专题08 三角函数与解三角形（北京专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题08 三角函数与解三角形 题型概览 题型01三角变换及求值 题型02三角函数的图象与性质 题型03解三角形 题型04三角函数与导数等知识交汇 ( 题型01 )三角变换及求值 1．（2025·北京朝阳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．1 2．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京西城·一模）在长方形中，为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，写出一个符合题意的 . 5．（2025·北京石景山·一模）如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为 6．（2025·北京延庆·一模）已知是第四象限角且，，则的值为 . 7．（2025·北京房山·一模）若对任意实数恒成立，则满足条件的一组的值为 ， . ( 题型0 2 ) 三角函数的图象与性质 1．（2025·北京海淀·一模）已知函数的部分图象如图所示．若，，，四点在同一个圆上，则（   ） A．1 B． C． D． 2．（2025·北京西城·一模）已知函数．若，则（   ） A． B．或 C． D．或 3．（2025·北京门头沟·一模）已知函数，满足，且在区间上具有单调性，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 5．（2025·北京东城·一模）已知函数，若的最小正周期为，则 ；若存在，使得，则的最小值为 . 6．（2025·北京丰台·一模）已知函数的部分图象如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则 ， . 7．（2025·北京通州·一模）设函数 (1)若，求的值. (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值. 条件①：在区间上单调递减； 条件②：； 条件③：为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分， 8．（2025·北京石景山·一模）已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分． 9．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. ( 题型03 ) 解三角形 1．（2025·北京石景山·一模）在中，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（2025·北京通州·一模）在中，已知，，.则 . 3．（2025·北京顺义·一模）在中，，，则 . 4．（2025·北京海淀·一模）在中，已知，． (1)求的值； (2)若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 5．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 6．（2025·北京西城·一模）在中，． (1)求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 7．（2025·北京房山·一模）在中，. (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 8．（2025·北京门头沟·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 9．（2025·北京丰台·一模）在中，． (1)求； (2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 10．（2025·北京朝阳·一模）在中， (1)求c的值； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 11．（2025·北京平谷·一模）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 12．（2025·北京延庆·一模）在中，，. (1)求b； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使为锐角三角形，并求的面积. 条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. ( 题型04 )三角函数与导数等知识交汇 1．（2025·北京房山·一模）已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·北京朝阳·一模）某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线，互相平行，桥DE与河岸所在直线垂直．休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A，B，C处，其中入口A点（定点）在桥DE上，且A到直线，的距离分别为，（为定值），入口B，C分别在直线，上，公园的一边AB与直线所成的锐角为，另一边AC与AB垂直．设该休闲公园的面积为，当变化时，下列说法正确的是（   ）    A．函数的最大值为 B．函数的最小值为 C．若，且则 D．若，且，则 3．（2025·北京平谷·一模）已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 4．（2025·北京海淀·一模）如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论： ①； ②最大值是35； ③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到的距离等于15米． 其中所有正确结论的序号为 ． 5．（2025·北京丰台·一模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②对任意实数a，都没有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，，则对任意正整数i，都有； ④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有. 其中所有正确结论的序号为 . 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角函数与解三角形 题型概览 题型01三角变换及求值 题型02三角函数的图象与性质 题型03解三角形 题型04三角函数与导数等知识交汇 ( 题型01 )三角变换及求值 1．（2025·北京朝阳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】将给定的两个等式平方相加，再逆用差角的余弦公式即得. 【详解】由，，得， 整理得，所以.故选：B 2．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到，利用诱导公式和倍角公式得到AB错误，C正确，举出反例得到D错误. 【详解】由题意得，A选项，，A错误；B选项，，B错误；C选项，，C正确；D选项，，若，此时，D错误.故选：C 3．（2025·北京西城·一模）在长方形中，为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，分析可知，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】设，则，如下图所示： 因为，，，所以，，所以，，故，因此，.故选：B. 4．（2025·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，写出一个符合题意的 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据终边相同的角以及余弦函数的定义，计算即可. 【详解】由题意，，则或故答案为：（答案不唯一）. 5．（2025·北京石景山·一模）如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为 【答案】/0.6 【分析】先根据三角函数的定义可得，进而结合诱导公式求解即可. 【详解】由题意，点的横坐标为，则，则.故答案为：. 6．（2025·北京延庆·一模）已知是第四象限角且，，则的值为 . 【答案】 【分析】由已知求得，再根据两角差的正切公式计算即可． 【详解】因为是第四象限角且，所以，，因为，所以，则.故答案为：. 7．（2025·北京房山·一模）若对任意实数恒成立，则满足条件的一组的值为 ， . 【答案】 1 【分析】应用诱导公式计算求解即可. 【详解】若对任意实数恒成立，则满足条件的一组的值为，.故答案为：1；（答案不唯一）. ( 题型0 2 ) 三角函数的图象与性质 1．（2025·北京海淀·一模）已知函数的部分图象如图所示．若，，，四点在同一个圆上，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解. 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称，故为圆心，故， ,,故，解得，故选：D 2．（2025·北京西城·一模）已知函数．若，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期性和对称性求解. 【详解】因为，则该函数的最小正周期为，由可得，所以，函数的对称轴方程为，因为，则或，故选：B. 3．（2025·北京门头沟·一模）已知函数，满足，且在区间上具有单调性，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由满足，且在区间上具有单调性，得到为函数的对称中心，根据三角函数的性质，得到，结合选项，即可求解. 【详解】因为满足，且在区间上具有单调性，则点和关于点对称，即为函数的对称中心，又由函数的零点为，解得，所以，解得， 当时，，即的值可以是.故选：B. 4．（2025·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由，得，进而结合题意可得，进而求解即可. 【详解】由，，则，因为在区间上没有最值， 所以，则，解得，所以的最大值为.故选：A. 5．（2025·北京东城·一模）已知函数，若的最小正周期为，则 ；若存在，使得，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由正弦型函数的最小正周期公式可求，由题意可得为函数的最大值或最小值，由题意可得或，可求的最小值. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得，因为，又，所以为函数的最大值或最小值， 要使最小，则最大值与最小值应在同一个周期内，由，则， 则或，解得，所以的最小值为.故答案为：①；②. 6．（2025·北京丰台·一模）已知函数的部分图象如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则 ， . 【答案】 2 【分析】先根据|MN|与周期的关系求出；再利用图象过的点求出；最后将代入函数求. 【详解】已知，是直线与曲线的两个相邻交点，且. 设则.且，则，则，同理，因此.解得. 因为函数的图象过点，可得，所以，，则，.由于，则，那么. 将代入可得：.故答案为：2； . 7．（2025·北京通州·一模）设函数 (1)若，求的值. (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值. 条件①：在区间上单调递减； 条件②：； 条件③：为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分， 【答案】(1) (2)选择条件①或③，. 【分析】（1）利用得，再结合的范围即可； （2）选择条件①或③，则可利用最小值和最大值求出半周期，即可求，再根据最值即可求解；若选择②，因不在值域范围内，故不存在解析式. 【详解】（1）由题意可知，即，因，则. （2）条件①：在上单调递减，在上单调递增，且，则在处取最小值，在处取最大值，则，，则，，因，则，则； 条件②：因，则不可能成立，故无解析式； 条件③：因，则在处取最大值，又为函数图象的一条对称轴，且在上单调递增，则在处取最小值，则，，则，，因，则，则.综上可知，若选择条件①或③，则；若选择条件②，则不存在解析式. 8．（2025·北京石景山·一模）已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）分析易得要使函数唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数的性质求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； 【详解】（1）①，由，得； ②，由是的对称中心，得，则，； ③，由，因为可以由函数平移得到，则，.由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③. 选①③，由上述可知，，，，则，即，所以或，，则或，，又，则，即. 选②③，由上述可知，，，，，则，，即，， 又，则，即. （2）由，得，则，则， 所以函数在上的最大值为2，最小值为. 9．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式即可求解； （2）关于条件①，从函数的周期，以及单调区间两方面限制求出的取值范围；关于条件②求出函数对称中心表达式，将代入，确定的取值；关于条件③根据已知条件确定，从而确定的取值；再从选条件①②、①③、②③三种情况分别确定的值，再利用函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）对于条件①：在上是单调函数，因为在上是单调函数，所以，所以，又因为，解得，因为，解得，所以函数的单调单调递增区间为：， 若函数在上单调递增，则，整理有， 当时，，解得， 当时，无解，得其他值时不等式无解； 因为，解得，所以函数的单调单调递减区间为：， 若函数在上单调递减，则，整理有， 当时，，解得， 当时，无解，得其他值时不等式无解； 对于条件②：图象的一个对称中心为，因为，解得，所以函数的对称中心为，若是图象的一个对称中心，则，解得； 对于条件③：对任意的，都有成立，则时，函数取得最大值，有，解得； 若选条件①②，则有，方程无解，或，时，， 所以，因为，所以，因为在区间上仅有一个零点，所以，，解得； 若选条件①③，则有有，方程无解，或，时，， 所以，因为，所以，因为在区间上仅有一个零点，所以，，解得； 若选条件②③，则有，即，方程解不唯一，此时取值不唯一，所以函数不唯一，不合要求. ( 题型03 ) 解三角形 1．（2025·北京石景山·一模）在中，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】因为，即，由正弦定理，所以， 所以，又，所以，所以.故选：A 2．（2025·北京通州·一模）在中，已知，，.则 . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理求解，即可根据余弦的二倍角公式求解. 【详解】由正弦定理可得，故，故,故答案为：. 3．（2025·北京顺义·一模）在中，，，则 . 【答案】/ 【分析】先根据正弦定理，结合三角形内角和定理，把化成，再结合，利用二倍角公式可得，再判断角的取值范围，即可求得. 【详解】根据正弦定理，.所以， 又，所以.所以， 所以.因为为三角形内角，所以， 所以，所以.又，所以， 所以为锐角，所以.故答案为： 4．（2025·北京海淀·一模）在中，已知，． (1)求的值； (2)若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】（1）转化已知条件求得，解得正弦定理，即可求得； （2）对条件①：求得，由其可为钝角，也可为锐角，从而判定三角形不唯一；对条件②，由，判定角唯一，且三角形唯一，再由正弦定理求得，以及，即可求得其面积；对条件③，求得，由，判定为锐角，三角唯一，同理求得，即可求得三角形面积. 【详解】（1）因为，则， 又，，故，也即； 又，由正弦定理可得：，解得. （2）由（1）可知，，又为锐角，故，又； 若选择条件①：，由正弦定理可得，解得， 此时，可以为锐角，也可以时钝角，故此时三角形有两解，不满足题意，条件①不能选择； 若选择条件②：，则，由正弦定理，可得； 此时，两角均为锐角，故三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 若选择条件③：，又，解得， 因为，又为锐角，故也是锐角，此时，三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 综上所述：条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为. 5．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，；(2)证明见解析. 【分析】（1）由正弦值得，再应用余弦定理列方程求得，最后应用三角形面积公式求面积； （2）由（1）及二倍角余弦公式得，再应用余弦定理求得，结合三角形内角的性质即可证. 【详解】（1）在中,所以是锐角，. 由，可得，而， 所以，可得，则，故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 6．（2025·北京西城·一模）在中，． (1)求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)条件选择见解析，答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值； （2）对于条件①，利用余弦函数的单调性求出角的取值范围，结合三角形的内角和定理推出矛盾，可值条件①，不符合要求； 选择条件②，求出的值，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合等面积法可求出边上的高； 选择条件③；求出、的值，利用两角和的正弦公式可求出的值，利用正弦定理求出的值，进而可得出边上的高为，求解即可； 【详解】（1）由正弦定理，且， 得，即． 由，得．所以． 由，得，所以． （2）选择条件①：因为，且余弦函数在上单调递减， 故，又因为，从而可得，与三角形的内角和定理矛盾，故①不成立. 选择条件②：由，且，得． 由余弦定理，得，解得或（舍）． 设边上的高为，则三角形面积，所以． 选择条件③：由，且，得． 由，且，得． 所以． 由正弦定理，得，所以边上的高． 7．（2025·北京房山·一模）在中，. (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式计算得出余弦值进而得出角； （2）选择条件①三角形不存在；选择条件②应用同角三角函数关系得出，再应用正弦定理及余弦定理计算求出边长，最后应用面积公式计算；选择条件③先应用正弦定理得出，再应用余弦定理得出，最后应用面积公式计算. 【详解】（1）由正弦定理，得. 所以.所以.因为，所以. 所以.所以. （2）选条件①：，，由余弦定理，得. ，不存在； 选条件②：.由，可得.由正弦定理，得.由余弦定理，得，整理得.解得，或（舍）.所以的面积. 条件③：.因为，且，所以.由余弦定理，得.解得，或（舍） 所以的面积. 8．（2025·北京门头沟·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)解答见解析 【分析】（1）利用正弦定理：边化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出答案； （2）①利用正弦定理可得为锐角或钝角；②利用基本不等式和三角形的性质可得存在且唯一确定；③利用正弦定理和余弦定理可得存在且唯一确定. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，， 又，所以，得到，又， 又，所以，得到，所以. （2）选条件①：，； 由（1）知，，根据正弦定理知， 所以存在或两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件； 选条件②：，因为，即， 又，所以，所以只有成立，存在且唯一确定，所以的面积为. 选条件③：边上的高，； 如图所示，边上的高，在中，，即， 由（1）知，，根据余弦定理知，， 化简得，得(舍去)或，存在且唯一确定， 所以的面积为. 9．（2025·北京丰台·一模）在中，． (1)求； (2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用余弦定理的推论，将等式进行变形即可求出的值，在由同角三角函数的基本关系即可求解； （2）选择条件①时，利用面积公式求出，再利用正弦定理得，联立求解即可；选择条件②：利用面积公式求出，利用，且，所以．进一步得出，再联立求解即可；选择条件③：不符合题意，因为，不可能． 【详解】（1）在中，因为， 由余弦定理，得．因为，所以． （2）选择条件①：因为，所以，． 由题意得，所以．因为，， 所以． 由正弦定理，得，又，解得，所以． 选择条件②：由题意得，所以．因为，且，所以．又，所以，又，解得或． 选择条件③：不符合题意，因为中，，不可能． 10．（2025·北京朝阳·一模）在中， (1)求c的值； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解的值； （2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长. 【详解】（1）由正弦定理及 得． 所以． 所以． 又因为，所以． 所以． （2）选条件①：因为，且， 所以． 因为，所以．所以． 又因为，所以． 所以． 又，所以． 所以的周长为． 选条件②：因为边上的高为，所以． 又因为，所以． 所以． 因为，所以． （1）当时，由，得． 又，所以．所以．所以的周长为． （2）当时，由，得． 又，所以，不符合题意． 综上，的周长为． 选条件③： 由余弦定理，可得，即。 解得或，此时不唯一，不符合要求. 11．（2025·北京平谷·一模）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求解， （2）根据三角形存在可知不能选①，选②，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解，或者利用正弦定理求解，进而根据和差角公式求解,由面积公式求解，选③根据高，即可利用选②的方法求解. 【详解】（1）方法一：由正弦定理及，得 .① 因为， 所以.② 由①②得 因为，所以. 所以.因为，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理得， 整理得 所以，所以. （2）若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①. 选条件②： 方法一：由余弦定理，得 即，解得. 所以 方法二：由正弦定理，所以，因为 ，所以， 所以. 选条件③： 边上的高，所以， 以下与选择条件②相同. 12．（2025·北京延庆·一模）在中，，. (1)求b； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使为锐角三角形，并求的面积. 条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解； （2）若选择①②，应用余弦定理结合锐角三角形，即可判断；若选择③应用余弦定理及同角三角函数关系，以及三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，因为，再由 可得.所以，即， 所以.因为，所以. （2）选择条件①：，，， 由余弦定理得，， 因为为锐角三角形，所以不符合题意，不存在三角形； 选择条件②： 在中，设点为的中点，则，， 中，根据余弦定理 解得，所以，所以， 因为，所以为锐角三角形，所以， 在中，. 选择条件③：在中，为锐角三角形，因为，所以， 所以，，，所以，所以， 所以，解得或舍. 所以，所以为锐角三角形， 所以，在中，. ( 题型04 )三角函数与导数等知识交汇 1．（2025·北京房山·一模）已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据正弦函数的对称性，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案. 【详解】由函数，则易知其图象对称中心， 当时，为函数图象的对成中心，则当时，，充分性成立； 当时，由，可能得到，必要性不成立.故选：A. 2．（2025·北京朝阳·一模）某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线，互相平行，桥DE与河岸所在直线垂直．休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A，B，C处，其中入口A点（定点）在桥DE上，且A到直线，的距离分别为，（为定值），入口B，C分别在直线，上，公园的一边AB与直线所成的锐角为，另一边AC与AB垂直．设该休闲公园的面积为，当变化时，下列说法正确的是（   ）    A．函数的最大值为 B．函数的最小值为 C．若，且则 D．若，且，则 【答案】D 【分析】主要涉及三角函数以及三角形面积公式的应用.首先根据直角三角形中的三角函数关系，分别求出AB和AC的长度表达式，再根据三角形面积公式得到的表达式，最后对该表达式进行分析，判断各个选项的正确性. 【详解】在中，，，根据正弦函数的定义，可得. 因为，，所以，在中，，根据余弦函数的定义，可得. 对于，，将，代入可得：，进一步化简为，. 对于选项A，因为，所以，.当取最小值（取不到），最大值时，没有最大值，所以A错误. 对于选项B，由，，当，即，时，取得最小值，所以B错误. 对于选项C，当时，，单调递增，单调递减；当时，，单调递减，单调递增. 所以若且，不一定有，C错误. 对于选项D，若且，则，.因为，，所以，D正确. 故选：D. 3．（2025·北京平谷·一模）已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】作出函数的图象， 根据的位于不同的位置，即可分情况求解. 【详解】如图所示，的图象，此时，函数的最小正周期为 ，点, 当点在点时，点在曲线上， ， 当点在曲线上从接近时，减小，所以逐渐增大； 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，减小，逐渐减小， 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，增大, 逐渐增大， 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，增大,逐渐见减小， 当点在点时，, 综上可得的最小值是1，故选：B 4．（2025·北京海淀·一模）如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论： ①； ②最大值是35； ③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到的距离等于15米． 其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③ 【分析】根据题意，可求得在第分钟距离地面的竖直高度为，逐项判断即可求解. 【详解】转轮与转轮分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，可得最小正周期，，所以，， 又的半径为10米，的圆心距离地面竖直高度为20米，所以第分钟，点距离地面的高度为：，第分钟，距离地面的竖直高度为：， 化简得， 所以，故①正确； 当，即时，得最大值，为，故②错误； 若到的距离等于15米，则点Q在线段PM上，则需, 所以不存在，使得时到的距离等于15米．故④错误； 因为旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，所以可得点在圆周上的速度为，同理可得点在圆周上的速度为，所以点在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟，故③正确. 故答案为：①③. 5．（2025·北京丰台·一模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②对任意实数a，都没有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，，则对任意正整数i，都有； ④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有. 其中所有正确结论的序号为 . 【答案】②④ 【分析】①取特殊值，根据导数与函数的单调性的关系即可判断； ②对进行分类讨论，即可判断； ③结合①②的情况进行判断即可. 【详解】对于①，当时，，则，存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时，，则在上单调递增； 当时，,,,则在上没有最小值； 当时，,,,则在上没有最小值； 故②正确； 对于③，结合①②，当时，在的零点，最大的①中的，， 当时，当时，存在零点，所以这两个零点距离大于，故③错误；对于④，，因为是对勾函数，可以取到，，所以可以取到,故④正确.故答案为：②④. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$