专题06 数列（北京专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题06 数列 题型概览 题型01 数列的递推公式 题型02等差数列的性质及其前n项和 题型03等比数列的性质及其前n项和 题型04数列中的新定义问题 ( 题型0 1 )数列的递推公式 1．（2025·北京房山·一模）已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是常数列，则 D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2 【答案】C 【分析】当时，得到，当时，得到，数列不能构成等比数列，可判定A错误；当时，求得，可判定B错误；若数列为常数列，得到，结合二次函数的性质，求得，可判定C正确；假设列是周期数列，且最小正周期为，得到且，结合，得到，化简求得，这与矛盾，可判定D错误. 【详解】对于A中，若，可得，即，当且时，两边取对数，可得，即，此时数列表示首项为，公比为的等比数列；当时，可得，此时，数列不能构成等比数列，故A错误；对于B中，当时，可得，即，例如：当时，由，可得，又由，可得，此时，所以，当，数列是不一定是递增数列，所以B错误；对于C中，若数列为常数列，则，因为，即，又因为，所以， 所以的取值范围为，所以C正确；对于D中，假设数列是周期数列，且最小正周期为，即且，因为，可得，所以，则，即，又因为数列的各项均为正数，即， 所以，即，这与矛盾，所以数列的最小正周期不可能是，所以D错误. 故选：C. 2．（2025·北京东城·一模）已知数列满足，且.给出下列四个结论： ①若，当时，； ②若，当时，； ③若，对任意正数，存在正整数，当时，； ④若，对任意负数，存在正整数，当时，.其中正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】先根据构造新数列是首相为，公比为的等比数列，得出，再构造新数列是首相为，公比为的等比数列，从而求出数列的通项公式；对于①，利用作差法即可判断；对于②，取即可判断错误；对于③，求解不等式，利用放缩法找到正整数即可；对于④，求解不等式，利用放缩法找到正整数即可. 【详解】因为且，所以，所以是首相为，公比为的等比数列，所以，即，所以，又，所以是首相为，公比为的等比数列，所以，即， 对于①，若，当时， ， 当且为奇数时，； 当且为偶数数时，； 综上，即，故①正确； 对于②，若，取，则，故②错误； 对于③，若，则， 对任意正数，由得， 所以，又， 当时上式一定成立，即， 故存在正整数，当时，，故③正确； 对于④，若，则，对任意负数，由得，所以，又，当时成立，即，故存在正整数，当时，，故④正确；故答案为：①③④ 3．（2025·北京门头沟·一模）已知数列满足，，给出下列四个结论： ①存在，使得为常数列； ②对任意的，为递增数列； ③对任意的，既不是等差数列也不是等比数列；④对于任意的，都有. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④ 【分析】若为常数列，可得，显然不成立，可判断①；由，可判断②；若是等差数列，可得常数，得到矛盾；若是等比数列，根据递推公式，得到矛盾判断③；两边平方得，迭代计算可判断④./ 【详解】对于①，若为常数列，则，根据递推公式，可得，进而可得，解得，又，故不存在，使得为常数列，故①错误；对于②，对于，由递推公式，可得，所以，，所以，所以数列是递增数列，结论②正确；对于③，若是等差数列，则为常数，可得常数，则可得是常数数列，则，与矛盾，故对任意的，既不是等差数列， 若是等比数列，则为常数。根据递推公式，即为常数，则为常数数列，则可得，这与矛盾，所以对任意的，不是等比数列；综上所述：对任意的，既不是等差数列也不是等比数列，故③正确；对于④，由，两边平方得，故④正确.故答案为：②③④. 4．（2025·北京平谷·一模）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论： ①； ②若为递增数列，则的取值范围是； ③存在实数，使得为等比数列； ④，使得当时，总有. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】根据的递推关系可得，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，进而得，即可结合选项求解. 【详解】由得，相减可得， 由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列， 对于①，，故正确； 对于②，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以， 若，则需要，则，故正确， 对于③，，若为等比数列，则为常数，则， 此时，故，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故错误， 对于④，若，只要足够大，一定会有 ， 则，只要足够的大， 趋近于0， 而，显然能满足，故，当时，总有，故正确， 故答案为：①②④ 5．（2025·北京石景山·一模）已知有穷数列：，，…，经过一次M变换后得到数列：，，…，，． 其中，表示a，b中的最小者．记数列A的所有项之和为． (1)若：1，3，2，4，写出数列并求； (2)若：，，…，是1，2，3，…，n的一个排列，例如，当时，4，1，3，2可以为1，2，3，4的一个排列． （i）当时，求的最小值； （ii）若经过一次M变换后得到数列，求的最小值． 【答案】(1)：1，2，2，1；； (2)（i）9；（ii） 【分析】（1）根据变换的定义写出数列，再计算得； （2）（i）分析得的所有项中至多有两个1和两个2，则得到其最值； （ii）分若，和讨论即可. 【详解】（1）由题意，，即1，2，2，1． 所以． （2）（i）由题意知，中元素两两互异，故中的任一元素， 如，在中至多在和中出现两次（规定，）， 且若出现两次则这两个数处于邻位（和也视为邻位）． 所以的所有项中至多有两个1和两个2．所以． 当为1，4，2，5，3时等号能取到，所以的最小值为9． （ii）同（i）可知，中的任一元素若在中仅出现一次，则在中至多出现两次； 若在中出现两次，由于这两个数处于邻位，故在中至多出现三次． ①若，则， 当满足时等号能取到． ②若，则． 当满足时等号能取到． ③若，则． 当满足时等号能取到． 综上，． ( 题型0 2 )等差数列数的性质及其前n项和 1．（2025·北京通州·一模）已知等差数列满足：，且，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【分析】根据题意求出首项和公差，进而可求出通项，即可得解. 【详解】设公差为，由，，得，解得，所以，所以.故选：D. 2．（2025·北京东城·一模）已知是各项均为正整数的无穷等差数列，其中的三项为，则的公差可以为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【分析】由题意可得只能是常数数列或单调递增数列，结合中的三项为，可求得公差的可能值. 【详解】因为是各项均为正整数的无穷等差数列，所以只能是常数数列或单调递增数列， 若中的三项为，则它们在数列中的位置只能是排在前，排在后，由，，由同时是公差的倍数，所以公差可以为.选：C. 3．（2025·北京丰台·一模）已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，则“，”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定两者之间的条件关系. 【详解】若，这意味着是数列中的最大值.因为是公差不为的等差数列，所以该数列的前项和是关于的二次函数（且二次项系数不为），其图象是一条抛物线.当是最大值时，说明从第项开始数列的项变为非正数，即，且（若，那么，与是最大值矛盾）.所以由“”可以推出“”，充分性成立. 若，仅知道第项是非负的，但无法确定就是的最大值.例如，当公差时，数列是递增数列，那么会随着的增大而增大，此时就不是最大值，即不能推出，必要性不成立. 因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 4．（2025·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了 尺布.” 【答案】11 【分析】记公差为，根据已知求出再利用等差数列的通项公式求解. 【详解】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为，由题得，所以所以.故答案为：11 5．（2025·北京朝阳·一模）干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的组合来表示年份，循环纪年．比如某一年为甲子年‘，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年为乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此类推．已知2025年是乙巳年，则2025年之后的首个己巳年是 年．（用数字作答） 【答案】2049 【分析】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，分析计算可得解. 【详解】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从2025年是乙巳年，以2025年的天干和地支分别为首项，因为地支为巳，则经过的年数为12的倍数，又因为2025年为天干为乙，到天干为已，需经过丙、丁、戊、己，故经过年数除以10的余数为4，故需经过24年，所以2025年之后的首个已巳年是2049.故答案为：2049. 6．（2025·北京房山·一模）已知是等差数列，且，则的通项公式 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的基本量运算求出，代入通项即可. 【详解】设等差数列的公差为，由，因代入解得， 故.故答案为：. ( 题型0 3 )等比数列的前n项和问题 1．（2025·北京朝阳·一模）已知是等比数列，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比和首项，再根据等比数列的通项公式求出、、，最后计算的值. 【详解】已知，，可得公比.再将，代入通项公式，可得，解得. 可得：；；. 可得：.故选：A. 2．（2025·北京延庆·一模）已知等比数列的公比为q，前n项和为.若，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于B：根据通项公式可得恒成立，进而可得；对于A：利用B项结论直接判断；对于C：根据等比数列求和公式分析判断；对于D：通过通项作差比较即可判断； 【详解】对于选项B：因为，且对恒成立，则，整理可得恒成立，则，故B正确；对于选项A：因为，故A正确；对于选项C：因为，由B项已得，，则，，而，则，故C错误；对于选项D：因为，即，故D正确.故选：C. 3．（2025·北京平谷·一模）在等比数列中，，记，则数列（    ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式求出，进而结合等差数列的求和公式可得，设，分析可得，进而求解判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，由， 则，解得，，则， 则， 设，则，所以，则时，，即，当时，，即，则，则为最大项，此时为正数项，且在正数项中最大；再由,，，因此为最小项.故选：C. 4．（2025·北京海淀·一模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列等比数列的性质来判断. 【详解】若是递增数列，则对所有的正整数都成立， 充分性：若是递增数列，则 即恒成立，又，， ①若数列为无穷数列， 若，则，时，，所以； 若，则，时，，所以，此时充分性成立； ②若数列为有穷数列， 若， ，只需即可，此时充分性不成立. 必要性：时， 若，有，则不一定成立，故必要性不成立； 即时，“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5．（2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，举出反例即可得到充分性不满足，再由数列单调性的定义，即可验证必要性满足，从而得到结果. 【详解】假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为， 当时，满足，但是不是递减数列，故充分性不满足； 若为递减数列，则对于任意的，必然有，故必要性满足； 所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件. 故选：B 6．（2025·北京西城·一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 【答案】D 【分析】利用基本量法，可求出公比满足，根据前项和与前项积的定义进行讨论计算，可以得出有最小值，而有最大值. 【详解】由已知，是等比数列，，即，可得， 若，则，可计算当时，， 结合，可得即为的最小值， 同理，当，，当，，可知的最小值为， 综上可得，有最小值.由可得，，根据等比数列的性质，，必有满足对于所有，，因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值.综上，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值.故选：D 7．（2025·北京石景山·一模）等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式求出与的关系，再根据充分条件和必要条件的定义判断甲是乙的什么条件. 判断充分性时，看由甲能否推出乙；判断必要性时，看由乙能否推出甲. 【详解】已知等比数列中，若，设公比为.根据等比数列通项公式，即，解得.再根据通项公式求，所以由能推出，充分性成立. 若，同样根据等比数列通项公式，即，解得，则.又因为，所以由能推出，必要性成立.由于充分性和必要性都成立，所以甲是乙的充要条件. 故选：C. ( 题型0 4 ) 数列中的新定义问题 1．（2025·北京延庆·一模）数列中，若存在，使得“且”成立，（，）则称为的一个峰值.若，则的峰值为 ；若，且不存在峰值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质结合数列峰值的定义即可求出数列的峰值；构造函数，利用导数求出函数的单调区间，再结合数列峰值的定义即可得解. 【详解】由，函数的对称轴为，又，所以，所以的峰值为；若，则，令，则，当时，，所以函数在上单调递减，则数列是递减数列，符合题意；当时，令，则，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，要使数列不存在峰值，则，即，解得，综上所述，实数的取值范围为. 2．（2025·北京海淀·一模）对于无穷数列和正整数，若存在满足且，则称数列具有性质．下列选项中错误的是（   ） A．若，则数列不具有性质 B．若，则数列具有性质 C．存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质 D．若数列和均具有性质，则具有性质 【答案】D 【分析】A利用是个不同的正整数，可得不可能相等；B求为偶数时数列的通项公式，取为个不同的偶数；C取，利用性质的定义证明；D取，，再利用性质的定义证明. 【详解】因，则，由于是个不同的正整数，因此不可能相等，故数列不具有性质，故A正确；B，，故当为偶数时，，此时， 故取为个不同的偶数，此时，则数列具有性质，故B正确；取，由A选项可知，数列不具有性质；取， 则，由于是个不同的正整数，因此不可能相等， 故数列不具有性质；，则， 故任取为个不同的正整数， 有，则数列具有性质，故C正确； 取，，则当为奇数时，， 故取为个不同的奇数，此时， 故数列具有性质；当为偶数时，，故取为个不同的偶数， 此时，故数列具有性质；，则，由于为个不同的正整数，则，，，不可能相等， 此时数列不具有性质，故D错误.故选：D 3．（2025·北京门头沟·一模）已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质. (1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由； (2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由； (3)若，且存在具有性质，求的取值范围. 【答案】(1)具有，理由见解析； (2)不存在，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用定义计算即可； （2）根据数列中各项的取值范围，结合定义判定当时至少需要子列含4个数与任意4项子列和大于3矛盾即可； （3）根据新定义结合第一、二问举例说理即可. 【详解】（1）根据定义知取，有；取，有， 取，有，即对任意，都存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，所以：，，，，，，具有性质； （2）不能，理由如下： 假设，具有性质，因为，所以M的任意四项和小于4， 所以，则对于M的任意四项子列S，不妨设， 有，又具有性质，，所以M的任意三项和小于3， 故不存在的子列其各项和为3，与具有性质矛盾，所以时，不存在具有性质； （3）由题可知，时，又，所以，由（2）道理相同可知，，取， 因为，，， 所以具有性质，综上. 4．（2025·北京西城·一模）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且满足与均是公差不为的等差数列． … … … … 若根据条件，能求出数表中所有的数，则称能被确定． (1)已知，分别根据下列条件，直接判断数表能否被其确定： 条件“已知”； 条件“已知”． (2)设条件“任意给定数表中的个数”，能被确定，证明：的最小值为； (3)设条件“已知集合或其中中的任意个元素”，求的最小值，使得能被确定． 【答案】(1)数表不能被确定，数表能被确定 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题中定义直接判断即可； （2）对于一个公差为的等差数列，若知其中两项与，便可根据，求出该等差数列中的每一项．分析可知，数表中每一列都至少有两个数已知，由此可得出的最小值； （3）先讨论，结合（1）中的结论可判断不成立，再讨论，通过等差数列的定义进行逻辑推理，可推断出数表能被确定，由此可得出的最小值. 【详解】（1）数表不能被确定；数表能被确定． 对于条件，假设数表中每行、每列的公差都相等，均为， 则，，， 则， 、均无法确定，故数表不能被确定； 对于条件，因为、确定，可以根据确定，则第二行可以全部确定， 对于第二列，由于确定，结合可确定第二列的公差，进而可求出，则第二列可以全部确定， 对于第三行，由于确定了，结合可求出第三行的公差，由此可确定，则第三行可以全部确定， 对于第一列，由于确定了、，可以求出第一列的公差，由此可确定，则第一列可以全部确定， 综上所述，数表可由条件确定. （2）对于一个公差为的等差数列，若知其中两项与， 便可根据，求出该等差数列中的每一项． 故对于数表中的任意一行（或列），若知道其中的两个数，便可利用条件得到该行（或列）中的所有数． 一方面，若知这个数，则无法求出，故不能得出数表中所有的数， 所以． 另一方面，若知数表中的任意个数，则必存在表中的两行，且这两行中至少有两个数已知， 于是数表中这两行的数都能被求出，即数表中每一列都至少有两个数已知， 所以数表中所有的数都能求出，即能被确定． 综上，的最小值为． （3）当时，若知中的个数，则不能求出中所有的数． 当时，已知与中的任意个数， 则必存在两个数在中位于同一行（记为第行），从而可求出这一行中的所有数． 因为与中至多有两个数在同一行， 所以除去第行的两个数外，余下已知的个数必在其余的行中． 当时，通过列举可知：余下已知的2个数不在同一列中（所在列分别记为第列和第列）； 当时，，因为在与中至多有两个数在同一列， 所以至少有两列（记为第列和第列）中含有这已知的数中的数．又因为第行的数均已得到， 所以在第列与第列中均至少知道两个数，故这两列中所有的数都可求出， 于是数表中每一行至少有两个数均已得到，从而可求出数表中所有的数． 综上，的最小值为． 5．（2025·北京海淀·一模）设正整数，对于数列，定义变换，将数列变换成数列：．已知数列满足．记． (1)若：，写出数列，； (2)若为奇数且不是常数列，求证：对任意正整数，都不是常数列； (3)求证：当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，直接写出答案； （2）利用反正法，假设存在常数列，并建立方程，可证矛盾；另法：分情况写出常数列的结果反推前一种变换的数列，可得矛盾； （3）首先证明，若，其中，则存在项的数列，使得对任意的正整数都不是常数列．其次证明：若，其中，对任意，都存在正整数是常数列． 【详解】（1）由题意可得；. （2）证明：设，其中． 假设存在正整数，使得是常数列，由不是常数列， 不妨设不为常数列且为常数列， 记，则．令 当时，因为，且，所以． 故．此时为常数列，矛盾． 另法： ①若，则，有 此时为常数列，矛盾． ②若，则， 有， 矛盾． 综上，对于任意正整数，都不是常数列. （3）首先证明，若，其中，则存在项的数列，使得对任意的正整数都不是常数列．证明：构造项的数列，其中， 构造项的数列 对任意的正整数，设，则 由于不是常数列，故不是常数列． 其次证明：若，其中，对任意，都存在正整数是常数列． 证明：假设存在，其中，使得存在数列， 使得对任意的正整数都不是常数列，不妨设的最小值为． 情形一：，则，记，则为常数列，矛盾． 情形二：，对任意的数列，则 记，定义数列，其中． 则． 则依此类推，对任意正整数，记， 存在正整数，使得为常数列，记，则数列均为常数列， 设，则的各项均为．即时，是常数列，矛盾． 综上，当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列． 6．（2025·北京通州·一模）已知数列（N是大于3的整数）为有穷数列，定义为“卷积核”数列满足： (1)若数列，卷积核，求数列B. (2)设，已知且，，若.求证：数列B中最大的项为，（表示a，b中的最大值）. (3)已知且不全为0，卷积核，是否存在数列A，使得数列B的任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，理由解析 【分析】（1）要算，从开始往后选三项与进行点积即可， （2）方法一：由可知数列的首尾项相同，成对称结构，且，从一直递增到中间项，再对称地递减，要证明数列中最大的项就从中间项开始点积，即可求证，方法二：利用作差法即可证明. （3）方法一：当为偶数时，存在数列:符合题意，当为奇数时，利用反证法求证得为常数列，产生矛盾得解.方法二：利用反证法即可证明. 【详解】（1）, ,所以数列 （2）方法一：依题意有 当时，由 又则， 即当时，，当时，记，由即当时，， 综上可得：数列B中最大的项为. 方法二：由已知可得.当时，， 因为>0,所以 当时，，因为<0,所以因为 所以因为 所以，所以，所以当时，, 所以数列中最大的项为或或.因为 所以 因为，所以，所以. （与无法比较大小，假设，当时数列B的最大值为， 当时，数列B的最大值为；当时，数列B的最大值为.） 综上，数列中最大的项为或. （3）方法一：当为偶数时，取数列的通项， 此时对,有， 故当为偶数时，存在数列，使得数列的各项为0， 当为奇数时，设且， 下面用反证法证明不存在数列，使得数列的各项为0， 假设存在数列，使得数列的各项为0.为了更好地描述，我们记中不存在的， 则对任意的，有， 上式相减可得，即数列中的奇偶项分别为等差数列， 设， 且有,进而 又由知， 故，整理可得进而代入可得，故，则，取，有，即， 故，因为，故， 由知,故只能为的常数列，不符合题意，假设不成立， 综上，当为偶数时，存在数列:符合题意. 方法二：①当N为偶数时，存在数列A使得数列B的任意一项均为0， 此时可令 ②当N为奇数时，不存在数列A使得数列B的任意一项均为0，证明如下： 假设存在数列A使得数列B的任意一项均为0，因为 所以，，，…,，. 所以，，，，.所以, 所以, 所以所以 因为所以.与不全为0矛盾.所以假设不成立. 7．（2025·北京东城·一模）已知有限数列满足.对于给定的，若中存在项满足，则称有项递增子列；若中存在项满足，则称有项递减子列.当既有项递增子列又有项递减子列时，称具有性质. (1)判断下列数列是否具有性质； ①； ②. (2)若数列中有，证明：数列不具有性质； (3)当数列具有性质时，若中任意连续的项中都包含项递增子列，求的最大值. 【答案】(1)数列①具有性质，数列②不具有性质 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据性质判断即可； （2）利用反证法，假设数列具有性质，则数列中存在项递增的数列和项递减数列，分析可知，存在在中恰出现一次，不妨记为， 记，则必有，再根据数列递增，递减，推导出，推出矛盾，从而说明结论成立； （3）由（2）知，数列中恰有一项既是的项，也是的项，记，所以，，对数列项数最多的子列进行分析，可知递增子列的项数最多为，所以，，然后对为奇数和偶数进行分类讨论，求出的最大值，并通过构造数列确定的最大值能取到，由此可得出结果. 【详解】（1）数列①：具有性质；数列②：不具有性质.理由如下： 对数列①，记该数列为， 该数列有项递增子列：， 该数列有项递减子列：，故数列①具有性质； 对于数列②，记该数列为， 该数列有项递增子列：，该数列没有项递减子列， 故数列②不具有性质. （2）假设数列具有性质，则数列中存在项递增的数列和项递减数列， 因为，所以为，为， 所以对任意的，在中至少存在一项， 因为中有项，所以存在在中恰出现一次，不妨记为， 记，则必有， 因为递增，递减， 所以，数列中排在前面的项至少有，共项， 排在后面的项至少有，共项， 因为数列中有项，所以是第项，即. 这与题设矛盾，所以假设不成立，即数列不具有性质. （3）当数列具有性质时， 记数列的项递增子列为为和项递减子列为， 由（2）知，数列中恰有一项既是的项，也是的项， 记，所以，， 所以数列的前项由组成， 因为， 所以项数最多的递增子列只能是或， 所以递增子列的项数最多为， 数列的后项由组成， 所以项数最多的递增子列是或， 所以递增子列的项数最多为，所以，， 因为，所以 当为奇数，时，有最大值，所以， 构造数列， 该数列具有性质，且满足任意连续的项中，都包含项的递增子列； 当为偶数，时，有最大值，所以， 构造数列， 该数列具有性质，且满足任意连续的项中，都包含项的递增子列， 综上所述，. 8．（2025·北京顺义·一模）已知数列：各项为正整数.对任意正整数，定义：，，其中表示有限集中的元素个数，规定. (1)对于数列：1，3，2，2，写出，，，的值； (2)若数列：满足. （i）若，令，当时，求； （ii）求证：. 【答案】(1)，，，； (2)（i），其中； 【分析】（1）直接根据定义计算即可； （2）（i）根据的定义，可知数列中有两项等于1，从而有，依次类推求和即可. （ii）法一：首先证明当时，等式成立，再利用数学归纳法即可证明；法二：设数列中等于的项分别有个，计算得,，……，，最后求和证明即可. 【详解】（1），，，； （2）（i）令，则，根据的定义，可知数列中有两项等于1， 根据数列的增减性质，可得；令，则， 可知数列中有四项小于等于2，可得， 以此类推可得得前项为， ，其中. （ii）法一：用数学归纳法证明对成立，（**） 当时，令，，， （**）式左边=， （**）式右边=， （**）式左边=（**）式右边，（**）式对成立； 假设时，（**）式成立， 即① 当时，（**）式左边= 设，令， 则,，……，，， （**）式左边=， （**）式右边= 根据①可知（**）式对成立，由数学归纳法原理可知（**）成立. （法二）设数列中等于的项分别有个，则 ，，……，，， 从而,，……，， 注意到 ，等式成立. 9．（2025·北京朝阳·一模）已知，，，为有穷正整数数列，若存在，其使得，其中，则称Q为连续可归零数列． (1)判断：1，3，2和：4，2，4是否为连续可归零数列？并说明理由； (2)对任意的正整数，记，其中表示数集S中最大的数．令，求证：数列，，，不是连续可归零数列； (3)若，，，的每一项均为不大于的正整数，求证：当时，Q是连续可归零数列． 【答案】(1)数列是连续可归零数列，数列不是连续可归零数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）判断数列是否为连续可归零数列，关键看能否找到，使连续项.对于，找到一组使等式成立，所以是连续可归零数列；对于，分的三种情况讨论，根据取值及式子奇偶性判断都不为，所以不是. （2）先根据的值求出数列各项.再依据与奇偶性相同，分或时，因为奇数其余为偶数，和为奇数；再结合取特定值时由第一题结论也不为，得出数列不是连续可归零数列. （3）先定义数列，目标是证对任意，.用反证法，假设存在使超出范围，分和两种情况，推出矛盾，证明该结论成立. 分情况讨论：若有，能找到一组数使式子为，此时数列是连续可归零数列. 若都不为，因为到间非零整数有限，当时，中存在两项相等，进而能找到一组数使式子为，此时数列也是连续可归零数列. 【详解】（1）数列是连续可归零数列，理由如下： 取，则， 所以数列是连续可归零数列． 数列不是连续可归零数列，理由如下： 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以． 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以． 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以． 所以数列不是连续可归零数列． （2）因为1，3，5，7是奇数，故， 所以． 因为，所以． 因为，所以． 所以数列． 因为， 所以与奇偶性相同． 当或时，因为中，为奇数，其余各项均为偶数， 所以为奇数． 所以． 当取时， 由（1）可知， 综上，数列不是连续可归零数列． （3）设， 则是整数数列． 下面证明对任意，均有． 显然满足． 假设结论不成立，则存在，使得或， 且当时都有． （i）若，当时，， 因为，所以，矛盾； 当时，， 因为，所以，矛盾． （ii）若，当时，， 因为，所以，矛盾； 当时，，因为， 又是整数，所以，矛盾． 综上，对任意，均有． 若存在，使得，则存在且，使得， 此时数列是连续可归零数列． 若任意，因为中共个非零整数， 当时，数列中存在且，使得， 从而存在，使得， 此时数列是连续可归零数列． 综上，当时，数列是连续可归零数列． 10．（2025·北京平谷·一模）对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令. (1)若数列，求数列； (2)若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由； (3)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式. 【答案】(1) (2)至少有19对，理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据变换的定义，逆向推导即可； （2）根据中每个1和0在中的对应情况，即可求解和证明； （3）对参数分类讨论，结合变换的定义以及等比数列求和，即可求得结果. 【详解】（1）由变换的定义可得. （2）数列中连续两项相等的数对至多有19对. 证明：对于任意一个“数列”中每一个1在中对应连续四项，在中每一个0在中对应的连续四项为，因此，共有10项的“数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，在中若出现连续两项的数对最多，对于中的每一个第项和第项之间产生一个连续相等的数对，所以中至多有19对连续相等的数对.比如：取，则，. （3）设中有个0，1数对，中的“0，0”数对只能由中的“0，1”数对得到，所以， 中的“0，1”数对有两个产生途径：①由中的1得到；②由中“0，0”得到，由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个.所以，得，由可得，所以， 当时， 若为偶数，．上述各式相加可得， 经检验，时，也满足． 若为奇数，．上述各式相加可得，经检验，时，也满足． 所以． 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 11．（2025·北京丰台·一模）已知无穷递增数列各项均为正整数，记数列为数列的自身子数列. (1)若，写出数列的自身子数列的前4项； (2)证明：； (3)若数列与是公差分别为，的等差数列. （i）证明：； （ii）当，时，求数列的通项公式. 【答案】(1)1，5，9，13； (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）由自身子数列定义即可求； （2）由题意可得，设，即可证明，进而命题得证； （3）（i）根据等差数列的通项公式及题意可得，进而得到，进而命题得证； （ii）分别假设存在，使和成立，分别推出矛盾，进而说明，设，由定义求出，从而得出通项公式. 【详解】（1）因为，所以数列的自身子数列为， 所以前4项为：，即数列的自身子数列的前4项为1，5，9，13. （2）因为数列是递增数列且各项均为正整数，于是， 所以， 设，则，所以. （3）（i）由题得，， 又及是递增数列，得， 即，即， 由于对任意正整数均成立，则，否则矛盾.所以. （ii）由， 若存在，使得，设， 不妨设，有，则， 又，因此与矛盾， 所以对任意，都有.若存在，使得， 设，不妨设，有， 则， 又，因此与矛盾， 所以对任意，都有，综上，对任意，都有.设， 则数列是公差为的等差数列，，又， 因此，又，所以. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数列 题型概览 题型01 数列的递推公式 题型02等差数列的性质及其前n项和 题型03等比数列的性质及其前n项和 题型04数列中的新定义问题 ( 题型0 1 )数列的递推公式 1．（2025·北京房山·一模）已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是常数列，则 D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2 2．（2025·北京东城·一模）已知数列满足，且.给出下列四个结论： ①若，当时，； ②若，当时，； ③若，对任意正数，存在正整数，当时，； ④若，对任意负数，存在正整数，当时，.其中正确结论的序号是 . 3．（2025·北京门头沟·一模）已知数列满足，，给出下列四个结论： ①存在，使得为常数列； ②对任意的，为递增数列； ③对任意的，既不是等差数列也不是等比数列；④对于任意的，都有. 其中所有正确结论的序号是 . 4．（2025·北京平谷·一模）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论： ①； ②若为递增数列，则的取值范围是； ③存在实数，使得为等比数列； ④，使得当时，总有. 其中所有正确结论的序号是 . 5．（2025·北京石景山·一模）已知有穷数列：，，…，经过一次M变换后得到数列：，，…，，． 其中，表示a，b中的最小者．记数列A的所有项之和为． (1)若：1，3，2，4，写出数列并求； (2)若：，，…，是1，2，3，…，n的一个排列，例如，当时，4，1，3，2可以为1，2，3，4的一个排列． （i）当时，求的最小值； （ii）若经过一次M变换后得到数列，求的最小值． ( 题型0 2 )等差数列数的性质及其前n项和 1．（2025·北京通州·一模）已知等差数列满足：，且，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 2．（2025·北京东城·一模）已知是各项均为正整数的无穷等差数列，其中的三项为，则的公差可以为（    ） A． B． C．4 D．3 3．（2025·北京丰台·一模）已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，则“，”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了 尺布.” 5．（2025·北京朝阳·一模）干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的组合来表示年份，循环纪年．比如某一年为甲子年‘，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年为乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此类推．已知2025年是乙巳年，则2025年之后的首个己巳年是 年．（用数字作答） 6．（2025·北京房山·一模）已知是等差数列，且，则的通项公式 . ( 题型0 3 )等比数列的前n项和问题 1．（2025·北京朝阳·一模）已知是等比数列，，，则（   ） A． B． C． D．1 2．（2025·北京延庆·一模）已知等比数列的公比为q，前n项和为.若，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京平谷·一模）在等比数列中，，记，则数列（    ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 4．（2025·北京海淀·一模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·北京西城·一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 7．（2025·北京石景山·一模）等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ( 题型0 4 ) 数列中的新定义问题 1．（2025·北京延庆·一模）数列中，若存在，使得“且”成立，（，）则称为的一个峰值.若，则的峰值为 ；若，且不存在峰值，则实数的取值范围为 . 2．（2025·北京海淀·一模）对于无穷数列和正整数，若存在满足且，则称数列具有性质．下列选项中错误的是（   ） A．若，则数列不具有性质 B．若，则数列具有性质 C．存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质 D．若数列和均具有性质，则具有性质 3．（2025·北京门头沟·一模）已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质. (1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由； (2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由； (3)若，且存在具有性质，求的取值范围. 4．（2025·北京西城·一模）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且满足与均是公差不为的等差数列． … … … … 若根据条件，能求出数表中所有的数，则称能被确定． (1)已知，分别根据下列条件，直接判断数表能否被其确定： 条件“已知”； 条件“已知”． (2)设条件“任意给定数表中的个数”，能被确定，证明：的最小值为； (3)设条件“已知集合或其中中的任意个元素”，求的最小值，使得能被确定． 5．（2025·北京海淀·一模）设正整数，对于数列，定义变换，将数列变换成数列：．已知数列满足．记． (1)若：，写出数列，； (2)若为奇数且不是常数列，求证：对任意正整数，都不是常数列； (3)求证：当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列． 6．（2025·北京通州·一模）已知数列（N是大于3的整数）为有穷数列，定义为“卷积核”数列满足： (1)若数列，卷积核，求数列B. (2)设，已知且，，若.求证：数列B中最大的项为，（表示a，b中的最大值）. (3)已知且不全为0，卷积核，是否存在数列A，使得数列B的任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由. 7．（2025·北京东城·一模）已知有限数列满足.对于给定的，若中存在项满足，则称有项递增子列；若中存在项满足，则称有项递减子列.当既有项递增子列又有项递减子列时，称具有性质. (1)判断下列数列是否具有性质； ①； ②. (2)若数列中有，证明：数列不具有性质； (3)当数列具有性质时，若中任意连续的项中都包含项递增子列，求的最大值. 8．（2025·北京顺义·一模）已知数列：各项为正整数.对任意正整数，定义：，，其中表示有限集中的元素个数，规定. (1)对于数列：1，3，2，2，写出，，，的值； (2)若数列：满足. （i）若，令，当时，求； （ii）求证：. 9．（2025·北京朝阳·一模）已知，，，为有穷正整数数列，若存在，其使得，其中，则称Q为连续可归零数列． (1)判断：1，3，2和：4，2，4是否为连续可归零数列？并说明理由； (2)对任意的正整数，记，其中表示数集S中最大的数．令，求证：数列，，，不是连续可归零数列； (3)若，，，的每一项均为不大于的正整数，求证：当时，Q是连续可归零数列． 10．（2025·北京平谷·一模）对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令. (1)若数列，求数列； (2)若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由； (3)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式. 11．（2025·北京丰台·一模）已知无穷递增数列各项均为正整数，记数列为数列的自身子数列. (1)若，写出数列的自身子数列的前4项； (2)证明：； (3)若数列与是公差分别为，的等差数列. （i）证明：； （ii）当，时，求数列的通项公式. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$