清单04 三角恒等变换（考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

清单04 三角恒等变换 清单01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 清单02 辅助角公式 辅助角公式：，其中，， 清单03 二倍角公式 （1） （2） （3） 降幂公式：；； 清单04 积化和差、和差化积 （1）积化和差 ， ， （2）和差化积 ， ， 【考点题型一】两角和与差的三角函数公式（） 【例1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知，则 ． 【变式1-2】已知，则（   ） A． B． C． D．1 【变式1-3】已知是第四象限角，且，则（   ） A． B． C． D．7 【变式1-4】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】两角和与差的三角函数公式逆用（） 【例2】（多选）下列四个选项中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】计算的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式2-3】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】利用二倍角公式化简求值（） 【例3】若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-1】已知，，则 . 【变式3-2】已知角满足，则（    ） A． B．或 C． D． 【变式3-3】已知（），则（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知角终边在第二象限，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【考点题型四】降幂公式及应用（） 【例4】（多选）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，则 . 【变式4-2】已知函数，设，，则 ， . 【变式4-3】求值： ． 【变式4-4】已知，求的值． 【考点题型五】给值求值问题（） 【例5】在平面直角坐标系中，角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点. (1)求的值； (2)若、为锐角，且，求的值. 【变式5-1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若，，其中，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【考点题型六】给值求角问题（） 【例6】已知锐角，满足， (1)求的值． (2)求的大小． 【变式6-1】设，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知，，，． (1)求； (2)求． 【变式6-4】（1）已知α，β均为锐角，且，，求的值； （2）已知，点为角α终边上的一点，，求角β． 【考点题型七】积化和差、和差化积（） 【例7】已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【变式7-1】若，则 ． 【变式7-2】已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】若，则 ． 【变式7-4】已知，则 . 【考点题型八】辅助角公式及其应用（） 【例8】函数的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【变式8-1】设当时，函数取得最大值，则 . 【变式8-2】函数，的值域是 ． 【变式8-3】已知，则的值为 ． 【变式8-4】若函数为奇函数，则 ． 【考点题型九】判断三角形的形状（） 【例9】在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式9-1】若满足条件，则该三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【变式9-2】在中，角、、所对的边长分别是、、，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．直角非等腰三角形 B．等腰非直角三角形 C．非等腰且非直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式9-4】在中，若，那么三角形的形状为 . 【考点题型十】三角函数与三角恒等变换（） 【例10】已知向量、，记． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 【变式10-1】若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】若函数（其中）在上恰有1个零点，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D．4 【变式10-3】函数，的值域为 ． 【变式10-4】已知函数． (1)求的对称轴； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． 3 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 三角恒等变换 清单01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 清单02 辅助角公式 辅助角公式：，其中，， 清单03 二倍角公式 （1） （2） （3） 降幂公式：；； 清单04 积化和差、和差化积 （1）积化和差 ， ， （2）和差化积 ， ， 【考点题型一】两角和与差的三角函数公式（） 【例1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即， 整理可得， 因为，，所以， 所以. 故选：A 【变式1-1】已知，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 则， 故答案为：． 【变式1-2】已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 即， 因为，所以. 故选：D. 【变式1-3】已知是第四象限角，且，则（   ） A． B． C． D．7 【答案】B 【详解】由可得， 由于是第四象限角，则，故， 故. 故选；B 【变式1-4】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，又， 所以， 所以. 故选：D 【考点题型二】两角和与差的三角函数公式逆用（） 【例2】（多选）下列四个选项中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，A错误； 因为， 所以，B正确； 因为，， ，C正确； ，D错误； 故选：BC. 【变式2-1】计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 【变式2-2】（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 【变式2-3】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 即，可得， 即，． 因为，则， 可得， 又因为， 可得． 所以． 故选：D. 【变式2-4】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两边平方得，①， 两边平方得，②， 式子①+②得， 即，即， 所以. 故选：B 【考点题型三】利用二倍角公式化简求值（） 【例3】若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】 故选：B. 【变式3-1】已知，，则 . 【答案】 【详解】因为，而， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式3-2】已知角满足，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】由，得. 由题知，所以，解得或（舍去），（点拨：时，不符合题意） 所以 故选：C. 【变式3-3】已知（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又，所以，解得（舍去）或， 所以，则， 则. 故选：A 【变式3-4】已知角终边在第二象限，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，角终边在第二象限， 则， ， 所以. 故选：C. 【考点题型四】降幂公式及应用（） 【例4】（多选）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，故选项A正确； 因为，故选项B错误； 因为，故选项C正确； 因为， 整理得，，故选项D错误； 故选：AC. 【变式4-1】已知，则 . 【答案】/ 【详解】， . 故答案为：. 【变式4-2】已知函数，设，，则 ， . 【答案】 【详解】 ， 所以， 所以. 因为，所以， 所以， 所以 ， . 故答案为：， 【变式4-3】求值： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为： 【变式4-4】已知，求的值． 【答案】. 【详解】因为， 所以 . 【考点题型五】给值求值问题（） 【例5】在平面直角坐标系中，角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点. (1)求的值； (2)若、为锐角，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵角的终边经过点，∴， ∴， 所以， ∴， ， 所以； （2）因为，，所以， 若，则，与不符； ∴， 所以， 所以. 【变式5-1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：因为，所以. 因为， 所以. 解法二：令，则，， 所以. 故选：D. 【变式5-2】若，，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，已知，令， 根据三角恒等式可得： 代入已知条件，， 得：， 计算得： ，即. 由于，均为非负数，故，即. 故选：B 【变式5-3】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 所以． 故选：A． 【变式5-4】已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ，． （2）因为， 所以． 【考点题型六】给值求角问题（） 【例6】已知锐角，满足， (1)求的值． (2)求的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，则，， 所以. （2）因为，，则， 则， 且，所以. 【变式6-1】设，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设， 所以， 因为，，则，又， 所以或，即或（舍）， 故． 故选：D 【变式6-2】若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 因，则， 又，则， 因， 则， 故 ， 因，故. 故选：B. 【变式6-3】已知，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，， 又，， 则． （2），，， 所以 ． 又，，，． 【变式6-4】（1）已知α，β均为锐角，且，，求的值； （2）已知，点为角α终边上的一点，，求角β． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为α，β均为锐角，，， 所以，， 所以． 由，α，β均为锐角，则，所以． （2）∵，∴，∴，． 又，∴． ∵，∴， ∴， ∴ ． ∵，∴． 【考点题型七】积化和差、和差化积（） 【例7】已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 由和差化积公式可得， 因为，所以， 由， 可得，所以. 故选：C 【变式7-1】若，则 ． 【答案】 【详解】因为 ，所以， 故答案为：. 【变式7-2】已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 即 ， ， 所以，， 因为、的终边不重合，则，则， 所以，则，所以， 因此，. 故选：D. 【变式7-3】若，则 ． 【答案】 【详解】已知积化和差公式 则 ． 故答案为：. 【变式7-4】已知，则 . 【答案】 【详解】由， 可得 ， 则. 故答案为：. 【考点题型八】辅助角公式及其应用（） 【例8】函数的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知函数的最小正周期为． 当时，， 又，所以， 当时，， 又，所以， 所以函数的最小值为． 故选：B 【变式8-1】设当时，函数取得最大值，则 . 【答案】 【详解】因为， 令，， 则， 当，，即，时，取最大值， 此时，，所以. 故答案为：. 【变式8-2】函数，的值域是 ． 【答案】 【详解】因为， 设，则， 且，所以， 则， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取最大值，即， 当时，；当时，，所以. 因此，函数的值域为. 故答案为：. 【变式8-3】已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为， 则． 故答案为：. 【变式8-4】若函数为奇函数，则 ． 【答案】 【详解】由辅助角公式，得，其中． 又因为奇函数，则有，即，故（）， 于是，故． 故答案为：. 【考点题型九】判断三角形的形状（） 【例9】在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】因为 ， 所以在中，，即一定是直角三角形． 故选：B 【变式9-1】若满足条件，则该三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】A 【详解】因为，且不能同为负数， 所以，故为锐角， 又在三角形中， 又因为，所以， 故为锐角.所以为锐角三角形. 故选：A. 【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响． 【变式9-2】在中，角、、所对的边长分别是、、，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以， 可得，可得， ，则，所以，同理， 所以，，则，， 为等腰直角三角形，且，， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查三角形边长比值的计算，利用正弦函数的有界性求得是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 【变式9-3】在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．直角非等腰三角形 B．等腰非直角三角形 C．非等腰且非直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】由A=，sinB=cosC⇒= 所以 所以， 又C∈(0，π)，则C=， 所以B=，△ABC为等腰直角三角形. 故选：D. 【变式9-4】在中，若，那么三角形的形状为 . 【答案】等腰直角三角形 【详解】因为， 所以， 即， 所以 所以是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形. 【考点题型十】三角函数与三角恒等变换（） 【例10】已知向量、，记． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期； （2）， 因为函数为奇函数， 所以，解得， 又因为，所以. 【变式10-1】若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 其中,且为锐角， 因为在上单调递增，且， 所以，则的最大值为， 此时． 故选：D. 【变式10-2】若函数（其中）在上恰有1个零点，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】 令，则，所以或， 因为，所以， 因为在上恰有1个零点，所以，解得． 故选：B 【变式10-3】函数，的值域为 ． 【答案】 【详解】令，则. ，，， ∴， 故函数，的值域为. 故答案为：. 【变式10-4】已知函数． (1)求的对称轴； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得：， 令，解得， 所以的对称轴为. （2）由（1）可得， 因为且，则， 若函数在上单调递增， 则，解得， 所以的取值范围为. 17 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$