专题01 三角形的证明（甘肃专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 三角形的证明 题型概览 题型01等腰三角形与直角三角形 题型02 垂直平分线与角平分线 ( 题型01 ) 等腰三角形与直角三角形 一、单选题 1．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）如图，在等边△ABC中，动点P从点A出发，沿三角形的边由A→C→B做匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（　 　） A． B． C．8 D．16 【答案】A 【分析】此题考查动点问题的函数图象，从图象中通过确定点P与C重合时的位置得到等边三角形的边长是解题关键． 根据图2可得：等边三角形的边长为4，根据勾股定理求高的长，由三角形面积可得结论． 【详解】解：由图2可知：等边三角形的边长为4， 如图，作高， ∴，， ∴， ． 故选：A． 2．（23-24八下·甘肃省定西市安定区·期末）直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，已知c＝13，b＝5，则a＝（ 　　） A．1 B．5 C．12 D．25 【答案】C 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】由勾股定理得，a=， 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 3．（23-24八下·甘肃省定西市安定区·期末）如图，△ABC中，D为中点，．若，，则的长度（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形的性质求出长，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， ， ，为中点， ， ， 由勾股定理得：． 故选：C． 4．（23-24八下·甘肃省定西市临洮县·期末）如图，，且，，则线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理先求出，再求出即可． 【详解】解：在中，， 在中，， 故选：B． 5．（23-24八下·甘肃省陇南市西和县·期末）以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．6，8，10 C．2，， D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理得， 选项，，不能构成直角三角，不符合题意； 选项，，能构成直角三角，符合题意； 选项，，不能构成直角三角，不符合题意； 选项，，不能构成直角三角，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理判断三边的关系，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 6．（23-24八下·甘肃省陇南市·期末）三角形的三边长,,，满足，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及完全平方公式，关键是掌握如果三角形的三边长,,满足，那么这个三角形就是直角三角形，根据完全平方公式把所给条件式展开得到即可得到答案． 【详解】解：， 此三角形是直角三角形． 故选：B． 7．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区·期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（    ） A．1，1，1 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，4，10 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理；根据勾股定理的逆定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 1，1，1； ∵，， ∴，不能组成直角三角形；本选项不合题意； B. 2，3，4； ∵，， ∴，不能组成直角三角形；本选项不合题意； C. 3，4，5； ∵，， ∴，能组成直角三角形；本选项符合题意； D.3，4，10； ∵，即此时不能构成三角形， ∴也不能组成直角三角形；本选项不合题意； 故选：C． 8．（23-24八下·甘肃省陇南市康县·期末）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（    ）    A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】根据勾股定理分别求解，，，，从而可得答案． 【详解】解：由勾股定理可得： ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理的解本题的关键． 9．（23-24八下·甘肃省陇南市康县·期末）如图，一双长的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形热干面碗中，则筷子露在碗外面的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理解决实际问题，根据筷子的放置方式，分两类利用勾股定理求解，得到筷子露在碗外面的长度范围即可得到答案，根据题意构造直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：当筷子竖直放置，如图所示： 一双筷子长，热干面碗高为， 此时，筷子露在碗外面的长度为； 当筷子与底面圆直径构成直角三角形放置，如图所示： 圆柱形热干面碗的底面直径为，高为， 由勾股定理可得碗中筷子部分长度为，则此时，筷子露在碗外面的长度为； 综上所述，筷子露在碗外面的长度范围是到， 故选：A． 10．（23-24八下·甘肃省平凉市崆峒区·期末）三角形的三边长a， b， c， 满足 则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，根据完全平方公式把所给条件式展开得到即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故选：B。 11．（23-24八下·甘肃省武威市民勤县民勤县新河中学联片教研·期末）如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是　　 A．36 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质分别求出DE，EF，根据勾股定理求出DF，根据圆的面积公式计算． 【详解】解：正方形A的面积是64，正方形B的面积是100， ，， 由勾股定理得，， 半圆C的面积， 故选B． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 12．（23-24八下·甘肃省武威市民勤县民勤县新河中学联片教研·期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（　 　）      A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，再根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积是 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 13．（23-24八下·甘肃省陇南市多校联考·期末）如图的阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个大正方形，则阴影部分的面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【答案】B 【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方，利用勾股定理即可求出. 【详解】两个阴影正方形的面积和为132－ 122＝ 25，所以B选项是正确的. 【点睛】本题主要考查了正方形的面积以及勾股定理的应用，推知“正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方”是解题的难点. 14．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（     ） A．1，2， B．6，8，9 C．1，2， D．5，12，14 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理逆定理，利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，能作为直角三角形三条边，符合题意； B、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意； C、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意； D、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意； 故选A． 15．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）． A．6米; B．9米; C．12米; D．15米. 【答案】B 【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【详解】解：如图，根据题意BC=3米， ∵∠BAC=30°，∠ACB=90°， ∴AB=2BC=2×3=6米， ∴BC+AB=3+6=9（米）． 故选B 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键． 16．（23-24八下·甘肃省武威市武威第七中学·期末）下列长度的三条线段，不能组成直角三角形的是（    ） A．1，， B．3，4，5 C．13，14，15 D．7，24，25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，故能组成直角三角形，不符合题意； B、，故能组成直角三角形，不符合题意； C、，故不能组成直角三角形，符合题意； D、，故能组成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 17．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了中位线，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，根据点D、E分别是边、的中点得是△ABC的中位线，即可得，根据，，和勾股定理的逆定理得，根据E是边的中点得，即可得；掌握中位线，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点D、E分别是边、的中点， ∴是△ABC的中位线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴，故答案为：2． 18．（23-24八下·甘肃省陇南市西和县·期末）如图，所有的四边形部是正方形，三角形是直角三角形，则字母代表的正方形的边长是 ．    【答案】 【分析】根据勾股定理求出字母所代表的正方形的面积，根据正方形的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图，    ∵是直角三角形， 则由勾股定理得：， ∴字母所代表的正方形的面积， ∴字母所代表的正方形的边长为，故答案为：． 【点睛】此题考查的是勾股定理的应用、正方形的面积，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解决问题的关键． 19．（23-24八下·甘肃省陇南市西和县·期末）如图，在△ABC中，，，分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】根据三角形中位线的性质可得，根据勾股定理求得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴， 在中，， ∵是的中点， ∴，故答案为：5． 【点睛】本题考查了中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．（23-24八下·甘肃省陇南市·期末）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积差为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理的知识，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．由勾股定理可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴正方形和正方形的面积差为． 故答案为：． 21．（23-24八下·甘肃省武威市民勤县民勤县新河中学联片教研·期末）如图，△ABC为直角三角形，，以为直径画半圆，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理；连接、，由等腰三角形的性质得，，由勾股定理得，可得由，组成的两个弓形面积相等，由阴影部分的面积就等于的面积，即可求解；掌握等腰三角形的判定及性质，勾股定理，能找出两个弓形面积相等是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ， ， △ABC为直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 由，组成的两个弓形面积相等， 阴影部分的面积就等于的面积， ；故答案：． 22．（23-24八下·甘肃省武威市民勤县民勤县新河中学联片教研·期末）如图，若一个三角形的三边长为5、12、，则使此三角形是直角三角形的的值是 ． 【答案】 【分析】根据图形可知直角三角形的两边长，明确x是直角边，利用勾股定理求解． 【详解】解：结合图形可知x是直角三角形的直角边，，解得， 故使此三角形是直角三角形的x的值是，故答案为: ． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 23．（23-24八下·甘肃省陇南市多校联考·期末）如图，在△ABC中，D，E分别是，的中点，，F是上一点，连接，，若，，则的长为 ．    【答案】3 【分析】利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：∵点D、E分别是边，的中点， ∴是△ABC的中位线， ∵， ∴． ∵，D是的中点，， ∴， ∴．故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 24．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）如图，在△ABC中，，于点D，若，则∠B的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，先求出，再由垂线的定义得到，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】解：∵在△ABC中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，故答案为：． 25．（23-24八下·甘肃省武威市武威第七中学·期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理，得正方形E的面积=正方形B的面积+正方形A的面积，得正方形E的面积=正方形D的面积-正方形C的面积， 则正方形A的面积， 故答案为：4． 三、解答题 26．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响.    (1)请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？ (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】(1)着火点C受洒水影响；(2)着火点C能被扑灭 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点作，垂足为， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， （米）， ， 着火点C受洒水影响 （2）如图，以点为圆心，500m为半径作圆，交于点，    则， ， ， 在中，， ， （秒）， 着火点C能被扑灭． 27．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形的“距离”定义：如果点为图形上的任意一点，点为图形上的任意一点，且两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形的“距离”，记为，特别地，当图形有公共点时，图形的“距离”． (1)如图1，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点在第一象限，若，则_________， ； (2)如图2，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，将一次函数的图象记为． ①若，求的取值范围； ②若，且，则的值为_________； (3)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为平面内一上点，其中为任意实数，求． 【答案】(1)3，2；(2)①或；②；(3) 【分析】（1）根据材料提示的点到图形的距离的计算方法即可求解；过作于，根据等边三角形的性质可得，运用含角的直角三角形的性质即可求解，由此即可求解； （2）①图象经过点或点时，图象与△ABC只有一个交点，符合， 将代入，将代入，图象与△ABC有两个交点，满足，由此即可求解；②设图象与轴交于，与轴交于，作于点，可得，根据，可求出，，由此可得，，由含角的直角三角形的性质可得， 将代入，即可求解； （3）令，可得与的关系式为：，且图象与轴的交点为，设直线与轴交于点，与轴交于点，过作于，根据勾股定理可得，根据等面积法求高可得，由此可求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：过作于，如图： ∵， ∴， 由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3，2； （2）解：一次函数，当时，，即一次函数恒过点， ①图象经过点或点时，图象与只有一个交点，符合， 当图象经过点时，将代入，得，解得， 当图象经过点时，将代入，得，解得， 由一次函数的图象和性质可知，当或时，图象与有两个交点，满足， ∴的取值范围为或； ②如图，设图象与轴交于，与轴交于，作于点， ∵中，令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， 解得；故答案为：； （3）解：令，则， ∴与的关系式为：， 令时，；令时，； ∴与轴的交点为， 已知在直线上，如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中一次函数图象与几何图形的综合运用，理解平面直角坐标中图形“距离”的计算方法，掌握待定系数法求一次函数解析式，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等面积法求高，一次函数图象与几何图形位置关系的综合知识的运用是解题的关键． 28．（23-24八下·甘肃省定西市安定区·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，求AB及BC2各是多少？ 【答案】AB＝6，BC2=27 【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边长度等于斜边的一半以及勾股定理解答即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝3 ∴AB＝2AC＝6， ∴BC2＝AB2﹣AC2＝36﹣9＝27． 【点睛】本题考查直角三角形中30°角所对的直角边长度等于斜边的一半以及勾股定理．关键是根据勾股定理解答. 29．（23-24八下·甘肃省定西市临洮县·期末）如图，挂衣架可以近似看成一个等腰三角形，记为．若，，求衣架宽的长． 【答案】衣架宽的长． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，过作于点，则，再根据角所对直角边是斜边的一半和等腰三角形的“三线合一”得，，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点，则， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 答：衣架宽的长． 30．（23-24八下·甘肃省定西市临洮县·期末）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4． （1）∠ADC是直角吗？请说明理由． （2）求DF的长．    【答案】（1）∠ADC是直角，理由详见解析；（2） ． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角； （2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）∠ADC是直角，理由如下： ∵DE是△ADC的高， ∴∠AED＝∠CED＝90°， 在Rt△ADE中，∠AED＝90°， ∴AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20， 同理：CD2＝5， ∴AD2+CD2＝25， ∵AC2＝(1+4)2=25， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠ADC是直角； （2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC＝5， 在Rt△ADB中，∠ADB＝90°， ∵点F是边AB的中点， ∴DF＝． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性质定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 31．（23-24八下·甘肃省陇南市西和县·期末）如图，在中，D是边上的一点，已知，，，，求边的长．    【答案】的长为13 【分析】根据已知可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的长为13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和勾股定理是解题的关键． 32．（23-24八下·甘肃省陇南市西和县·期末）如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍．    (1)求此时船离岸边的长；（结果保留根号） (2)若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，） 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理即可得出的长； （2）根据收绳的速度与时间得出收起绳的长度，即可得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 熟记勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）开始时绳子的长度为的3倍． 米， （米； （2）如图，连接，    此人以0.5米秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置． 船移动到点的位置时绳长（米， （米， 船向岸边移动的距离为（米， 答：船向岸边移动了大约6.5米． 33．（23-24八下·甘肃省陇南市·期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，人只要移至距该门铃及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，一名身高的学生走到处（），门铃恰好自动响起，即，则该学生此时与超市门口的水平距离长为多少米？ 【答案】 【分析】过作于，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 答：该学生此时距离超市门口长为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键． 34．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区·期末）如图，在中，，，平分交于点，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理等知识．利用平分，求出，进而得出，由，得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，平分角． ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 得， ∴． 35．（23-24八下·甘肃省陇南市康县·期末）如图，旗绳自由下垂时，比旗杆长2米，如果将旗绳斜拉直，下端在地面上，距旗杆底部的距离米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆AB的高度为8米 【分析】设旗杆的高度是米，旗绳长为米，旗杆，拉直的绳子和构成直角三角形，根据勾股定理可求出的值即为旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆的高度为，根据题意可得： ， 解得：． 答：旗杆AB的高度为8米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用；关键看到旗杆，拉直的绳子和构成直角三角形，根据勾股定理可求解． 36．（23-24八下·甘肃省陇南市康县·期末）如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米. (1)求的度数； (2)求图中健身区（阴影部分）的面积. 【答案】(1)；(2)平方米 【分析】本题考查勾股定理定理和逆定理，三角形的面积，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出的长，然后再利用狗狗股定理的逆定理得到是直角三角形即可； （2）利用三角形的面积解题即可． 【详解】（1）因为，米，米， 所以（米）， 因为米，米， 所以， 所以是直角三角形，． （2）图中阴影部分的面积（平方米）． 37．（23-24八下·甘肃省陇南市多校联考·期末）如图，小区有一块三角形空地，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路隔开，．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)求小路的长 【答案】(1)9米；(2)米 【分析】（1）首先利用勾股定理逆定理得出，再用勾股定理求出的长； （2）利用等积法求即可． 【详解】（1）∵米，米，米．， ∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得： （米）； （2）∵， ∴， 即， ∴（米）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法． 38．（23-24八下·甘肃省武威市武威第七中学·期末）如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到了地面还多1米，同学们把绳子的末端拉开5米后，发现绳子末端刚好接触地面，求旗杆的高度．（旗杆顶端滑轮上方的部分忽略不计） 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆高度AC为米，则绳长AB为（x+1）米． ∵△ABC是直角三角形， ∴AC2＋BC2＝AB2，即x²+5²＝（x+1）²． 解得x＝12． 答：旗杆的高度为12米． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，很简单，只要熟知勾股定理即可解答． ( 题型02 ) 垂直平分线与角平分线 一、单选题 1．（23-24八下·甘肃省龙南县礼县一中等校·期末）如图，在△ABC中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连接．若，，则为（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得的度数，然后利用三角形的外角的性质求得答案即可；本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图，在△ABC中，的垂直平分线分别交，于，两点，，的周长为9，则△ABC的周长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，由三角形周长公式得到，进而得到，则的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于，两点， ∴， ∵的周长为9， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC的周长， 故选：C． 3．（23-24八下·甘肃省武威市武威第七中学·期末）如图，在△ABC中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 4．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区中坝中学联考·期末）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：． 5．（23-24八下·甘肃省兰州市教育局第四片区·期末）如图，在△ABC中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交点为E，F，连接， 与相交于点D，连接．若，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】C 【分析】由作图可知，为垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得出，，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可得出，进而可得出，由含的直角三角形的性质可得出，由勾股定了可得出，根据三角形周长公式可得出答案． 【详解】解：由作图可知，为垂直平分线， ∴， ∴ ∵在△ABC中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，掌握这些定理是解题的关键． 二、填空题 6．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图所示，∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为 ． 【答案】20° 【详解】∵OM平分∠AOB， ∴∠AOM=∠BOM==20°． 又∵MA⊥OA于A，MB⊥OB于B， ∴MA=MB． ∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴∠AMO=∠BMO=70°， ∴△AMN≌△BMN， ∴∠ANM=∠BNM=90°， ∴∠MAB=90°-70°=20°． 故答案为20°. 7．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区武威五中联考·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 ． 【答案】 【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题； 【详解】解：连接AD． ∵PQ垂直平分线段AB， ∴DA=DB，设DA=DB=x， 在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2， ∴，解得x=， ∴CD=BC﹣DB， 故答案为：． 【点睛】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 8．（23-24八下·甘肃省酒泉市第二中学·期末）如图，在△ABC中，边AC，BC的垂直平分线分别交边AB于点M，N，垂足为D，E．若，则 °； 【答案】80 【分析】先根据三角形内角和定理得出∠A+∠B，再根据线段垂直平分线的性质得AM=CM，CN=BN，进而得出∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，可求∠ACM+∠BCN，即可得出答案． 【详解】解：因为∠BCA=130°， 所以∠A+∠B=180°-∠BCA=50°， 因为边AC，BC得垂直平分线交AB于点M，N， 所以AM=CM，CN=BN， 所以∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， 所以∠ACM+∠BCN=50°， 所以∠MCN=∠ACB-（∠ACM+∠BCN）=130°-50°=80°． 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角等，确定各角之间的等量关系是解题的关键． 三、解答题 9．（23-24八下·甘肃省定西市岷县·期末）下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：△ABC中BC边上的高线AD． 作法：如图， ①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E； ②连接AE交BC于点D． 所以线段AD是△ABC中BC边上的高线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵______=BA，________=CA， ∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（________________________）（填推理的依据）． ∴BC垂直平分线段AE． ∴线段AD是△ABC中BC边上的高线． 【答案】（1）作图见解析；（2）AB；EC；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）根据线段的垂直平分线的判定即可解决问题. 【详解】（1）图形如图所示： （2）理由：连接BE，EC． ∵AB=BE，EC=CA， ∴点B，点C分别在线段AE的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， ∴直线BC垂直平分线段AE， ∴线段AD是△ABC中BC边上的高线． 故答案为BE，EC，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识． 10．（23-24八下·甘肃省武威市民勤县大滩中学联片教研·期末）如图，△ABC中，的垂直平分线分别交于点D、E，且．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．连接，先根据线段垂直平分线的性质得到，再利用勾股定理的逆定理证得，结合已知得到，，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． 11．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区新华中学联考·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分． (1)求∠A的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含30度角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到．由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据含30度角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵边的垂直平分线交和于点D，E， ∴， ∴． 又∵平分， ∴， 而， 又∵， ∴． （2）∵，，， ∴， ∴， ∴． 12．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区武威十六中联片教研·期末）如图，在△ABC中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，先证明，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接．    为的垂直平分线， ． 在△ABC中，，，， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 解得． 的长为． 13．（23-24八下·甘肃省白银市·期末）如图，在△ABC中，，D为上一点，的垂直平分线交于点E，将沿着折叠后，点C恰好和点E重合，求的度数． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质可得，再由折叠的性质得，从而可得，利用三角形内角和定理求得，即，即可求解． 【详解】解：∵点E在的垂直平分线上， ， ， 是△ADE的一个外角， ， 由折叠得， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、折叠的性质及三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质及折叠的性质得是解题的关键． 78 / 78 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的证明 题型概览 题型01等腰三角形与直角三角形 题型02 垂直平分线与角平分线 ( 题型01 ) 等腰三角形与直角三角形 一、单选题 1．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）如图，在等边△ABC中，动点P从点A出发，沿三角形的边由A→C→B做匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（　 　） A． B． C．8 D．16 2．（23-24八下·甘肃省定西市安定区·期末）直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，已知c＝13，b＝5，则a＝（ 　　） A．1 B．5 C．12 D．25 3．（23-24八下·甘肃省定西市安定区·期末）如图，△ABC中，D为中点，．若，，则的长度（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 4．（23-24八下·甘肃省定西市临洮县·期末）如图，，且，，则线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（23-24八下·甘肃省陇南市西和县·期末）以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．6，8，10 C．2，， D．，， 6．（23-24八下·甘肃省陇南市·期末）三角形的三边长,,，满足，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 7．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区·期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（    ） A．1，1，1 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，4，10 8．（23-24八下·甘肃省陇南市康县·期末）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（    ）    A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 9．（23-24八下·甘肃省陇南市康县·期末）如图，一双长的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形热干面碗中，则筷子露在碗外面的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八下·甘肃省平凉市崆峒区·期末）三角形的三边长a， b， c， 满足 则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 11．（23-24八下·甘肃省武威市民勤县民勤县新河中学联片教研·期末）如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是　　 A．36 B． C． D． 12．（23-24八下·甘肃省武威市民勤县民勤县新河中学联片教研·期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（　 　）      A．4 B． C． D． 13．（23-24八下·甘肃省陇南市多校联考·期末）如图的阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个大正方形，则阴影部分的面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 14．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（     ） A．1，2， B．6，8，9 C．1，2， D．5，12，14 15．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）． A．6米; B．9米; C．12米; D．15米. 16．（23-24八下·甘肃省武威市武威第七中学·期末）下列长度的三条线段，不能组成直角三角形的是（    ） A．1，， B．3，4，5 C．13，14，15 D．7，24，25 二、填空题 17．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是 ． 18．（23-24八下·甘肃省陇南市西和县·期末）如图，所有的四边形部是正方形，三角形是直角三角形，则字母代表的正方形的边长是 ．    19．（23-24八下·甘肃省陇南市西和县·期末）如图，在△ABC中，，，分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ． 20．（23-24八下·甘肃省陇南市·期末）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积差为 ． 21．（23-24八下·甘肃省武威市民勤县民勤县新河中学联片教研·期末）如图，△ABC为直角三角形，，以为直径画半圆，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ． 22．（23-24八下·甘肃省武威市民勤县民勤县新河中学联片教研·期末）如图，若一个三角形的三边长为5、12、，则使此三角形是直角三角形的的值是 ． 23．（23-24八下·甘肃省陇南市多校联考·期末）如图，在△ABC中，D，E分别是，的中点，，F是上一点，连接，，若，，则的长为 ．    24．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）如图，在△ABC中，，于点D，若，则∠B的度数为 ． 25．（23-24八下·甘肃省武威市武威第七中学·期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为 ． 三、解答题 26．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响.    (1)请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？ (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 27．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形的“距离”定义：如果点为图形上的任意一点，点为图形上的任意一点，且两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形的“距离”，记为，特别地，当图形有公共点时，图形的“距离”． (1)如图1，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点在第一象限，若，则_________， ； (2)如图2，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，将一次函数的图象记为． ①若，求的取值范围； ②若，且，则的值为_________； (3)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为平面内一上点，其中为任意实数，求． 28．（23-24八下·甘肃省定西市安定区·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，求AB及BC2各是多少？ 29．（23-24八下·甘肃省定西市临洮县·期末）如图，挂衣架可以近似看成一个等腰三角形，记为．若，，求衣架宽的长． 30．（23-24八下·甘肃省定西市临洮县·期末）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4． （1）∠ADC是直角吗？请说明理由． （2）求DF的长．    31．（23-24八下·甘肃省陇南市西和县·期末）如图，在中，D是边上的一点，已知，，，，求边的长．    32．（23-24八下·甘肃省陇南市西和县·期末）如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍．    (1)求此时船离岸边的长；（结果保留根号） (2)若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，） 33．（23-24八下·甘肃省陇南市·期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，人只要移至距该门铃及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，一名身高的学生走到处（），门铃恰好自动响起，即，则该学生此时与超市门口的水平距离长为多少米？ 34．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区·期末）如图，在中，，，平分交于点，．求的长． 35．（23-24八下·甘肃省陇南市康县·期末）如图，旗绳自由下垂时，比旗杆长2米，如果将旗绳斜拉直，下端在地面上，距旗杆底部的距离米，求旗杆的高度． 36．（23-24八下·甘肃省陇南市康县·期末）如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米. (1)求的度数； (2)求图中健身区（阴影部分）的面积. 37．（23-24八下·甘肃省陇南市多校联考·期末）如图，小区有一块三角形空地，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路隔开，．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)求小路的长 38．（23-24八下·甘肃省武威市武威第七中学·期末）如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到了地面还多1米，同学们把绳子的末端拉开5米后，发现绳子末端刚好接触地面，求旗杆的高度．（旗杆顶端滑轮上方的部分忽略不计） ( 题型02 ) 垂直平分线与角平分线 一、单选题 1．（23-24八下·甘肃省龙南县礼县一中等校·期末）如图，在△ABC中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连接．若，，则为（　 　） A． B． C． D． 2．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图，在△ABC中，的垂直平分线分别交，于，两点，，的周长为9，则△ABC的周长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．18 3．（23-24八下·甘肃省武威市武威第七中学·期末）如图，在△ABC中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 4．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区中坝中学联考·期末）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八下·甘肃省兰州市教育局第四片区·期末）如图，在△ABC中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交点为E，F，连接， 与相交于点D，连接．若，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．8 二、填空题 6．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图所示，∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为 ． 7．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区武威五中联考·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 ． 8．（23-24八下·甘肃省酒泉市第二中学·期末）如图，在△ABC中，边AC，BC的垂直平分线分别交边AB于点M，N，垂足为D，E．若，则 °； 三、解答题 9．（23-24八下·甘肃省定西市岷县·期末）下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：△ABC中BC边上的高线AD． 作法：如图， ①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E； ②连接AE交BC于点D． 所以线段AD是△ABC中BC边上的高线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵______=BA，________=CA， ∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（________________________）（填推理的依据）． ∴BC垂直平分线段AE． ∴线段AD是△ABC中BC边上的高线． 10．（23-24八下·甘肃省武威市民勤县大滩中学联片教研·期末）如图，△ABC中，的垂直平分线分别交于点D、E，且．若，，求的长． 11．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区新华中学联考·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分． (1)求∠A的度数； (2)若，求的长． 12．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区武威十六中联片教研·期末）如图，在△ABC中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，求的长． 13．（23-24八下·甘肃省白银市·期末）如图，在△ABC中，，D为上一点，的垂直平分线交于点E，将沿着折叠后，点C恰好和点E重合，求的度数． 78 / 78 学科网（北京）股份有限公司 $$