专题07 平面向量与复数（北京专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题07 平面向量与复数 题型概览 题型01复数的概念及其运算 题型02复数的几何意义 题型03有关向量的模、数量积的运算 题型04向量与圆锥曲线等知识交汇 ( 题型01 )复数的概念及其运算 1．（2025·北京朝阳·一模）设复数的共轭复数为，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 2．（2025·北京延庆·一模）已知，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B．1 C． D．4 3．（2025·北京顺义·一模）复数的共轭复数为，且满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（2025·北京东城·一模）若复数满足，则 . 5．（2025·北京西城·一模）设为虚数单位，则 ． ( 题型0 2 )复数的几何意义 1．（2025·北京海淀·一模）在复平面内，复数对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·北京石景山·一模）在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（2025·北京门头沟·一模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·北京丰台·一模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（   ） A．5 B． C．3 D． ( 题型0 3 )有关向量的模、数量积的运算 1．（2025·北京顺义·一模）已知平面向量，满足，，，则（    ） A．6 B．3 C． D． 2．（2025·北京房山·一模）已知向量，若，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（2025·北京门头沟·一模）已知向量，满足，，且，的夹角为，则（   ） A． B． C．5 D．10 4．（2025·北京延庆·一模）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 5．（2025·北京西城·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（   ） A．44 B．48 C．72 D．76 6．（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 7．（2025·北京石景山·一模）设，，，则 ． 8．（2025·北京东城·一模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 9．（2025·北京西城·一模）设平面向量，，，且，则使得向量与共线的一组值 ， ． ( 题型0 4 ) 向量与圆锥曲线等知识交汇 1．（2025·北京顺义·一模）已知,点M满足，则的可能取值是（    ） A．4 B． C．1 D． 2．（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 4．（2025·北京通州·一模）已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（   ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 5．（2025·北京房山·一模）已知是抛物线的焦点，则的坐标为 ，设是直线上一点，直线与抛物线的一个交点为，若，则点到轴的距离为 . 6．（2025·北京海淀·一模）已知向量，，则的最大值为 ；与的夹角的取值范围是 ． 7．（2025·北京朝阳·一模）在棱长为的正方体中，点P是底面内的动点，给出下列四个结论： ①的最小值为；②的最小值为； ③的最大值为；④的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平面向量与复数 题型概览 题型01复数的概念及其运算 题型02复数的几何意义 题型03有关向量的模、数量积的运算 题型04向量与圆锥曲线等知识交汇 ( 题型01 )复数的概念及其运算 1．（2025·北京朝阳·一模）设复数的共轭复数为，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】求得复数，进而利用复数的乘法运算可求. 【详解】因为复数，所以复数的共轭复数为，所以.故选：C. 2．（2025·北京延庆·一模）已知，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算及复数的相关概念得解. 【详解】因为为实数，所以，解得。 3．（2025·北京顺义·一模）复数的共轭复数为，且满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】设，代入已知条件利用复数相等求解，再求出，最后由复数的乘法求解即可. 【详解】设，所以即为，整理得：，所以，解得，所以，，.故选：A 4．（2025·北京东城·一模）若复数满足，则 . 【答案】/ 【分析】应用复数除法的几何意义及模长求法求结果. 【详解】由题设，则.故答案为： 5．（2025·北京西城·一模）设为虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的乘除法运算法则计算即可. 【详解】.故答案为：. ( 题型0 2 )复数的几何意义 1．（2025·北京海淀·一模）在复平面内，复数对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再确定对应点的坐标的位置. 【详解】复数，则对应点为.故选：D. 2．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得，故复数z对应的点为，位于第二象限.故选：B 3．（2025·北京石景山·一模）在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，则复数在复平面内对应的点为，又复数对应的点坐标为，所以.故选：D 4．（2025·北京门头沟·一模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数与复平面内点的对应关系求出复数，再根据复数的除法运算法则计算. 【详解】已知复数对应的点的坐标是，所以. 将代入，可得. 即：.故选：B. 5．（2025·北京丰台·一模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据复数在复平面内对应点的坐标写出复数的表达式，再利用复数模的计算公式求出该复数的模. 【详解】已知复数对应的点的坐标为，所以复数. ，则.故选：B. ( 题型0 3 )有关向量的模、数量积的运算 1．（2025·北京顺义·一模）已知平面向量，满足，，，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的运算律，建立方程，可得答案. 【详解】由，则，由，则，解得.故选：D. 2．（2025·北京房山·一模）已知向量，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先由向量垂直的坐标表示求出，然后再由模长的计算可得. 【详解】若，则，即又， .故选：D. 3．（2025·北京门头沟·一模）已知向量，满足，，且，的夹角为，则（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】运用向量的数量积的运算和向量的坐标运算即可. 【详解】由题意得 .故选：C. 4．（2025·北京延庆·一模）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据向量共线的充要条件得解即可. 【详解】因为，，所以，因为，所以，解得，故选：B 5．（2025·北京西城·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（   ） A．44 B．48 C．72 D．76 【答案】B 【分析】利用坐标法可得，设点到原点的距离为，则的最大值为，利用数形结合法可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】设点，正六边形的边长为4，所以，所以，所以，设点到原点的距离为，则的最大值为，由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，如图，可取，所以，即的最大值为48.故选：. 6．（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据题意确定为直角三角形并求出线段的长，然后以为基底去计算的值即可. 【详解】由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心，所以为直角三角形，，所以，又因为，所以所以，又因为E为边上的动点，所以， ， 因为，所以即所以的最大值为6.故选：C 7．（2025·北京石景山·一模）设，，，则 ． 【答案】 【分析】先求出，由可得，进而结合勾股定理求解即可. 【详解】由，得，因为，所以，即， 所以.故答案为：. 8．（2025·北京东城·一模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 【答案】 【分析】根据网格写出向量的模，再平移向量求出与的夹角的余弦值，应用向量的数量积公式求解即可. 【详解】平移向量与共起点，易看出的夹角为，；，， ，的夹角的余弦值，的夹角为， .故答案为：；. 9．（2025·北京西城·一模）设平面向量，，，且，则使得向量与共线的一组值 ， ． 【答案】 （答案不唯一，填也对） （答案不唯一，第一空填，则第二空填，第一空填，则第二空填） 【分析】由条件根据向量的模的坐标公式，向量共线的坐标表示列方程求，的关系，由此可得结论. 【详解】因为，，所以，即，因为，，所以，又向量与共线，，所以，所以，所以，所以或，所以或， ( 题型0 4 ) 向量与圆锥曲线等知识交汇 1．（2025·北京顺义·一模）已知,点M满足，则的可能取值是（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设点，由条件求得点的轨迹为圆心在，半径为的圆，将理解为圆外的点到圆上的点的距离，结合图形即得的范围，即可判断. 【详解】设点，由，整理得：，即点的轨迹为圆心在，半径为的圆，因，即点在圆外，则表示圆外的点到圆上的点的距离，如图，有.故选：B. 2．（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断. 【详解】若，，所以，， 当时，，当时，，此时 故“”是“”的不充分条件，因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”；综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D 3．（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上，则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则，故，；则，设，，故，当且仅当时取得等号；也即的最小值为.故选：C. 4．（2025·北京通州·一模）已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（   ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 【答案】C 【分析】根据,可得，即可根据坐标运算以及夹角公式得，分离常数后构造函数，根据导数求解函数的最值即可求解. 【详解】设，由得，故,因此， 故，由于 ， 则， 则， 令， 故在上单调递增，由于，故当在上恒成立，在上恒成立，故在单调递减，在单调递增，故当时，取到极小值也是最小值，因此因此，故由于恒成立，故，故选：C 5．（2025·北京房山·一模）已知是抛物线的焦点，则的坐标为 ，设是直线上一点，直线与抛物线的一个交点为，若，则点到轴的距离为 . 【答案】 1 【分析】由抛物线性质可知焦点坐标；过作垂直于直线，由比例关系得出到轴的距离. 【详解】抛物线的焦点，准线.过作垂直于直线于，则轴.设直线与轴交于点，因为，所以，，由轴得，，所以，因此点到轴的距离为1.    6．（2025·北京海淀·一模）已知向量，，则的最大值为 ；与的夹角的取值范围是 ． 【答案】 ； . 【分析】根据不等式，即可直接求得的最大值；设，将与的夹角余弦值用坐标表达，通过求其值域，即可求得夹角的范围. 【详解】由题可知，，故，当且仅当同向时取得等号，故的最大值为；不妨设，满足；则，，，设与的夹角为，则，则，令，故，根据对勾函数的单调性可知，在单调递减，在单调递增，又当时，，当或时，，故，又，故. 7．（2025·北京朝阳·一模）在棱长为的正方体中，点P是底面内的动点，给出下列四个结论： ①的最小值为；②的最小值为； ③的最大值为；④的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】设点、、、关于平面的对称点分别为、、、，设底面、的中心分别为点、，作出图形，推导出，，求出的最小值，可判断①④；由对称性得出，进而可判断②；取点和点重合，可判断③. 【详解】设点、、、关于平面的对称点分别为、、、， 设底面、的中心分别为点、，如下图所示： 对于①，易知为的中点，则，可得，所以，， 当点与点重合时，底面，此时，取最小值，即的最小值为，①对； 对于④， ，当点与点重合时，底面，此时，取最小值，则的最小值为，④对；对于②，由对称性可知，，则，当且仅当点为线段与平面的交点时，取最小值，②对；对于③，当点与点重合时，，所以，的最大值不是，③错.故答案为：①②④. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$