专题03 整式的乘法与因式分解（8重点+17种题型+复习提升）（暑假复习讲义）新八年级数学新教材沪科版

专题03 整式的乘除与因式分解 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 幂的运算 幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式. 1）同底数幂相乘 底数不变，指数相加，即（m，n都是正整数） 【补充】1.逆用公式：（m，n都是正整数） 2.三个或三个以上同底数幂相乘时，这一法则同样适用，如：（m，n，p都是正整数） 2）幂的乘方 底数不变，指数相乘，即（m，n都是正整数） 3）积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为正整数） 4）同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为正整数，且m＞n） 5）零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 知识点 2 整式的乘法 1）单项式乘单项式 运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 2）单项式乘多项式 运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 3）多项式乘多项式 运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 知识点 3 乘法公式 1）平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 平方差公式的常见变化形式： ①位置变化： ②符号变化： 2）完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： 知识点 4 整式的除法 1）单项式除以单项式 运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 2）多项式除以单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 知识点 5 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【补充说明】 1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可. 2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. 3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 知识点 6 提公因式法分解因式 公因式的定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式. 注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 公因式的确定： 解题模板 说明 举例： 一看系数 系数为整数时，公因式的系数的绝对值是各项系数绝对值的最大公约数 6,4,2的最大公约数是2, 故公因式的系数是2 二看字母 公因式中的字母应是各项中都含有的字母 式子中各项都含有a,b, 所以公因式中必含字母a,b 三看字母次数 公因式中字母的次数是相同字母的最低次数 a的最低次数是1，b的最低次数是2， 所以这个多项式的公因式是 提公因式法分解因式：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 提公因式法分解因式的步骤及方法如下： 解题模板 说明 举例： 确定公因式 可按照确定公因式的方法先确定系数， 再确定字母，最后确定字母次数 公因式是 提取公因式并确定另一个因式 用原多项式除以公因式所得的商就是提取公因式后剩下的另一个因式 知识点 7 公式法分解因式 定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 逆用平方差法分解因式： 速记口诀：首平方减尾平方，等于首加尾乘首减尾(首:第一项的底数；尾:第二项的底数). 逆用完全平方公式分解因式： 速记口诀：首平方加尾平方，2倍首尾积，加减放中央，等于首加(减)尾的平方. 知识点 8 因式分解的步骤 【题型1 幂的混合运算】 高妙技法 计算时可能用到以下公式： 1) 2） 3) 4) 5) 【注意】同底数幂的运算法则只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化成同底数，若不能则不能用同底数幂的运算法则进行计算. 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北恩施·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 零指数幂与负整数幂】 4．（2025年湖北省恩施州中考二模九年级数学试卷）计算：． 5．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算： 【题型3 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 高妙技法 科学记数法的表示步骤： 1）确定a，将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后面即可得到a的取值. 2）确定n.有以下两种方法:①根据原数的整数位数来确定n，n等于原数的整数位数减1. 例如，2021是一个四位整数，用科学记数法表示为，其中n=4-1=3. ②按小数点移动的位数来确定n.小数点向左移动了几位，n就等于几. 6．（2025·安徽阜阳·三模）中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟9000芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产芯片，等于，数据0.000000014可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）量子计算原型机“九章三号”，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）某种液体中有害细菌的含量是个/L，某种杀菌剂一滴可以杀死个此种有害细菌，现在将这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂的体积为，则杀死这些有害细菌要用多少升杀菌剂（结果用科学记数法表示）？ 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）用小数表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4 幂的逆用】 高妙技法 ，， ，（a≠0）. 10．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）某同学在比较，的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题：若，，试比较，的大小． 11．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知计算： (1)的值； (2)的值； (3)之间的数量关系． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【题型5 与幂的运算有关的新定义问题】 13．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 14．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）定义一种新运算：规定．若，则的值为 ． 15．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）定义新运算：， (1)求的值． (2)若，求m的值． 【题型6 整式的四则运算及化简问题】 高妙技法 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）计算： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：其中； (4)先化简，再求值：其中，． 18．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）（1）化简： （2）先化简，再求值：，其中，，． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值． 【题型7 与整式乘法有关的不含/无关型问题】 高妙技法 若整式加减运算结果“不含某项”或整体的值“与某个字母的值无关”，实质是去括号，合并同类项后，令该项的系数为0，从而求出待定字母的值. 20．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若的结果中不含和项，求的值： 21．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，且的值与无关，求的值． 【题型8 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 高妙技法 22．（23-24七年级下·全国·单元测试）在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 【题型9 与多项式乘法有关的规律探究问题】 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律，_______． (2)由此归纳出一般规律_______（其中n为正整数）． (3)根据以上规律计算：． 24．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）【课本再现】我国南宋数学家杨辉在他年的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”．如图，此图揭示了（为非负整数）、展开式的项数及各项系数的一些相关规律． 如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到以下等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 请你根据以上信息解答下列问题： 【探索发现】你能根据以上数表得到的展开式吗?并利用多项式乘法法则验证你的结果是否正确； 【拓展探究】的展开式共有______项，系数和为______； 【实践应用】请你利用以上规律计算： 【题型10 已知完全平方式求参数】 高妙技法 首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 25．（24-25七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 26．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果关于的整式是完全平方式，那么 ． 【题型11 通过对完全平方式变形求值】 27．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，求的值． 28．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 29．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 30．（24-25七年级上·上海·期中）（1） 已知，， 可得： ， （2） 已知，，求 的值． 【题型12 乘法公式与几何图形】 31．（24-25七年级上·上海·期中）（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______ （2）若，则_______． （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 32．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 33．（23-24七年级下·广东河源·期中）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【题型13 选用合适的方法分解因式】 高妙技法 34．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）将下列多项式分解因式 (1) (2) (3) (4) 35．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【题型14 因式分解在有理数简算中的应用】 高妙技法 在解决数的计算问题中我们可以把相同的数看作同一字母，把算式看作多项式，利用因式分解改变运算顺序以减少计算量. 36．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 37．（24-25八年级上·全国·单元测试）简便计算： (1)； (2) 【题型15 已知因式分解的结果求参数】 38．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 39．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【题型16 利用十字相乘法/分组分解法分解因式】 40．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 41．（24-25八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，解答后面的问题． 分解因式： 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体 设定新变量：设 进行换元：将代入原代数式，则原代数式变为，得到 因式分解简化后的代数式：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解，得到 上述这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)分解因式时，设，则原代数式化为 ； (2)模仿上述方法分解因式：． 42．（24-25八年级下·四川达州·期中）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 43．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【题型17 因式分解的应用】 43．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 44．（23-24八年级上·陕西西安·期末）请通过计算说明：当为任意正整数时，能被24整除． 45．（24-25七年级上·上海·期中）正数，，满足，求的值． 46．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 47．（24-25七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 48．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 提升专练 1．（2025·山西·三模）2025年3月18日，从山西大学光电研究所获悉，山西大学与多家单位合作，将DNA折纸二维晶格与二维范德华材料结合，构建出独特的二维软-硬物质界面．研究团队通过优化DNA折纸结构的设计参数，成功构建了尺寸达到级别的高质量DNA折纸二维晶格．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北沧州·二模）下列选项中，其中一个的计算结果和其他三个不同，则这个不同的式子是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，有长方形空地，其中米，米，为了改善环境，准备修建一横一纵宽度均为1米的两条小路，其余部分为花圃．用含，的代数式表示花圃的面积为（   ）    A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 4．（2025·河北石家庄·一模）如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（2025九年级下·河北·专题练习）对因式分解，珍珍的答案为：；轩轩的答案为：，下列判断正确的是（　　） A．两人的结果都对 B．两人的结果都不对 C．只有嘉嘉的结果对 D．只有琪琪的结果对 6．（24-25八年级上·山东临沂·期末）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如图所示，则乙同学批改正确的是（   ） 练习 ①； ②； ③； ④； A．第①、②题 B．第①、④题 C．第②、③题 D．第③、④题 8．（2025·宁夏银川·一模）化简： ． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算或化简：① ；② ；③ ． 10．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）结合“（是正整数），即积的乘方等于乘方的积”计算： ． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如果等式恒成立，其中B，C为常数， ． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）杨辉三角形是形如（这里，2，3，4……）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列：记载于1261年他所著的（详解九章算术）中．1854年：法国数学家帕斯卡也发现了这一规律，不过比杨辉迟了近四百年，杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就．如图是杨辉三角形与展开式的部分对照，请回答下列问题 （1）的展开式中系数为10的项是 ． （2）的展开式中的系数是 ． 13．（24-25七年级下·山东青岛·期中）计算 (1) (2) (3) (4)利用乘法公式计算： (5)利用乘法公式计算： 14．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）某串联电路中电流（单位：）、电阻、、（单位：）、时间（单位：）与热量（单位：）有下列关系：，如图，当，，，，时，求电流流经电阻所产生的热量． 15．（2025·河北廊坊·二模）数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： ； ． (1)比较M，N的大小； (2)若，证明：P不可能小于0． 16．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【探索】 （1）观察图1，图2，请写出之间的等量关系：_______；根据（1）的结论，若的值是_______． 【应用】 （2）如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和． 【拓展】 （3）利用4张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时，永远为定值，求之间的数量关系． 17．（24-25七年级下·江苏南京·期中）【数学模型】已知小长方形纸片的两边长分别为、，用四张这样的纸片构成如图1所示的大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而得到等式： __________． 解决问题  如图2，学校生物兴趣小组打算用篱笆围成长方形生物园来饲养小兔． （1）若篱笆的长为，怎样围可使小兔的活动范围最大？试说明理由． （2）若生物园的面积为，怎样围可使用的篱笆最短？试说明理由． 18．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）【观察思考】 将大小形状完全相同的“”和“”按如图所示的规律依次摆放，归纳图形中的规律，解决下列问题． 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； （2）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； 【规律应用】 （3）第个图案中，“”和“”的数量之和为225，求的值． 19．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 真题感知 1．（2024·西藏·中考真题）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川雅安·中考真题）计算的结果是（    ） A． B．0 C．1 D．4 4．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 5．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 6．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 9．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ． 10．（2024·甘肃临夏·中考真题）计算：． 11．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 31．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 整式的乘除与因式分解 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 幂的运算 幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式. 1）同底数幂相乘 底数不变，指数相加，即（m，n都是正整数） 【补充】1.逆用公式：（m，n都是正整数） 2.三个或三个以上同底数幂相乘时，这一法则同样适用，如：（m，n，p都是正整数） 2）幂的乘方 底数不变，指数相乘，即（m，n都是正整数） 3）积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为正整数） 4）同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为正整数，且m＞n） 5）零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 知识点 2 整式的乘法 1）单项式乘单项式 运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 2）单项式乘多项式 运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 3）多项式乘多项式 运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 知识点 3 乘法公式 1）平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 平方差公式的常见变化形式： ①位置变化： ②符号变化： 2）完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： 知识点 4 整式的除法 1）单项式除以单项式 运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 2）多项式除以单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 知识点 5 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【补充说明】 1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可. 2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. 3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 知识点 6 提公因式法分解因式 公因式的定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式. 注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 公因式的确定： 解题模板 说明 举例： 一看系数 系数为整数时，公因式的系数的绝对值是各项系数绝对值的最大公约数 6,4,2的最大公约数是2, 故公因式的系数是2 二看字母 公因式中的字母应是各项中都含有的字母 式子中各项都含有a,b, 所以公因式中必含字母a,b 三看字母次数 公因式中字母的次数是相同字母的最低次数 a的最低次数是1，b的最低次数是2， 所以这个多项式的公因式是 提公因式法分解因式：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 提公因式法分解因式的步骤及方法如下： 解题模板 说明 举例： 确定公因式 可按照确定公因式的方法先确定系数， 再确定字母，最后确定字母次数 公因式是 提取公因式并确定另一个因式 用原多项式除以公因式所得的商就是提取公因式后剩下的另一个因式 知识点 7 公式法分解因式 定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 逆用平方差法分解因式： 速记口诀：首平方减尾平方，等于首加尾乘首减尾(首:第一项的底数；尾:第二项的底数). 逆用完全平方公式分解因式： 速记口诀：首平方加尾平方，2倍首尾积，加减放中央，等于首加(减)尾的平方. 知识点 8 因式分解的步骤 【题型1 幂的混合运算】 高妙技法 计算时可能用到以下公式： 1) 2） 3) 4) 5) 【注意】同底数幂的运算法则只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化成同底数，若不能则不能用同底数幂的运算法则进行计算. 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方及合并同类项，熟练掌握幂运算法则及合并同类项得法则是解题的关键．根据幂运算法则及合并同类项法则，即可判断答案． 【详解】解：A、，所以A选项错误，不符合题意； B、，所以B选项正确，符合题意； C、，所以C选项错误，不符合题意； D、，所以D选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2025·湖北恩施·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂除法，同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方．根据同底数幂除法，同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 3．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，涉及有理数幂的概念，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等知识，根据这些运算进行即可． 【详解】解：；；； ； 故选：D． 【题型2 零指数幂与负整数幂】 4．（2025年湖北省恩施州中考二模九年级数学试卷）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了有关负整数指数幂和零指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键． 分别计算负整数指数幂和零指数幂，以及计算绝对值，再进行加减计算． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂，乘方以及绝对值，先运算零次幂、负整数指数幂、乘方以及化简绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： 【题型3 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 高妙技法 科学记数法的表示步骤： 1）确定a，将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后面即可得到a的取值. 2）确定n.有以下两种方法:①根据原数的整数位数来确定n，n等于原数的整数位数减1. 例如，2021是一个四位整数，用科学记数法表示为，其中n=4-1=3. ②按小数点移动的位数来确定n.小数点向左移动了几位，n就等于几. 6．（2025·安徽阜阳·三模）中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟9000芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产芯片，等于，数据0.000000014可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据0.000000014可用科学记数法表示为， 故选：B． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）量子计算原型机“九章三号”，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：百万分之一， 故选：B． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）某种液体中有害细菌的含量是个/L，某种杀菌剂一滴可以杀死个此种有害细菌，现在将这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂的体积为，则杀死这些有害细菌要用多少升杀菌剂（结果用科学记数法表示）？ 【答案】3滴； 【分析】本题考查了同底数幂乘除法的实际应用及科学记数法，解题的关键是：理解题意正确列式．先求出3升含有细菌的个数，再求出杀死这些细菌需要的滴数，再用滴数除以每滴这种杀菌剂的升数，即可求解 【详解】解：由题意得：（滴）， ． 答：需要3滴，要用． 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）用小数表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0.0036 (2) (3)0.000092 (4)0.00000003 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数，据此求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【题型4 幂的逆用】 高妙技法 ，， ，（a≠0）. 10．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）某同学在比较，的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题：若，，试比较，的大小． 【答案】 【分析】此题考查了幂的乘方的逆用．把原式变为同指数的幂，比较底数的大小即可． 【详解】解：因为，， 而， 所以． 11．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知计算： (1)的值； (2)的值； (3)之间的数量关系． 【答案】(1)243 (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，同底数幂除法的逆用，幂的乘方的逆用，熟练运用以上法则是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法的逆用计算即可； （2）根据同底数幂除法的逆用计算即可； （3）根据幂的乘方的逆用计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：因为， 所以 因为， 所以 所以． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 【题型5 与幂的运算有关的新定义问题】 13．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【详解】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 14．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）定义一种新运算：规定．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了定义新运算，同底数幂的乘法，读懂题意是解题的关键．根据题意可知，，然后解方程即可． 【详解】解： 故答案为：1． 15．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）定义新运算：， (1)求的值． (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算代入求解即可； （2）根据新定义得到，再根据同底数幂的乘法得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：． 【题型6 整式的四则运算及化简问题】 高妙技法 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算、幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用幂的乘方化简，然后再根据整式的四则混合运算法则计算即可； （2）先运用积的乘方化简，然后再根据整式的四则混合运算法则计算即可； （3）先运用积的乘方、积的乘方化简，然后再根据整式的四则混合运算法则计算即可； （4）先运用积的乘方、积的乘方化简，然后再根据整式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 17．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）计算： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：其中； (4)先化简，再求值：其中，． 【答案】(1) (2) (3)； (4)； 【分析】本题主要考查整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据单项式乘以多项式的运算法则将括号展开，再合并即可得到结果； （2）原式先计算积的乘方，再进行单项式乘以单项式和单项式乘以多项式运算，再合并即可； （3）原式根据单项式乘以多项式的运算法则将括号展开，再合并即可得到结果，再把代入计算即可； （4）原式先计算积的乘方，再进行单项式乘以单项式运算得出结果，再把的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 当时，原式； （4）解： ； 当，时，原式． 18．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）（1）化简： （2）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的计数法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先计算单项式乘以多项式，再计算多项式除以单项式，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含项可得项的系数为，解之即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴， ∴． 【题型7 与整式乘法有关的不含/无关型问题】 高妙技法 若整式加减运算结果“不含某项”或整体的值“与某个字母的值无关”，实质是去括号，合并同类项后，令该项的系数为0，从而求出待定字母的值. 20．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若的结果中不含和项，求的值： 【答案】 【分析】本题考查了求整式的值，多项式乘以多项式，多项式中不含某项的条件；先按多项式乘以多项式法则运算得，再由多项式中不含某项的条件即可求解，理解多项式中不含某一项的条件就是使得这一项的系数为零是解题的关键． 【详解】解：原式 结果中不含和项， ， 解得：， ． 21．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，且的值与无关，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简求值．根据整式的混合运算顺序和法则化简，根据其值与x无关得出，即可得出答案． 【详解】解：因为 ， 因为， 所以 ． 由题意，得， 解得． 【题型8 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 高妙技法 22．（23-24七年级下·全国·单元测试）在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 【答案】(1) (2)①②③④ 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察阅读材料得到结果即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④． 故答案为：①；②；③；④． 【题型9 与多项式乘法有关的规律探究问题】 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律，_______． (2)由此归纳出一般规律_______（其中n为正整数）． (3)根据以上规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式中的规律性问题，准确计算是解题的关键． （1）根据给出式子的规律书写即可； （2）根据给出式子的规律即可得出结果； （3）根据（2）中的规律计算即可； 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案是：． （2）解：根据题意得：； 故答案是：； （3）解： 24．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）【课本再现】我国南宋数学家杨辉在他年的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”．如图，此图揭示了（为非负整数）、展开式的项数及各项系数的一些相关规律． 如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到以下等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 请你根据以上信息解答下列问题： 【探索发现】你能根据以上数表得到的展开式吗?并利用多项式乘法法则验证你的结果是否正确； 【拓展探究】的展开式共有______项，系数和为______； 【实践应用】请你利用以上规律计算： 【答案】【探索发现】：，证明见解析；【拓展探究】：， ；【实践应用】： 【分析】本题考查了多项式的乘法运算中的规律问题，数字类规律探究，多项式的系数、项数、次数等． 【探索发现】结合多项式乘多项式的运算法则和完全平方公式进行展开计算，即可求解； 【拓展探究】根据已知式子中项数、系数等变化规律，即可求解； 【实践应用】根据杨辉三角的规律，进行计算即可求解． 【详解】【探索发现】解： 证明：左边 =右边； 故． 【拓展探究】解：∵，它只有一项，系数为；系数和为，且； ，它有两项，系数分别为，；系数和为，且； ，它有三项，系数分别为，，；系数和为，且； ，它有四项，系数分别为，，，；系数和为，且； 以此类推， 的展开式有项，系数和； 故答案为：，． 【实践应用】解： ． 【题型10 已知完全平方式求参数】 高妙技法 首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 25．（24-25七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 所以， 故答案为：． 26．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果关于的整式是完全平方式，那么 ． 【答案】2或． 【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．根据完全平方式等于两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，可得答案． 【详解】解：∵ ∴ 解得或． 故答案为：2或． 【题型11 通过对完全平方式变形求值】 27．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先求出，再根据完全平方公式拓展公式，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 28．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，多形式与多项式的乘法计算，先根据完全平方公式求出，，然后根据多相式的乘法法则把化简后代入计算即可． 【详解】解：当，时 原式 ． 29．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 30．（24-25七年级上·上海·期中）（1） 已知，， 可得： ， （2） 已知，，求 的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，解题的关键在于利用完全平方公式进行变形． （1）利用完全平方公式进行变形得到，进行求解，即可解题； （2）利用完全平方公式进行变形得到，结合，进行求解，即可解题． 【详解】解：（1），， ， ， 故答案为：，． （2）， ， ， ， ， ， ． 【题型12 乘法公式与几何图形】 31．（24-25七年级上·上海·期中）（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______ （2）若，则_______． （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用． （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，可得答案； （2）将，代入（1）中公式即可； （3）由正方形的边长为x，则，得，设，得，则，代入即可． 【详解】解：（1）由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 将代入得：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵正方形的边长为x， ∴， ∴， 设， ∴， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为． 32．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【答案】(1) (2)84 (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方公式以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片20张，2号卡片21张，3号卡片43张， 即，，， ， 故答案为：84； （3）解：可以拼成边长为的正方形， 答：拼成最大面积的正方形边长为． （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ，即2号卡片的边长为． 33．（23-24七年级下·广东河源·期中）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2)4 (3) 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键； （1）分别表示各图形面积，再利用等面积法可得答案； （2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图①：由等面积可得：， 图②：由等面积可得：， 图③：由等面积可得：， 图④：由等面积可得：， 故答案为：①②③ （2）原式 ． （3）原式 ． 【题型13 选用合适的方法分解因式】 高妙技法 34．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）将下列多项式分解因式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可； （3）先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可； （4）根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解∶原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式． 35．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）利用提公因式法解题即可； （2）先提公因式，然后再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【题型14 因式分解在有理数简算中的应用】 高妙技法 在解决数的计算问题中我们可以把相同的数看作同一字母，把算式看作多项式，利用因式分解改变运算顺序以减少计算量. 36．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 37．（24-25八年级上·全国·单元测试）简便计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式、乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）利用因式分解进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算和乘法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型15 已知因式分解的结果求参数】 38．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，对比二次三项式的系数列方程求解即可； （2）将展开，对比二次三项式的系数列方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 解得． 39．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【题型16 利用十字相乘法/分组分解法分解因式】 40．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 41．（24-25八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，解答后面的问题． 分解因式： 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体 设定新变量：设 进行换元：将代入原代数式，则原代数式变为，得到 因式分解简化后的代数式：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解，得到 上述这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)分解因式时，设，则原代数式化为 ； (2)模仿上述方法分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键． （1）利用换元法即可得出结果； （2）模仿上述方法逐步进行因式分解即可． 【详解】（1）解：设，则原代数式化为， 故答案为：； （2）解：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解得到 所以，． 42．（24-25八年级下·四川达州·期中）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 【答案】(1)①；② (2)7 【分析】本题考查了因式分解的方法，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、十字相乘法进行分解、运用完全平方公式进行分解，解题的关键是理解分组分解法、十字相乘法的实质． （1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②画十字交叉线，即可利用十字相乘法分解； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出、、的值，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ②由图可得： 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故的周长为：7． 43．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照进行分解即可； （）仿照进行分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型17 因式分解的应用】 43．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照进行分解即可； （）仿照进行分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 44．（23-24八年级上·陕西西安·期末）请通过计算说明：当为任意正整数时，能被24整除． 【答案】见解析 【分析】此题考查了因式分解的应用，原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 【详解】证明：原式 ， 则当为任意正整数时，能被24整除． 45．（24-25七年级上·上海·期中）正数，，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．将式子因式分解为，求得，同理可得，，推出，再可化为，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ，即， ， ， ， ， 同理求得：，， ， 可化为， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ． 46．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解题的关键,运用分组分解法判断出，进而得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 或， ，，是的三边， ， 为等腰三角形． 47．（24-25七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 【答案】(1)提公因式法，2 (2)2024， (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法． （1）根据阅读因式分解的过程即可得结论； （2）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； （3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； 【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）解： ， 则需应用上述方法2024次，结果是， 故答案为：2024，； （3）解： ． 48．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 【答案】(1) (2) (3)25 (4)1 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式求值，完全平方公式以及提取公因式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键． （1）将原式展开，再代入求值； （2）直接提取公因式，进而分解因式得出答案； （3）直接利用完全平方公式进而求出答案； （4）直接利用（3）中所求，结合完全平方公式求出答案． 【详解】（1）∵， ∴ ； （2） ； （3）∵ ∴ ∴ ∴； （4） ． 提升专练 1．（2025·山西·三模）2025年3月18日，从山西大学光电研究所获悉，山西大学与多家单位合作，将DNA折纸二维晶格与二维范德华材料结合，构建出独特的二维软-硬物质界面．研究团队通过优化DNA折纸结构的设计参数，成功构建了尺寸达到级别的高质量DNA折纸二维晶格．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同；据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．（2025·河北沧州·二模）下列选项中，其中一个的计算结果和其他三个不同，则这个不同的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则，进行计算，判断即可． 【详解】解：，，，； 故不同的式子是； 故选D． 3．（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，有长方形空地，其中米，米，为了改善环境，准备修建一横一纵宽度均为1米的两条小路，其余部分为花圃．用含，的代数式表示花圃的面积为（   ）    A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘以多项式与几何图形的面积，利用平移思想，得到花圃的面积为长为，宽为的长方形的面积，进行求解即可． 【详解】解：平方米； 故选C． 4．（2025·河北石家庄·一模）如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，根据矩形的面积公式列式计算，算出每个选项的结果，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意， B、，故该选项符合题意， C、，故该选项不符合题意， D、，故该选项不符合题意， 故选：B． 5．（2025九年级下·河北·专题练习）对因式分解，珍珍的答案为：；轩轩的答案为：，下列判断正确的是（　　） A．两人的结果都对 B．两人的结果都不对 C．只有嘉嘉的结果对 D．只有琪琪的结果对 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再用平方差公式分解即可；珍珍的解法是先提取公因式，再用平方差公式分解，轩轩的解法是先提取公因式，再用平方差公式分解，两种解法都正确． 【详解】解：珍珍的解法：； 轩轩的解法：； 故两种解法都正确； 故选：A． 6．（24-25八年级上·山东临沂·期末）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，正确掌握新定义是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 7．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如图所示，则乙同学批改正确的是（   ） 练习 ①； ②； ③； ④； A．第①、②题 B．第①、④题 C．第②、③题 D．第③、④题 【答案】A 【分析】本题考查整式的乘法，根据整式的乘法运算法则，结合乘法公式逐个判断即可． 【详解】解：①，原计算正确； ②，原计算正确； ③，原计算错误； ④，原计算错误； 故乙同学批改正确的是第①、②题， 故选：A． 8．（2025·宁夏银川·一模）化简： ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义和零指数幂的意义，熟练掌握实数法则与性质是解题的关键．利用负整数指数幂和零指数幂的意义化简运算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：3． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算或化简：① ；② ；③ ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，同底数幂的乘法，底数不变指数相减，可得答案． 【详解】解：①； ②； ③， 故答案为：，，． 10．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）结合“（是正整数），即积的乘方等于乘方的积”计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：6 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如果等式恒成立，其中B，C为常数， ． 【答案】11 【分析】此题考查了整式的混合运算和多项式相等．因为恒成立，根据对应相等即可得出答案． 【详解】解：∵恒成立， ∴，， ∴， 故． 故答案为：11． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）杨辉三角形是形如（这里，2，3，4……）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列：记载于1261年他所著的（详解九章算术）中．1854年：法国数学家帕斯卡也发现了这一规律，不过比杨辉迟了近四百年，杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就．如图是杨辉三角形与展开式的部分对照，请回答下列问题 （1）的展开式中系数为10的项是 ． （2）的展开式中的系数是 ． 【答案】 2023 【分析】本题主要考查了整式中的规律计算，准确找出相应的规律是解题关键． （1）根据规律将的展开即可得到结果； （2）每一行，倒数第二个数的数字系数为，字母为，每一项的正负号取决于字母的次数，据此解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的展开式中系数为10的项是和， 故答案为：，； （2）∵展开后每一行倒数第二个数的数字系数为，字母为，每一项的正负号取决于字母的次数， ∴的展开式中的系数是2023， 故答案为：2023． 13．（24-25七年级下·山东青岛·期中）计算 (1) (2) (3) (4)利用乘法公式计算： (5)利用乘法公式计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握相关运算法则，乘法公式，是解题的关键： （1）根据幂的乘方和单项式乘以单项式的法则进行计算即可； （2）进行完全平方公式和去括号运算，再合并同类项即可； （3）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可； （4）利用平方差公式进行简算即可； （5）先用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式． 14．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）某串联电路中电流（单位：）、电阻、、（单位：）、时间（单位：）与热量（单位：）有下列关系：，如图，当，，，，时，求电流流经电阻所产生的热量． 【答案】108J 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，先将公式因式分解，然后将已知数据代入求值，即可求解． 【详解】解：由题意得， 答：电流流经电阻所产生的热量为 15．（2025·河北廊坊·二模）数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： ； ． (1)比较M，N的大小； (2)若，证明：P不可能小于0． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】该题考查了整式的加减混合运算，完全平方公式． （1）计算即可求解； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 故． （2）证明：∵， ∴ ， 故P不可能小于0． 16．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【探索】 （1）观察图1，图2，请写出之间的等量关系：_______；根据（1）的结论，若的值是_______． 【应用】 （2）如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和． 【拓展】 （3）利用4张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时，永远为定值，求之间的数量关系． 【答案】（1），12 （2）种草区域的面积和为19 （3）的面积为14 （4） 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，整式的加减无关型问题，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将，代入求解即可； （2）设，由题意得，，，根据代入计算即可． （3）根据长方形的面积得，结合永远为定值，整理得，根据，则，即可作答． 【详解】解：（1）图1中4个小长方形的面积为， 图②中4个小长方形的面积为， ∴； ∵，， 根据题意得，， ∴， ∴； 故答案为：， （2）设，， 由题意得，， ∴，即， ∴ ， 即种草区域的面积和为19． （3）∵长方形的面积为，长方形的面积为． ∴， ∴， ∵不论的长为何值时，永远为定值，且， ∴的值与无关， ∴， 即a与b之间的数量关系为． 17．（24-25七年级下·江苏南京·期中）【数学模型】已知小长方形纸片的两边长分别为、，用四张这样的纸片构成如图1所示的大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而得到等式： __________． 解决问题  如图2，学校生物兴趣小组打算用篱笆围成长方形生物园来饲养小兔． （1）若篱笆的长为，怎样围可使小兔的活动范围最大？试说明理由． （2）若生物园的面积为，怎样围可使用的篱笆最短？试说明理由． 【答案】[数学模型] ；（1）生物园围成一个边长为的正方形时，小兔的活动范围最大；（2）把生物园围成一个边长为的正方形时，用的篱笆最短 【分析】本题考查了完全平方公式与几何的应用，利用完全平方公式变形求值及其非负性解决问题． [数学模型]由于大正方形的边长为，则面积表示为，而大正方形的面积表示为4个长方形的面积与一个小正方形的面积和，则大正方形面积为：，即可建立等式； （1）设篱笆长为，则宽为，那么长方形面积为：，利用完全平方公式变形为，再由非负性求解即可； （2）设生物园的长为，宽为，由题意得，则，由上可得：，即，再利用平方根的定义即可求解． 【详解】[数学模型] 解：大正方形的边长为，则面积为， 大正方形的面积表示为4个长方形的面积与一个小正方形的面积和，则大正方形面积为：， ∴得到等式：； （1）解：设篱笆长为，则宽为， ∴长方形面积为：， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值为16，此时， 即把生物园围成一个边长为的正方形时，小兔的活动范围最大； （2）解：设生物园的长为，宽为， 由题意得， ∴， 由上可得：， ∴， ∵， ∴， 当时，等号成立， ∴当把生物园围成一个边长为的正方形时，用的篱笆最短． 18．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）【观察思考】 将大小形状完全相同的“”和“”按如图所示的规律依次摆放，归纳图形中的规律，解决下列问题． 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； （2）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； 【规律应用】 （3）第个图案中，“”和“”的数量之和为225，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）14 【分析】本题考查了图形规律，运用代数式表达式，解一元二次方程． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据前几个图案的规律，即可求解； （3）根据题意，列出关系式，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第个图案中，“”的数量有：， 故答案为：； （2）第个图案中，“”的数量有：， 故答案为：； （3）由题意得，，即， 解得（负数已舍去）， 即的值为14． 19．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 真题感知 1．（2024·西藏·中考真题）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将0.0000007用科学记数法表示应为， 故选：C． 2．（2024·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式等知识，根据运算法则进行计算即可作出判断即可． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2024·四川雅安·中考真题）计算的结果是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂，掌握“任何不为零的零次幂等于1”是正确解答的关键． 根据零指数幂的运算性质进行计算即可． 【详解】解：原式． 故选：C． 4．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 5．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 6．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 7．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 9．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．（2024·甘肃临夏·中考真题）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 11．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项，最后代入即可求解． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 31．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$