2025年山东省济南市市中区中考二模数学卷

九年级学业水平质量检测试题由济南市 市中区教研室编著 数 学 试 题 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1．下列四个数中，比小的数是 A．0 B． C． D． 2．漏斗是一种通过重力将液体或颗粒导入小口容器的实用工具．日常用于灌装油、调料，实验室中分离液体或过滤，工业上则用于分装原料．如图是一种常用不锈钢漏斗，其俯视图是 A． B． C． D． 3．2025年清明假期，济南市为丰富假日文旅市场，策划推出10条精品赏花线路，让市民游客饱览春日风光，重点监测的30家景区共接待游客约1750000人次．将1750000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 4．若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数是　　 A．5 B．6 C．8 D．9 5．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是 第5题图 A．a-2＜b-2 B．b﹣a＜0 C．2a＞2b D．a+b＜0 6．下列运算正确的是 A．（2a3）2＝4a5 B．a3b2÷ab2=a2 C．a2+2a2＝3a4 D．a4•a2＝a8 7．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．“趵突泉”、“黑虎泉”、“珍珠泉”、“五龙潭”是济南市四个有代表性的旅游景点．若小明和小亮各自从这四个景点中随机选择一个景点游览，则他们选择的景点中有“趵突泉”的概率是 A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，点D为AC边上一点，且AD=3，以点D为圆心，以DA为半径作弧，交AB于点E，连接DE，再分别以B、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线MN交BC于点F，则BF的值为第9题图 A．2 B． C． D． 10．定义：点P与图形G上各点所连线段中，最短的线段的长度称为点P到图形G的距 离．有下列结论：①⊙A是以A（0,2）为圆心，半径为1 的圆，则在y轴上到⊙A的距 离为1的点有2个；②若点B到函数图象的距离为1，则所有符合要求的点B 都在函数的图象上；③若点C在函数的图象上，则点C到 函数图象的距离的最小值为；④已知D(1-m，2m+1)，点D到函数 的图象距离的最小值为，则a的值为-2或．其中，正确结论的个 数是 A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11．要使分式有意义，则x的值可以是 (写出一个符合要求的x的值). 12．在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球 个. 13．光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（垂直于平面镜的直线叫法线）．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形状，∠AOB＝38°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后的光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为 °. 14．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2.4h后休息， 直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车行驶时间为x（h），货车、轿车与甲地 的距离为y1（km），y2（km），图中的线段、折线分别表示y1，y2与x之间的 函数关系．两车出发后第二次相距120km时，货车的行驶时间为 h. 15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB=8．点E，F分别是BC，AB边上的动点，且 BF＝2CE，以EF为边向右作等边△EFG，连接CF，CG，DG．当CG=EG时，DG的值 为 . 法线 第13题图 第14题图 第15题图 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分7分）计算：． 17．（本小题满分7分） 解不等式组： ，并写出它的所有正整数解． 18．（本小题满分7分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，AD的中点，连接AE，CF交于点G．求证：∠BAG=∠BCG．第18题图 19．（本小题满分8分）学校为丰富学生校园生活，准备修建校园主题文化长廊，并面向全校师生征集设计方案．以下是数学兴趣小组提供的设计表． 校园主题文化长廊设计表 设计图 图1 图2 相关 数据 点，，，，在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为，垂直平分，与交于点．其中AB=3m，BD=1.5m，∠ABD=130°， ∠BDE=98°. 请根据设计表提供的信息完成下列问题： （1）求文化长廊的最大宽度CD的长； （2）求文化长廊的最高点到地面AB的距离． (结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11） 20．（本小题满分8分）如图，已知AB是的直径，BC是的弦，BC=BD，连接CD交于点E，连接AE，BE，EB=ED．第20题图 （1）求证：BD是的切线； （2）若AB=5，AE=4，求BC． 21．（本小题满分9分）为提升学生数学素养，接轨未来职业需求，某学校开展了以 “生活中的数学”为主题的知识竞赛．竞赛结束后，数据整理发现所有参赛学生的成绩（满分 100 分）均不低于 60 分．现从该校七、八年级中各随机抽取相同人数的学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A组（60≤x＜70），B组（70≤x＜80），C组（80≤x＜90），D组（90≤x≤100））．根据以下信息，解答问题： 七年级B组的数据（单位：分）如下： 79，79，78，78，78，77，76，76，75，74，74，74，73，72，72，71． 七年级参赛学生成绩频数直方图 七年级参赛学生成绩扇形统计图图 八年级参赛学生成绩频数直方图 （1） 求随机抽取的七年级学生数； （2） 在七年级参赛学生成绩扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数为　 度； （3）请补全七年级参赛学生成绩的频数直方图； （4）抽取的七年级参赛学生成绩的中位数是 分； （5）若规定竞赛成绩在90分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有800人和880人．估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 22．（本小题满分10分）学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买 A、B 两种航天主题奖品．已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元． （1）求A，B两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校准备购买A，B两种奖品共50件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？ 23．（本小题满分10分）已知反比例函数的图象与正比例函数（x＞0）的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，点P在线段的延长线上，过点作y轴的平行线，与的图象交于点，与x轴交于点，连接AB，当时，求点的坐标； （3）如图2，点为反比例函数上任意一点，过点作⊥x轴，垂足为D，过点D作，与反比例函数交于点E，令=n，求n的值． 第23题 图1 第23题 图2 24．（本小题满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图2，连接CB，DB，若抛物线上存在点E，满足∠CBD=∠BDE，求点E的坐标； （3）如图3，点F为x轴上一动点，连接CF，DF，当∠CFD最大时，请直接写出点F的坐标． 第24题 图3 第24题 图2 第24题 图1 25．（本小题满分12分） （1）如图1，已知△ABC，△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边AC上，AB=AC，AD=AE，连接BD，CE．线段BD，CE的数量关系为 ；若∠BCE=70°，则∠BDE= 度； （2）如图2，已知△ABC，△ADE，点B，A，E共线，A点在B，E两点之间，点C，D在直线BE同侧，若△ABC∽△ADE，请判断∠BCE和∠BDE的数量关系，并说明理由； （3）如图3，已知等边△ABC，AB=6，E为AB中点，D为BC边上一动点，连接AD，ED，F为△ABC内一点，连接DF，CF，AF，若△DCF∽△DAE，求AF的最小值． 第25题 图3 第25题 图2 第25题 图1 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级学业水平质量检测 数学答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D A B A D C A 二、填空题 11.　 　 12. 12 13. 76 14. 4.6 15. 三、解答题 16.解： 5分 =12 7分 17．解：解不等式①得： 2分 解不等式②得：x＜4， 4分 ∴不等式组的解集为：x＜4． 6分 ∴不等式组的正整数解为：1，2，3． 7分 18． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD 1分 ∵E，F分别是边CD，AD的中点 ∴ 2分 ∵∠D=∠D 3分 ∴△ADE≌△CDF（SAS） 4分 ∴∠DAE=∠DCF 5分 ∵四边形ABCD是菱形 ∴∠DAB=∠DCB ∴∠DAB-∠DAE=∠DCB-∠DCF ∴∠BAG=∠BCG 7分 19. 解： (1)作DH⊥AB延长线于H， ∵∠ABD=130° ∴∠HBD=50° 在Rt△DHB中，∠DHB=90° BH=BD×cos50°≈1.5×0.64=0.96m ∵垂直平分，垂直平分，DH⊥AB ∴四边形DHFG为矩形 FB=AB=1.5m, CD=2DG ∴DG=FH=FB+BH=1.5+0.96=2.46m ∴CD=2DG=4.92≈4.9m 答：文化长廊的最大宽度CD的长为4.9m. 4分 (2)在Rt△DHB中，∠DHB=90° DH=BD×sin50°≈1.5×0.77=1.155m ∵四边形DHFG为矩形 ∴DH=GF=1.155m 6分 ∴FH∥DG ∴∠BDG=180°-∠ABD=50° ∴∠GDE=∠BDE-∠BDG=98°-50°=48° 在Rt△DGE中，∠DGE=90° EG=DG×tan48°≈2.46×1.11=2.7306m ∴EF=EG+GF=2.7306+1.155=3.8856≈3.9m 答：文化长廊的最高点到地面AB的距离EF为3.9m. 8分 20.(1)证明：证明：∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠D， ∵ED＝EB， ∴∠EBD＝∠D． ∴∠EBD＝∠BCD， ∵∠BCE，∠BAE所对的弧是同弧 ∴∠BCE＝∠BAE． ∵AB是⊙O的直径 ∴∠AEB＝90° ∴∠BAE+∠ABE＝90° ∴∠EBD+∠ABE＝90° 即∠ABD＝90° ∴BD是⊙O的切线； 4分 (2)在Rt△AEB中，∠AEB=90° ∵AB=5，AE=4 ∴ 作EF⊥BD ∵∠ABD＝90° ∴AB∥EF ∴∠ABE＝∠BEF ∵∠AEB＝∠BFE=90° ∴△AEB∽△BFE ∴ 解得： ∵ED＝EB，EF⊥BD ∴BC=BD=2BF= 8分 21.解：（1）14÷35%=40（人） 答：随机抽取的七年级学生数为40人. 2分 （2）54 3分 （3） 5分 （4）78.5 7分 （5） 答：成绩为优秀的学生总人数为476人. 9分 22. 解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元 1分 根据题意得： 3分 4分 答：A的单价50元，B的单价35元． 5分 （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品（50-m）件，购买总费用w元. 6分 根据题意得： 7分 8分 ∴w＝50m+35（50-m）=15m+1750 9分 ∵15＞0， ∴w随m的增大而增大 当m＝17时，w取最小值，最小值为2005元． 10分 答：购买A种奖品17件时，购买总费用最少；总费用最少是2005元． 23.解： （1）将A(a,4)代入 解得a=3， 1分 将A(3,4)代入 解得k=12， 2分 ∴ 3分 法1：设B(m,) ∵l∥y ∴P(m,), C(m,), ∵ ∴ ∴ 解得 ∴B(,) 6分 法2：∵，l∥y ∴∠PAB＝∠PCO=90° 设B(m,) ∴ ∴ 解得 ∴B(,) 6分 (3)作EH⊥x轴 ∵⊥x轴 ∴∠A’DO＝∠EHD=90° ∵ ∴∠A’OD＝∠EDH ∴ 设A’(p,q) ∵=n ∴OD=p DH=np A’D＝q EH=nq ∴E(p+np,nq) ∵A’, E都在反比例函数图象上图象上 ∴pq=12 (p+np)nq=12 解得 ∴n的值为 10分 24.解： (1)∵抛物线经过点， ∴ 2分 解得 ∴抛物线 3分 ∴顶点 4分 (2) ∵ ∴当x=0时，y=3 ∴ ∵B(3,0) ∴直线CB: ①如图，∵∠CBD=∠BDE ∴CB∥DE， 设直线DE的解析式为y＝-x+m，将点D的坐标代入得： m＝5， ∴直线DE的解析式为y＝-x+5 联立， 解得：(舍)或 ∴E1（2，3）； 6分 ②法1：如图，设DE交CB于点G ∵∠CBD=∠BDG ∴GD＝GB， 取DB中点H ∴GH垂直平分DB ∵， ∴kDB=-2, DB中点 ∴kGH= ∴直线GH的解析式为， 联立， 解得 ∴直线DG的解析式为， 联立 解得：(舍)或 ∴E2（8，-45）； 9分 法2：如图，设DE交CB于点G ∵∠CBD=∠BDG ∴GD＝GB， 设G(n,) 解得 解得 ∴直线DG的解析式为， 联立 解得：(舍)或 ∴E2（8，-45）； 9分 (3) 12分 解析：当点C , D , F所在的圆与x轴相切时，∠CFD取得最大值 如图，此时易证△MCF∽△MFD ∴ ∴ ∴ 25.解： （1）相等，110° （2）∠BCE+∠BDE=180° 证明：∵△ABC∽△ADE ∴∠ACB=∠AED,∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ∴∠BAD=∠CAE, ∴△BAD∽△CAE ∴∠ABD=∠ACE 在△BDE中 ∠ABD+∠AED+∠BDE=180° ∴∠ACE+∠ACB+∠BDE=180° ∴∠BCE+∠BDE=180° （3） 延长CF至F’,使得CF=FF’,连接DF’,BF’ ∵△DCF∽△DAE ∴∠EAD=∠FCD, ∵E为AB中点,CF=FF’ ∴AB=2AE,CF’=2CF ∴ ∴△BDA∽△F’DC 由（2）得∠BAC+∠BF’C=180° ∵△ABC为等边三角形 ∴∠BAC=60° ∴∠BF’C=120° 取BC中点G，连接GF ∴BF’∥GF ∴∠GFC=120° ∴点F的轨迹为 ∠GOC=120°, r=OC=OG= ∴∠OCA=∠OCG+∠ACG=30°+60°=90° ∴ 当A、F、O共线时，AF取得最小值= 数学试题答案 第1页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$