专题03 第8章 整式乘法与因式分解全章综合复习（四大考点13种题型+过关训练）-2024-2025学年七年级数学下册期末综合复习（2024沪科版）

专题03 第8章 整式乘法与因式分解 目录 【题型一 幂的运算】 1 【题型二 幂的运算的逆用】 3 【题型三 科学计数法】 4 【题型四 整式的乘法运算】 5 【题型五 利用整式的乘法求值】 6 【题型六 整式乘法的应用】 8 【题型七 整式的化简求值】 10 【题型八 利用完全平方公式或平方差公式进行计算】 11 【题型九 完全平方公式和平方差公式在几何图形中的应用】 12 【题型十 判断是否是因式分解】 17 【题型十一 利用因式分解的结果求参数】 18 【题型十二 综合提公因式和公式法分解因式】 20 【题型十三 利用因式分解简便运算】 21 【题型一 幂的运算】 例题：（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式运算相关法则的应用．熟练掌握同类项概念、同底数幂的乘除法法则以及积的乘方法则，是解题的关键． 根据同类项概念；同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则；同底数幂相除，底数不变，指数相减的法则；根据积的乘方法则，依次进行计算即可． 【详解】A：与不是同类项，不能直接相减，该选项错误； B：，该选项错误； C：，该选项正确； D：，该选项错误． 故选：C． 【变式训练】 1．（2025·山西大同·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查整式混合运算，涉及同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项等知识，，熟记同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项等知识是解决问题的关键． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算或化简：① ；② ；③ ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，同底数幂的乘法，底数不变指数相减，可得答案． 【详解】解：①； ②； ③， 故答案为：，，． 【题型二 幂的运算的逆用】 例题：（24-25七年级下·江西吉安·期中）已知，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法逆运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2． 【变式训练】 1．（浙江省杭州市丁荷丁信中学联考2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）若，，，为正整数，则 （用含、的代数式来表示）． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的除法、幂的乘方等知识，根据同底数幂的除法、幂的乘方变形为再整体代入即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知，，求 (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)288 (2) 【分析】本题考查同底数幂的除法法则逆运用、同底数幂的乘法法则逆运用和幂的乘方法则逆运用，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则逆运用和幂的乘方法则逆运用计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则逆运用和幂的乘方法则逆运用计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 【题型三 科学计数法】 例题：（24-25七年级下·四川雅安·期中）“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅 花》，梅花的花粉直径约为 ，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【变式训练】 1．（江苏省常州市2024-2025学年七年级下学期数学期中试题）肥皂泡的泡壁厚度大约是米，数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：C． 2．（浙江省温州十七中、三中、四中、二十三中2024-2025学年七年级下学期期中测试数学试卷）小盟通过搜索得知小米汽车中涉及激光雷达，激光雷达波长纳米，相当于米，数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：C． 【题型四 整式的乘法运算】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，根据单项式乘以单项式、多项式乘以多项式的运算法则分别计算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解∶原式， （2）解∶原式 ． 【题型五 利用整式的乘法求值】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∴ ∴， 故答案为：6． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含项，求出a的值即可． 【详解】解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 【题型六 整式乘法的应用】 例题：（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图是某住宅的平面结构图（单位：米），房的主人计划将卧室以外的地面都铺上地砖．如果他选用地砖的价格为元米，则买砖至少需用（   ）元 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式．根据题意和图形中的数据，可以计算出买砖至少需用花费的钱数． 【详解】解：由图可得， 买砖至少需用： （元）， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张． 【答案】8 【分析】本题考查了用面积来表示多项式乘多项式乘法，掌握多项式乘法与纸片面积直角的关系是解答本题的关键．先求大长方形的面积，然后的系数即为C类卡片的张数． 【详解】解：∵ ， ∴需C类卡片8张， 故答案为：8． 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门计划在广场内部两个正方形区域修建凉亭，其余部分进行绿化，两个正方形区域的边长均为米． (1)用含有的式子表示绿化的总面积；（结果化成最简形式） (2)若，，绿化成本为100元/每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】本题考查整式混合运算解应用题，涉及整式乘法运算、整式加减运算及代数式求值等知识，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）根据题意，列代数式表示出绿化的总面积，再由整式的乘法运算及整式加减运算法则求解即可得到答案； （2）由（1）知绿化的总面积为，将，代入求解，再乘以绿化成本即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，绿化的总面积为 （平方米）； （2）解：由（1）知绿化的总面积为平方米， 当，时，原式， 绿化成本为100元/每平方米， 完成绿化工程共需要（元）． 【题型七 整式的化简求值】 例题：（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，则的值等于（    ） A． B．2 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法以及整体代入求值，解题的关键是先将展开．先利用多项式乘多项式法则将展开，然后把已知条件代入展开式进行计算． 【详解】解：∵ ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】31 【分析】本题主要考查代数式的化简与求值，涉及完全平方公式和分配律的应用，以及合并同类项．其中正确展开平方项，正确处理减号后的运算符是解题的关键． 利用完全平方公式展开，利用分配律展开乘法项，将展开后的所有项合并进行化简，代入值并计算最终结果． 【详解】解：原式展开并化简得 = = 当时， = ． 2．（2025·湖南衡阳·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．先根据多项式的乘法运算展开，进而合并同类项化简，最后整体代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【题型八 利用完全平方公式或平方差公式进行计算】 例题：（浙江省温州十七中、三中、四中、二十三中2024-2025学年七年级下学期期中测试数学试卷）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式把等式左边展开即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广西河池·期中） 【答案】16 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式展开求解即可． 【详解】解：， 故答案为：16． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 【题型九 完全平方公式和平方差公式在几何图形中的应用】 例题：（24-25七年级下·广西桂林·期中）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方差公式与几何图形，正确掌握图形面积的计算方法是解题的关键．根据公式分别计算两个图形的面积，由此得到答案． 【详解】解：正方形中阴影部分的面积为， 平行四边形的面积为， 由此得到一个x，a的恒等式是， 故选：C． 【变式训练】 1．（江西省景德镇市2024-2025学年下学期七年级数学期中考试试卷）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如： ， ． (1)根据以上变形填空： 已知，，则______； (2)若，，求的值； (3)如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． （1）根据即可求解； （2）根据求出，即可求解； （3）根据题意可得：，，，得到，根据，，，求出，进而得到，可求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 故答案为：； （2），， ， ； （3）正方形、的边长分别为、， ，， ， ， ，， ， ， 或（负值舍去）， ． 2．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）综合探究：数形结合是数学学习中一种重要的方法，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】若，请你画一个几何图形，证明，并根据你画的图形，直接写出正确的展开结果． (4)【迁移应用】计算． 【答案】(1)①②③ (2)4 (3)图和证明见解析， (4) 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、完全平方公式与图形面积，熟练掌握乘法公式是解题关键． （1）根据四个图形中，阴影部分的面积的计算方法即可得； （2）将原式变形为，利用平方差公式计算即可得； （3）画出一个边长为大正方形，根据大正方形的面积的两种计算方法即可得； （4）利用（3）的结果进行计算即可得． 【详解】（1）解：图①中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于边长为，且这条边上的高等于的平行四边形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图②中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图③中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于2个上底等于，下底等于，高等于的直角梯形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图④中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，不可以验证平方差公式； 故答案为：①②③． （2）解：原式 ． （3）解：由题意画出图形如下： 由图可知，大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 则． ∵， ∴，，， ∴， ∴． （4）解：将看作，看作，看作， 则 ． 【题型十 判断是否是因式分解】 例题：（山东省济南市高新区2024—2025学年下学期八年级期中考试数学卷）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义把一个多项式分解为几个多项式的乘积即可求解． 【详解】解：A．右边为多项式，不是因式分解，故A错误； B．，是因式分解，故B正确； C．右边为多项式，不是因式分解，故C错误； D．，因式分解错误，故D错误． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，容易出错． 根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意     B. ，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意； C. ，是因式分解，故此选项符合题意；     D. ，右边的因式不是整式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义即可判断，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； B、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； C、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； D、从左到右的变形属于因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 【题型十一 利用因式分解的结果求参数】 例题：（24-25七年级下·浙江·期中）若，则k的值是（    ） A．10 B． C． D．14 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式法则的应用，能正确根据法则进行计算是解此题的关键． 把等号右边利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应系数相等求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若多项式因式分解的结果为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据因式分解的结果求参数，根据题意可得，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可求出m、n的值，进而可求出答案． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，对比二次三项式的系数列方程求解即可； （2）将展开，对比二次三项式的系数列方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 解得． 【题型十二 综合提公因式和公式法分解因式】 例题：（24-25八年级上·广西玉林·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式分解因式、平方差公式分解因式，先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案．熟记提公因式分解因式、平方差公式分解因式等知识是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·云南玉溪·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数2，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型十三 利用因式分解简便运算】 例题：（2025·河北保定·一模）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【答案】D 【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解，本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）简便计算： ． 【答案】25 【分析】本题考查了因式分解在有理数简算中的运用，掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据题意，将改写成，运用完全平方和公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：25 ． 2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示阴影部分的面积是得出答案的关键．阴影部分是边长为的正方形，其面积可表示为，也可以看作是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，进而得出结论． 【详解】解：阴影部分是边长为的正方形，因此其面积为， 阴影部分也可以看作是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，即， 因此有， 故选：D． 2．（山西省太原市2024-2025学年下学期期中测试七年级数学试卷）若，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方运算法则，解题关键是熟练运用幂的乘方运算法则； 利用幂的乘方法则将和转化为已知的和的平方，再代入数值计算即可． 【详解】， ， ， ． 故选：D． 3．（江西省萍乡市2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）清代·袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据0.0000084用科学记数法表示为． 故选：B． 4．（浙江省杭州市保俶塔教育集团、杭州市紫金港中学、云城中学2024-2025学年七年级下学期期中数学试题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的合并，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法等，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用合并同类项，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，不是同类项，无法合并，该选项错误，故不符合题意； B. ，该选项正确，故符合题意； C. ，该选项错误，故不符合题意； D. ，该选项错误，故不符合题意； 故选：B． 5．（安徽省宣城市皖东南初中四校期中联考2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题）已知（，，是整数），则可能的值的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解答本题的关键． 根据多项式乘多项式的法则求得，，再进行分类讨论，从而得解． 【详解】解：， ，， 又，，是整数， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 故可能的值为个， 故选：C． 二、填空题 6．（2025·青海西宁·二模）用科学记数法表示数据是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：； 故答案为：． 7．（2025·四川成都·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查利用提公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．提公因式即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 8．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、完全平方公式的应用，将所求式子利用完全平方公式变形为，代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如果的乘积中不含的一次项，那么 ． 【答案】3 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可．本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算 【详解】解： 依题意，， ∵的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如果是的一个因式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式的定义，熟练掌握因式的定义是解题的关键，根据是的一个因式，可得当时，代数式，代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵是的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用． （1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（江苏省扬州市梅岭集团2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）已知，． (1)求的值． (2)计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则解答即可； （2）逆用积的乘方法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴； 由（1）得， ∴ ． 14．（江苏省扬州市梅岭集团2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）先化简，再求值：， 其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据完全平方公式和积的乘方计算，然后合并同类项，再将a、b的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 15．（北京市通州区2024-2025学年下学期七年级期中质量检测数学试题）在学习整式的乘法运算时我们常常利用平面图形中面积的等量关系验证某些数学法则、公式．下面图1，图2，图3，图4是揭示多项式与多项式相乘的法则，以及相应的乘法公式之间的联系．观察下面图形，解答下列问题．（n、m、a、b都是正整数） (1)如图1验证的是多项式乘以多项式的法则，当把法则中的字母特殊化，使得时，如图2，得到公式__________；当，时，如图3，可以验证的公式是：____________________（用图中的字母表示公式）； (2)观察图4，写出、、之间的等量关系____________________；并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘法在几何图形中的应用，正确理解图形面积之间的关系是解题的关键． （1）把等式中的m替换成n即可得到答案；图3中大正方形的边长为，据此可得其面积，而大正方形的面积又等于两个边长分别为n、a的正方形面积之和加上两个长为n，宽为a的长方形面积，据此可得答案； （2）中间的小正方形边长为，其面积为，中间的小正方形的面积等于边长为a的正方形面积减去四个长为a，宽为b的长方形面积，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，； 图3中有，即； （2）解：，证明如下： 中间的小正方形边长为，其面积为， 中间的小正方形的面积等于边长为a的正方形面积减去四个长为a，宽为b的长方形面积，即面积为， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 第8章 整式乘法与因式分解全章综合复习 目录 【题型一 幂的运算】 1 【题型二 幂的运算的逆用】 2 【题型三 科学计数法】 2 【题型四 整式的乘法运算】 3 【题型五 利用整式的乘法求值】 3 【题型六 整式乘法的应用】 4 【题型七 整式的化简求值】 4 【题型八 利用完全平方公式或平方差公式进行计算】 5 【题型九 完全平方公式和平方差公式在几何图形中的应用】 5 【题型十 判断是否是因式分解】 7 【题型十一 利用因式分解的结果求参数】 7 【题型十二 综合提公因式和公式法分解因式】 8 【题型十三 利用因式分解简便运算】 8 【题型一 幂的运算】 例题：（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·山西大同·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算或化简：① ；② ；③ ． 【题型二 幂的运算的逆用】 例题：（24-25七年级下·江西吉安·期中）已知，则 ． 【变式训练】 1．（浙江省杭州市丁荷丁信中学联考2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）若，，，为正整数，则 （用含、的代数式来表示）． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知，，求 (1)的值； (2)的值． 【题型三 科学计数法】 例题：（24-25七年级下·四川雅安·期中）“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅 花》，梅花的花粉直径约为 ，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（江苏省常州市2024-2025学年七年级下学期数学期中试题）肥皂泡的泡壁厚度大约是米，数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（浙江省温州十七中、三中、四中、二十三中2024-2025学年七年级下学期期中测试数学试卷）小盟通过搜索得知小米汽车中涉及激光雷达，激光雷达波长纳米，相当于米，数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【题型四 整式的乘法运算】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【题型五 利用整式的乘法求值】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型六 整式乘法的应用】 例题：（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图是某住宅的平面结构图（单位：米），房的主人计划将卧室以外的地面都铺上地砖．如果他选用地砖的价格为元米，则买砖至少需用（   ）元 A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张． 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门计划在广场内部两个正方形区域修建凉亭，其余部分进行绿化，两个正方形区域的边长均为米． (1)用含有的式子表示绿化的总面积；（结果化成最简形式） (2)若，，绿化成本为100元/每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 【题型七 整式的化简求值】 例题：（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，则的值等于（    ） A． B．2 C．8 D．7 【变式训练】 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）先化简，再求值：，其中，． 2．（2025·湖南衡阳·一模）先化简，再求值：，其中． 【题型八 利用完全平方公式或平方差公式进行计算】 例题：（浙江省温州十七中、三中、四中、二十三中2024-2025学年七年级下学期期中测试数学试卷）若，则 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广西河池·期中） 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中，． 【题型九 完全平方公式和平方差公式在几何图形中的应用】 例题：（24-25七年级下·广西桂林·期中）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（江西省景德镇市2024-2025学年下学期七年级数学期中考试试卷）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如： ， ． (1)根据以上变形填空： 已知，，则______； (2)若，，求的值； (3)如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和． 2．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）综合探究：数形结合是数学学习中一种重要的方法，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】若，请你画一个几何图形，证明，并根据你画的图形，直接写出正确的展开结果． (4)【迁移应用】计算． 【题型十 判断是否是因式分解】 例题：（山东省济南市高新区2024—2025学年下学期八年级期中考试数学卷）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【题型十一 利用因式分解的结果求参数】 例题：（24-25七年级下·浙江·期中）若，则k的值是（    ） A．10 B． C． D．14 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若多项式因式分解的结果为，则 ． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【题型十二 综合提公因式和公式法分解因式】 例题：（24-25八年级上·广西玉林·期末）分解因式： ． 【变式训练】 1．（2025·云南玉溪·二模）分解因式： ． 2．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）因式分解： (1) (2) 【题型十三 利用因式分解简便运算】 例题：（2025·河北保定·一模）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）简便计算： ． 2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（   ） A． B． C． D． 2．（山西省太原市2024-2025学年下学期期中测试七年级数学试卷）若，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 3．（江西省萍乡市2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）清代·袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（浙江省杭州市保俶塔教育集团、杭州市紫金港中学、云城中学2024-2025学年七年级下学期期中数学试题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（安徽省宣城市皖东南初中四校期中联考2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题）已知（，，是整数），则可能的值的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．（2025·青海西宁·二模）用科学记数法表示数据是 ． 7．（2025·四川成都·二模）因式分解： ． 8．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）已知，则代数式的值是 ． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如果的乘积中不含的一次项，那么 ． 10．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如果是的一个因式，则的值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 13．（江苏省扬州市梅岭集团2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）已知，． (1)求的值． (2)计算的结果． 14．（江苏省扬州市梅岭集团2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）先化简，再求值：， 其中． 15．（北京市通州区2024-2025学年下学期七年级期中质量检测数学试题）在学习整式的乘法运算时我们常常利用平面图形中面积的等量关系验证某些数学法则、公式．下面图1，图2，图3，图4是揭示多项式与多项式相乘的法则，以及相应的乘法公式之间的联系．观察下面图形，解答下列问题．（n、m、a、b都是正整数） (1)如图1验证的是多项式乘以多项式的法则，当把法则中的字母特殊化，使得时，如图2，得到公式__________；当，时，如图3，可以验证的公式是：____________________（用图中的字母表示公式）； (2)观察图4，写出、、之间的等量关系____________________；并证明你的结论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$