍代入原式得， ∴分式的值缩小到原来的． 故选：D． 13．（24-25八年级上·福建厦门·期末）若把分式中的x与y都扩大2倍，则所得分式的值（ ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，利用分式的性质进行判断即可． 【详解】解：把分式中的x与y都扩大2倍得， 则所得分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 14．（24-25八年级上·四川南充·期末）若把分式中的和都扩大倍，那么该分式的值（    ） A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，通过分式的基本性质可对变形后的分式进行化简．先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可． 【详解】解：分式中，和都扩大倍，则分式的值为：， 即该分式的值缩小为原来的 故选：C． 15．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）若，则下列分式的化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：A．，错误，不符合题意； B．，错误，不符合题意； C．当时，，错误，不符合题意； D．，正确，符合题意． 故选：D． 【题型5】分式的乘除法运算 16．（24-25九年级上·山西大同·期末）化简的结果是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式除法运算，熟练掌握分式除法运算法则是解题的关键．根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：C． 17．（24-25八年级上·山东威海·期末）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可求解． 【详解】解： 故选：D． 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合运算，先计算乘方运算，然后把除法转化为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解： ， 故选：C． 19．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题关键． 根据分式的乘除法法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 20．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的运算、分解因式，首先把分式的分子、分母分解因式，可得：原式，再约去分子、分母的公因式，把各分式化为最简分式，然后再相加、约分即可． 【详解】解： ． 【题型6】分式加减运算 21．（24-25八年级上·河南郑州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键． 原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值． 【详解】解：原式， 故选：B． 22．（23-24八年级下·福建泉州·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查同分母分式加减法，原式通分后再化简即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：1． 23．（22-23八年级上·北京·期末）化简的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是对分式的基本性质的了解及对分式的加减运算能力的掌握．分式的加减运算先看是同分母加减还是异分母加减，异分母加减关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 先将原式化成同分母的分式再进行运算，能约分的要约分． 【详解】解：， 故答案为：1． 24．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的减法，直接根据异分母分式的减法运算法则化简原式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 25．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母的分式加法法则进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【题型7】分式的混合运算 26．（24-25八年级上·河南漯河·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的混合运算，分式的混合运算； （1） 根据乘法公式先计算乘法运算，再合并同类项即可； （2）先计算括号内分式的加法运算，再计算除法运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 27．（24-25八年级上·云南昆明·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式的加法法则计算即可； （2）先根据异分母分式的减法法则进行括号内计算，再计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：      . 28．（24-25八年级上·四川泸州·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 29．（24-25八年级上·陕西延安·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式加、减、乘、除运算法则是解题的关键．根据分式加、减、乘、除运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 30．（22-23八年级上·北京丰台·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 先计算括号内的，再计算除法即可求解． 【详解】解：原式 ． 31．（2023·甘肃天水·一模）先化简：，然后在0，1，2中选取合适的值代入求值． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵，， ∴x取2，则原式． 【题型8】分式化简求值 32．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则准确化简，代入数值后正确计算． 先按照分式运算顺序和法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 33．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）先化简分式，再从中选一个合适的整数求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴ 又∵中的整数， ∴，则原式． 34．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 且且， 在的范围内可以取整数0， 当时，原式． 35．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）先化简：，然后从，0，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ，， ， 当时， 原式 【题型9】解分式方程 36．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘，将分式方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解是． 37．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟知分式方程需检验是解题的关键． （1）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （2）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， ∴， 解得：， 经检验，增根， ∴原方程无解． 38．（23-24八年级上·辽宁营口·期末）解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：， 原方程两边同乘，去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 故原方程无解． 39．（24-25八年级上·云南昭通·期末）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程： （1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； 【详解】（1）解：去分母，得：   解得：； 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：去分母，得：   解得：； 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 40．（24-25八年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可； （2）先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母，方程两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 经检验，是原分式方程的解， ； （2）解：， ， 去分母，方程两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 经检验，是原分式方程的增根， 故原分式方程无解． 【题型10】已知分式方程的解求参数 41．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是解题的关键． 先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验，当，即方程无意义，故， ∵关于的方程的解为正数， ∴，即． 综上，的取值范围为且． 故选B． 42．（24-25九年级上·山东威海·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 43．（24-25八年级上·山东淄博·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键．先求解方程，然后将分式方程的增根代入求解即可． 【详解】解：关于的分式方程有增根， 解得， 分式方程有增根， 故答案为：． 44．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若关于的方程无解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程和分式方程无解的问题，解决本题的关键是熟练解方程． 先求解分式方程，将方程的解用含a的代数式表示，再根据方程无解得出，然后求出a值． 【详解】解： 去分母得到， 解得 由于分式方程无解，故，即， 则 ∴ 故答案为：． 45．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义． （1）将代入分式方程，再解方程即可； （2）先解分式方程可得，再根据分式方程无解得：，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：当时，分式方程为， 去分母，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：， 去分母，得， 整理，得， ∵原分式方程无解， ∴分式方程产生增根，增根为， ∴， ∴． 46．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的知识，根据分式方程有增根，则该方程无解，解出，即可求出． 【详解】解： 去分母得，， 移项，合并同类项得，， ∵有增根， ∴该方程无解，即， 解得：， ∴ ∴． 47．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知关于的分式方程． (1)若这个分式方程的解是，求的值； (2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）将代入方程中求解即可； （2）先解分式方程，然后由方程的解是非负数列不等式求解即可，注意分式有意义的条件． 【详解】（1）解：∵这个分式方程的解是， ∴， 解得； （2）解：去分母，得， 解方程，得， ∵分式方程的解是非负数， ∴且， 解得：且． 【题型11】分式方程应用题 48．（2025·山西大同·二模）随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个A产品比购进一个B产品多5元，且用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等．求购进一个A产品，一个B产品各需要多少元？ 【答案】购进一个A产品元，购进一个B产品元 【分析】本题主要考查分式的运用，理解数量关系，正确列分式方程求解是关键． 设购进一个B产品元，则购进一个A产品元，根据数量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设购进一个B产品元，则购进一个A产品元， ∵用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等 ∴， 解得，， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解，则（元） ∴购进一个A产品元，购进一个B产品元． 49．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）2024年6月，我市发生“”特大暴雨，引发多地山体滑坡、泥石流等严重自然灾害．国道205线是连接闽粤的交通要道，其中田心桥被洪水冲毁，当地公路中心紧急组织施工队，计划修建保通便道120米．施工前公路中心接到抢险救灾应急中心通知，要求尽快修建保通便道．施工队按公路中心要求，每天修建保通便道的长度比原计划多，结果比原计划提前4天完成任务．请问：施工队原计划每天修建保通便道多少米？ 【答案】10米 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设施工队原计划每天修建保通便道x米，则实际每天修建保通便道米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出答案． 【详解】解：设施工队原计划每天修建保通便道x米，则实际每天修建保通便道米，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：施工队原计划每天修建保通便道10米． 50．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆． (1)求每辆型汽车进价是多少万元？ (2)若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多可以购买A型汽车多少辆？ 【答案】(1)B型汽车的进价为每辆10万元； (2)最多可以购买36辆A型汽车． 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解决本题的关键． （1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，根据总费用不超过1182万元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解， 答： B型汽车的进价为每辆10万元； （2）解：设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，A型车每辆进价：（万元）， 依题意得：， 解得：， 答：最多可以购买36辆A型汽车 51．（24-25八年级上·云南临沧·期末）某文创商店第一次用400元购进一款热销的创意徽章，很快售完．第二次用900元继续购进这款徽章，第二次购进时，每个徽章的进价比第一次便宜1元，且第二次购进的数量是第一次的3倍．该商店前后两次销售这款徽章时，每个徽章的售价相同，在销售了第二次购进数量的后，该款徽章的热度逐渐退去，该商店立即将剩余徽章打七折销售，很快售完． (1)该商店第一次购进了这款徽章多少个？ (2)已知两次购进的创意徽章销售完后的总利润不低于920元，第一次销售时，每个徽章的售价至少是多少元？ 【答案】(1)该商店第一次购进这款徽章100个 (2)第一次销售时，每个徽章的售价至少是6元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设该商店第一次购进这款徽章x个，则第二次购进这款徽章个，根据每个徽章的进价比第一次便宜1元列分式方程，求解即可； （2）设第一次销售时，每个徽章的售价是m元，根据总利润不低于920元列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进这款徽章x个，则第二次购进这款徽章个， 由题意得：， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴该商店第一次购进这款徽章100个； （2）设第一次销售时，每个徽章的售价是m元， 由（1）可得，该商店第二次购进这款徽章300个， 由题意得：， 解得：． ∴第一次销售时，每个徽章的售价至少是6元． 52．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件； (2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 【答案】(1)60件 (2)5台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设人工每人每小时分拣件，根据每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时，列出方程进行求解即可； （2）设需要安排台分拣机，根据快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，列出不等式，求出最小正整数解即可． 【详解】（1）解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件， 根据题意得，，解得， 检验：当时，， ∴是方程的解，且符合题意， 答：人工每人每小时分拣60件． （2）解：设需要安排台分拣机， 由题意，得：，解得， ∵为正整数， ∴的最小值为5， 答：至少需要安排5台这样的分拣机． 53．（24-25八年级上·河南新乡·期末）为改善道路通行条件，某市在周年国庆前夕将城市一段主干道进行拓宽改造．该项工程若由甲工程队单独施工，恰好能在规定时间内完成；若由乙工程队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙两个工程队先合作施工天，那么余下的工程由甲工程队单独施工还需天完成． (1)求这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元．为了缩短工期以减少对交通的影响，工程指挥部决定该工程由甲、乙两个工程队合作来完成，则该工程的施工费用是多少？ 【答案】(1)天 (2)万元 【分析】（）设这项工程的规定时间是天，根据题意列出方程即可求解； （）根据（）的结果求出甲、乙两队合作完成所需的时间，进而列式计算即可； 本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天， 由题意得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：这项工程的规定时间是天； （2）解：该工程由甲、乙两队合作完成，所需时间为天， 则该工程的施工费用是 万元， 答：该工程的施工费用为万元． 54．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)在试验田四周修建隔离网（图中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 【答案】(1)“丰收2号”单位面积产量为高 (2)12 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式方程的应用，明确题意，正确列式是解答本题的关键． （1）根据产量除以试验田面积，再比较出两块试验田单位面积产量的大小即可； （2）用a表示出两块试验田的周长，再由丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍解答即可． 【详解】（1）解：由题意，得：“丰收1号”单位面积产量为，“丰收2号”单位面积产量为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴“丰收2号”单位面积产量高； （2）由图可知，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田的周长分别为， ∵丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每m造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每m造价的2倍， ∴， 解得， 经检验，是方程的解， ∴a的值为12． 55．（24-25八年级上·广西来宾·期末）综合与应用 【问题情境】 为迎接新春佳节的购物高峰，某品牌服装店准备购进甲、乙两种服装，已知甲服装每件进价比乙服装每件进价多20元，用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同． 【问题解决】 （1）甲、乙两种服装每件进价分别是多少元？ 【拓展应用】 （2）该品牌服装店计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件，且购进100件服装的费用不超过15250元，问有哪几种符合条件的进货方案？ （3）在（2）的条件下，该品牌服装店在进价的基础上提高作为甲、乙两种服装的售价，甲服装再以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该品牌服装店应选择哪种进货方案才能获得最大利润？ 【答案】（1）乙服装的进价为 140 元，甲服装的进价为 160 元；（2）有三种方案：甲服装的进货量为 60件，乙服装的进货量为 40件；甲服装的进货量为61件，乙服装的进货量为 39件；甲服装的进货量为62 件，乙服装的进货量为38 件；（3）应选择甲服装购进 62件，乙服装购进件，才能获得最大利润 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用及整式加减的应用． （1）设乙种服装的进价x元，甲种服装进价元．根据用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同，列分式方程求解即可； （2）设计划购买y件甲种服装，则购买件乙种服装，根据甲种服装不少于60件，且购进这100件服装的费用不得超过15250元得，解得的整数，即可解答； （3）根据题意，甲种服装的售价为元，乙种服装的售价为元，由（2）中三种方案分别计算比较即可． 【详解】解：（1）设乙种服装的进价x元，甲种服装进价元． 根据题意：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则（元） 答：乙服装的进价为 140 元，甲服装的进价为 160 元； （2）设计划购买y件甲种服装，则购买件乙种服装， 根据甲种服装不少于60件，且购进这100件服装的费用不得超过15250元， 得， 解得：， ∵为正整数， ∴， 则有三种方案： 甲服装的进货量为 60件，乙服装的进货量为（件）； 甲服装的进货量为61件，乙服装的进货量为（件）； 甲服装的进货量为62 件，乙服装的进货量为（件）； （3）根据题意，甲种服装的售价为元， 乙种服装的售价为元， 当甲服装购进 60件，乙服装购进件，则利润为：（元）； 当甲服装购进 61件，乙服装购进件，则利润为：（元）； 当甲服装购进 62件，乙服装购进件，则利润为：（元）； ∴ ∵， ∴， ∴， 答：应选择甲服装购进 62件，乙服装购进件，才能获得最大利润． 【题型12】零指数幂与负整数指数幂 56．（24-25八年级上·云南临沧·期末）计算：． 【答案】6 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，立方根定义，二次根式性质，是解题的关键．根据零指数幂，负整数指数幂，立方根定义，二次根式性质，进行计算即可． 【详解】解： ． 57．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂，有理数乘方，零指数幂运算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 58．（24-25八年级上·广东汕头·期末）计算：． 【答案】2025 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解： ． 【题型13】科学计数法 59．（23-24八年级下·云南红河·期末）金箔锻制技艺，俗称“打金箔”，是国家级非物质文化遗产代表性项目．人工打出的金箔更加柔软齐整，可以打出的最薄金箔厚度约为．数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 60．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）航天员的宇航服加入了可以抵御太空的高温的气凝胶．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于，0.00000002用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解∶， 故选∶A． 61．（24-25八年级上·浙江台州·期末）“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键．这里的． 【详解】解：． 故选：A． 62．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）由国际宇航联合会主办的第75届国际宇航大会于2024年10月14日至18日在意大利米兰举办，在此次大会中中国探月工程嫦娥六号任务从月球背面采样返回带来的月壤首次面向全球展出，展示的月壤样品重75毫克，即0.075克，将0.075用科学记数法表示应是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 故选：B． 53．（24-25八年级上·江西上饶·期末）5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅，已知硅原子的半径约为0.000000000117米．将数据“0.000000000117”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：将数据“0.000000000117”用科学记数法表示为； 故选：C． $$专题01 分式（十三大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 分式有意义的条件（高频） · 题型二 分式值为0条件 · 题型三 分式的求值（高频） · 题型四 分式的基本性质运用（高频） · 题型五 分式的乘除法运算 · 题型六 分式加减运算 · 题型七 分式的混合运算（重点） · 题型八 分式化简求值（重点） · 题型九 解分式方程（高频） · 题型十 已知分式方程的解求参数（易错） · 题型十一 分式方程应用题（重点） · 题型十二 零指数幂与负整数指数幂 · 题型十三 科学计数法 【题型1】分式有意义的条件 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）若分式有意义，则x的取值应满足（  ） A． B． C． D．且 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 3．（2025·广西河池·模拟预测）要使分式有意义，的取值应满足 ． 【题型2】分式值为0条件 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知分式的值为0，则a的值为（   ） A． B．0 C．3 D． 5．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若分式的值为0，则 ． 6．（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）若分式的值为零，则 ． 【题型3】分式的求值 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·云南红河·期末）已知，则的值是 9．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知，那么 ． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，则 ． 【题型4】分式的基本性质运用 11．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）对于分式，当a，b都扩大到原来的2倍时，分式的值是（   ）． A．不变 B．扩大2倍 C．扩大6倍 D．扩大12倍 12.（24-25八年级上·江西赣州·期末）分式中，x和y都扩大到原来的5倍，分式的值（      ） A．不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的 13．（24-25八年级上·福建厦门·期末）若把分式中的x与y都扩大2倍，则所得分式的值（ ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 14．（24-25八年级上·四川南充·期末）若把分式中的和都扩大倍，那么该分式的值（    ） A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不变 15．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）若，则下列分式的化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5】分式的乘除法运算 16．（24-25九年级上·山西大同·期末）化简的结果是（   ） A． B． C．3 D． 17．（24-25八年级上·山东威海·期末）（ ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）计算：． 20．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）化简：． 【题型6】分式加减运算 21．（24-25八年级上·河南郑州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·福建泉州·期末）计算： ． 23．（22-23八年级上·北京·期末）化简的结果为 ． 24．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）化简： ． 25．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）计算： ． 【题型7】分式的混合运算 26．（24-25八年级上·河南漯河·期末）计算： (1)； (2)． 27．（24-25八年级上·云南昆明·期末）计算： (1)； (2)． 28．（24-25八年级上·四川泸州·期末）化简：． 29．（24-25八年级上·陕西延安·期末）化简：． 30．（22-23八年级上·北京丰台·期末）计算：． 31．（2023·甘肃天水·一模）先化简：，然后在0，1，2中选取合适的值代入求值． 【题型8】分式化简求值 32．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中． 33．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）先化简分式，再从中选一个合适的整数求值． 34．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 35．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）先化简：，然后从，0，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【题型9】解分式方程 36．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）解方程：． 37．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）解方程： (1)； (2)． 38．（23-24八年级上·辽宁营口·期末）解方程：． 39．（24-25八年级上·云南昭通·期末）解下列分式方程： (1) (2) 40．（24-25八年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【题型10】已知分式方程的解求参数 41．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 42．（24-25九年级上·山东威海·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 43．（24-25八年级上·山东淄博·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 44．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若关于的方程无解，则 ． 45．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若该分式方程无解，求的值． 46．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若关于的分式方程有增根，求的值． 47．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知关于的分式方程． (1)若这个分式方程的解是，求的值； (2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围． 【题型11】分式方程应用题 48．（2025·山西大同·二模）随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个A产品比购进一个B产品多5元，且用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等．求购进一个A产品，一个B产品各需要多少元？ 49．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）2024年6月，我市发生“”特大暴雨，引发多地山体滑坡、泥石流等严重自然灾害．国道205线是连接闽粤的交通要道，其中田心桥被洪水冲毁，当地公路中心紧急组织施工队，计划修建保通便道120米．施工前公路中心接到抢险救灾应急中心通知，要求尽快修建保通便道．施工队按公路中心要求，每天修建保通便道的长度比原计划多，结果比原计划提前4天完成任务．请问：施工队原计划每天修建保通便道多少米？ 50．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆． (1)求每辆型汽车进价是多少万元？ (2)若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多可以购买A型汽车多少辆？ 51．（24-25八年级上·云南临沧·期末）某文创商店第一次用400元购进一款热销的创意徽章，很快售完．第二次用900元继续购进这款徽章，第二次购进时，每个徽章的进价比第一次便宜1元，且第二次购进的数量是第一次的3倍．该商店前后两次销售这款徽章时，每个徽章的售价相同，在销售了第二次购进数量的后，该款徽章的热度逐渐退去，该商店立即将剩余徽章打七折销售，很快售完． (1)该商店第一次购进了这款徽章多少个？ (2)已知两次购进的创意徽章销售完后的总利润不低于920元，第一次销售时，每个徽章的售价至少是多少元？ 52．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件； (2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 53．（24-25八年级上·河南新乡·期末）为改善道路通行条件，某市在周年国庆前夕将城市一段主干道进行拓宽改造．该项工程若由甲工程队单独施工，恰好能在规定时间内完成；若由乙工程队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙两个工程队先合作施工天，那么余下的工程由甲工程队单独施工还需天完成． (1)求这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元．为了缩短工期以减少对交通的影响，工程指挥部决定该工程由甲、乙两个工程队合作来完成，则该工程的施工费用是多少？ 54．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)在试验田四周修建隔离网（图中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 55．（24-25八年级上·广西来宾·期末）综合与应用 【问题情境】 为迎接新春佳节的购物高峰，某品牌服装店准备购进甲、乙两种服装，已知甲服装每件进价比乙服装每件进价多20元，用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同． 【问题解决】 （1）甲、乙两种服装每件进价分别是多少元？ 【拓展应用】 （2）该品牌服装店计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件，且购进100件服装的费用不超过15250元，问有哪几种符合条件的进货方案？ （3）在（2）的条件下，该品牌服装店在进价的基础上提高作为甲、乙两种服装的售价，甲服装再以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该品牌服装店应选择哪种进货方案才能获得最大利润？ 【题型12】零指数幂与负整数指数幂 56． （24-25八年级上·云南临沧·期末）计算：． 57．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）计算：． 58．（24-25八年级上·广东汕头·期末）计算：． 【题型13】科学计数法 59．（23-24八年级下·云南红河·期末）金箔锻制技艺，俗称“打金箔”，是国家级非物质文化遗产代表性项目．人工打出的金箔更加柔软齐整，可以打出的最薄金箔厚度约为．数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 60．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）航天员的宇航服加入了可以抵御太空的高温的气凝胶．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于，0.00000002用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 61．（24-25八年级上·浙江台州·期末）“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 62．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）由国际宇航联合会主办的第75届国际宇航大会于2024年10月14日至18日在意大利米兰举办，在此次大会中中国探月工程嫦娥六号任务从月球背面采样返回带来的月壤首次面向全球展出，展示的月壤样品重75毫克，即0.075克，将0.075用科学记数法表示应是（　　） A． B． C． D． 53．（24-25八年级上·江西上饶·期末）5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅，已知硅原子的半径约为0.000000000117米．将数据“0.000000000117”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． $$