专题05 轴对称图形（考题猜想，七大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版2024）

专题05 轴对称图形（七大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 轴对称图形的识别（高频） · 题型二 折叠问题 · 题型三 垂直平分线的性质（高频） · 题型四 垂直平分线的判定 · 题型五 角平分线性质应用（重点） · 题型六 作图-垂直平分线与角平分线 · 题型七 最短路径问题（重点） 【题型1】轴对称图形的识别 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）2024年中国体育代表团在巴黎奥运会上夺得40金27银24铜，创造了我国境外奥运参赛的最佳成绩，下列四个运动图标中，轴对称图形是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）下列图标中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·青海海西·二模）下列图形中是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【题型2】折叠问题 4．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西临汾·二模）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，下列说理中错误的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一条直线的两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 6．（24-25七年级下·天津·期中）如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交于D，交于E，连接，若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，将一张长方形的纸条沿折叠，若折叠后，交于点，则的度数是 ． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为 ． 9．（24-25七年级下·上海·期中）如图，长方形的四个内角都是，点在上，将沿翻折得到，点与点对应，如果比大，那么 ． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ． 【题型3】垂直平分线的性质 12．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是（   ）    A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 15．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 16．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为21，，则的长为 ． 【题型4】垂直平分线的判定 17．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 18．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 19．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． (1)证明：是线段的垂直平分线； (2)若，求的度数． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 21．（24-25八年级上·河南安阳·期末）“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ； (2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明； (3)如图，若，，求筝形的面积． 22．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 【题型5】角平分线性质应用 23．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，O是三个内角平分线的交点，若面积为36，且O到边的距离为4，则的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 24．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 25．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ． 27（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【题型6】作图-垂直平分线与角平分线 28．（2025·广西南宁·一模）如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若．求证：． 29．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等； (2)若，，，求点到的距离． 30．（24-25九年级下·广东珠海·期中）如图，是等腰直角三角形，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，延长至点，使，连接．求证：． 31．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：在内部求作一点，使，且； (2)连接，若，求的大小． 【题型7】最短路径问题 32．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 34．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，则的周长最小值是 ． 35．（24-25八年级下·湖南湘西·开学考试）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 36．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． $$专题05 轴对称图形（七大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 轴对称图形的识别（高频） · 题型二 折叠问题 · 题型三 垂直平分线的性质（高频） · 题型四 垂直平分线的判定 · 题型五 角平分线性质应用（重点） · 题型六 作图-垂直平分线与角平分线 · 题型七 最短路径问题（重点） 【题型1】轴对称图形的识别 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）2024年中国体育代表团在巴黎奥运会上夺得40金27银24铜，创造了我国境外奥运参赛的最佳成绩，下列四个运动图标中，轴对称图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选： C． 2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）下列图标中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此解答即可． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（2025·青海海西·二模）下列图形中是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念求解即可．熟知如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【题型2】折叠问题 4．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换，掌握长方形纸条的性质和翻折不变性成为解题的关键． 根据长方形纸条的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减掉即可得的度数． 【详解】解：如图：延长到H，由于纸条是长方形， ∴， ∴， 根据翻折不变性得， ∴， 又∵， ∴，． 在梯形中，， 根据翻折不变性，． 故选C． 5．（2025·山西临汾·二模）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，下列说理中错误的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一条直线的两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点的直线，根据平行线的判定方法求解． 【详解】解：如图， 由题图（2）的操作可知， 所以， 由题图（3）的操作可知， 所以， 所以， 所以可依据同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行，或同旁内角互补，两直线平行判定， 故选：C． 6．（24-25七年级下·天津·期中）如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交于D，交于E，连接，若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据三角形的周长公式可得，则可得，然后根据三角形的周长公式计算即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：D． 7．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，将一张长方形的纸条沿折叠，若折叠后，交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、翻折变换（折叠问题）、由平行线的性质得出，由折叠的性质得出，即可得出答案；正确观察图形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将一张长方形的纸条沿折叠，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数是． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 由折叠性质可知，，又，则，设，然后根据平角定义求出的值即可． 【详解】解：由折叠性质可知，， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海·期中）如图，长方形的四个内角都是，点在上，将沿翻折得到，点与点对应，如果比大，那么 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，设，则，，由折叠的性质可得，，求出，由平行线的性质可得，，计算即可得解． 【详解】解：设，则， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题的关键是利用翻折的性质得到角之间的等量关系，再结合平行线的性质建立关于的等式． 先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解． 【详解】沿翻折到的位置， ． 将沿翻折到的位置， ， ． ， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合求解，即可解题． 【详解】解：为的垂直平分线，， ， ， 则 ； 故答案为：． 【题型3】垂直平分线的性质 12．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可得的周长为，则可求得答案．解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 13．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．要使点P到点A，B，C的距离相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得出答案． 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：点P是的三边垂直平分线的交点． 故选：C． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，关键掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质求出DE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：平分，，， ， 的面积， 故选：C． 15．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的相关知识点是解题关键． 根据作图描述得垂直平分，可得，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得，垂直平分， ， ． 故答案为： 16．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为21，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可 【详解】解：根据尺规作图可知，垂直平分线段 ∵的周长为21， 故答案为：12． 【题型4】垂直平分线的判定 17．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此可证明； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长． 【详解】（1）证明：∵，垂足为D，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴的周长． 18．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 19．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． (1)证明：是线段的垂直平分线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键． （1）根据垂直平分线的性质，结合题意得到，即是等腰三角形，由“三线合一”得到，由此即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，则，所以有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵点是中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线； （2）解：∵垂直平分，是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点、在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ，分别是和的高， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， 点、在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 21．（24-25八年级上·河南安阳·期末）“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ； (2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明； (3)如图，若，，求筝形的面积． 【答案】(1)垂直平分， (2)见解析 (3)30 【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据题意易得垂直平分，； （2）根据中垂涎的判定方法，全等三角形的判定方法进行判断即可； （3）分割法求出筝形的面积即可． 【详解】（1）解：观察可知：垂直平分，； 故答案为：垂直平分，； （2）性质1：∵，， ∴点均在线段的中垂线上， ∴垂直平分； 性质2：∵， ∴； （3）∵垂直平分， ∴． 22．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再证， 得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线； （2）∵， ∴， ∴ ∴， 解得：， 即的长为5． 【题型5】角平分线性质应用 23．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，O是三个内角平分线的交点，若面积为36，且O到边的距离为4，则的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积． 先根据角平分线的性质得到O到边的距离都为4，再利用三角形面积公式得到，然后整理求出的值即可． 【详解】解：∵O是三个内角平分线的交点， ∴点O到的距离相等， ∵O到边的距离为4， ∴O到边的距离都为4， ∴， ∴， 即的周长为18． 故选：C． 24．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度． 【详解】解：作交于点E，作交于点F，连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， 即， ∴． 故选：B． 25．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：6． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的高， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∵， ∴的面积等于， 故答案为：8． 27（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 【题型6】作图-垂直平分线与角平分线 28．（2025·广西南宁·一模）如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握是解题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线即可； （2）由题意得，，，，根据全等三角形判定边角边即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，，，即为所求； （2）解：证明：为平分线， ． 又， ． 在和中， （SAS）． 29．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等； (2)若，，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键； （1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作出的角平分线与交于点P即可； （2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）解：过点作，垂足为． 由（1）得平分， 又， ，即到的距离为3． 30．（24-25九年级下·广东珠海·期中）如图，是等腰直角三角形，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，延长至点，使，连接．求证：． 【答案】(1)作图见详解 (2)证明过程见详解 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，尺规作角平分线的方法是关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据题意，证明即可求解． 【详解】（1）解：根据尺规作角平分线的方法作图如下， ∴点即为所求点的位置； （2）解：如图所示， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 又， ∴， ∴． 31．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：在内部求作一点，使，且； (2)连接，若，求的大小． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）分别以点和点为圆心，大于的一半为半径画弧交于两点，连接两点，作出的垂直平分线，再作的角平分线，交垂直平分线于，故点即为所求作的点． （2）先由，，证明，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、作线段的垂直平分线、作角平分线，垂直平分线的性质、等边对等角，熟练掌握尺规作线段的垂直平分线，角平分线是解题的关键． 【题型7】最短路径问题 32．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 【答案】A 【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 34．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，则的周长最小值是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、轴对称、最短路线问题等知识，将周长的最小值转化为是解题的关键． 连接，由是的垂直平分线，得，则，由两点之间线段最短可知的最小值为，即可得出答案． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 点、、三点在一条直线上时，的最小，最小值为， 最小值为，此时点与点重合， 周长的最小值为， 故答案为：13． 35．（24-25八年级下·湖南湘西·开学考试）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：15． 36．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，连接，过点作，可得，根据垂线段最短可知当、、三点共线且时，的最小值为，结合面积法求解即可． 【详解】解：连接，过点作， ，，，， ，， ， 当、、三点共线且时，的最小值为， ， ，即的最小值为， 故答案为：． $$