第8章 整式乘法与因式分解（基础类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第8章 整式乘法与因式分解思维导图 【类型覆盖】 类型一、判定是否是因式分解 【解惑】下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，进行解答，即可． 【详解】A、，不属于因式分解，不符合题意； B、属于因式分解，符合题意； C、，不属于因式分解，不符合题意； D、，不属于因式分解，不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 、，等式的左边不是一个多项式，等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 、，符合因式分解的定义，是因式分解，符合题意； 、，等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：． 2．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 【答案】 ①②/②① ③④/④③ 【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解，将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，整式的乘法是指单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式相乘，根据各自的定义判断即可． 【详解】解：①是整式乘法， ②是整式乘法， ③是因式分解， ④是因式分解． 故答案为：①②；③④． 3．以下等式：①；②；③；④；⑤．从左到右的变形属于因式分解的是 ． 【答案】④ 【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可得出答案． 【详解】①是整式乘法，不是因式分解； ②从左到右的变形不是因式分解； ③是整式乘法，不是因式分解； ④是因式分解； ⑤，不是因式分解． 故选④． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做因式分解是解题的关键． 类型二、科学记数法 【解惑】由国际宇航联合会主办的第75届国际宇航大会于2024年10月14日至18日在意大利米兰举办，在此次大会中中国探月工程嫦娥六号任务从月球背面采样返回带来的月壤首次面向全球展出，展示的月壤样品重75毫克，即0.075克，将0.075用科学记数法表示应是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 故选：B． 【融会贯通】 1．石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将0.00000000034用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定和的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：C． 2．国产芯片龙头通富微电，成功突破5纳米工艺，拿下了来自美国芯片巨头的大量订单，订单甚至排到了2026年，5纳米等于0.000000005米，数据“0.000000005”用科学记数法为 ． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义改写即可． 本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：， 故答案为：． 3．若用科学记数法表示为，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查科学记数法及负整数幂的含义，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．先将原数转化为幂的形式，再根据科学记数法可得，再解方程即可． 【详解】解：， 用科学记数法表示为， ， ， 故答案为：5． 类型三、同底数幂的乘法 【解惑】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行判断．根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．计算所得的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则即可得出答案． 【详解】解： ， 故选：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据底数不变指数相加即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（1）已知，求的值； （2）已知，求t的值． 【答案】（1）8；（2） 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法及积的乘方，关键是能准确运用幂的乘方、同底数幂的乘法及积的乘方对代数式进行变形求解． （1）将变形为，再整体代入求解； （2）将变形为，再求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以， 所以． （2）因为， 所以当时，， 所以， 解得． 类型四、同底数幂的除法 【解惑】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方．根据同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．若，则 的值为（   ） A． B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算法则及整体代入思想，解题关键是利用幂的性质对变形后，将作为整体代入求值 ． 根据幂的运算法则对进行化简得，然后由，可得，再代入求值即可解答 【详解】 ， ∵， ∴， ∴原式， 故选：B． 2．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算．熟练掌握同底数幂乘除法，幂的乘方的运算法则，是解决问题的关键．相关公式有：，，． 根据同底数幂乘除法，幂乘方的运算法则，进行计算，即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（1）已知， ①求的值； ②求 （2）已知，，求 ①的值； ②的值． 【答案】（1）①；②；（2）①；② 【分析】此题主要考查了同底数幂相乘、同底数幂相除及幂的乘方，关键是熟练掌握各计算法则并能熟练应用，其中逆运算是学习的难点. （1）根据同底数幂的乘法法则， ①将全部化简成底数为的幂的形式，然后计算即可解决． ②根据积的乘方，单项式除以单项式进行计算，最后将的值代入进行计算即可求解； （2）①根据同底数幂乘法法则的逆运算求得①的值， ②利用幂的乘方的逆运算及同底数幂的乘法法则的逆运算求得②的值. 【详解】（1）①∵, ∴ ∴ 解得： ② 当时，原式 （2）①∵，， ∴， ②∵，， ∴ 类型五、幂的乘方 【解惑】下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方的运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的除法运算法则，幂的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘方运算．解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和幂乘方运算法则是，解题的关键． 根据积的乘方运算法则和幂乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 2．若，则满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，先整理，结合，且，所以，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∵，且， ∴， 故答案为：． 3．已知，，求的值． 【答案】25 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算幂的乘方，再计算积的乘方的逆用，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ． 类型六、积的乘方 【解惑】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式运算，根据同底数幂的乘除法、积的乘方与积的乘方运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故原运算错误，不符合题意； B、，故原运算正确，符合题意； C、，故原运算错误，不符合题意； D、，故原运算错误，不符合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是根据积和乘方将原式化简即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．若，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是积的乘方和幂的乘方，掌握积的乘方法则和幂的乘方法则是解题的关键． 根据题意得到①，②两式相乘即可得到答案． 【详解】解：∵， ①， 又， ②， 得到，， 即， 故． 故答案为：． 3．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握积的乘方和幂的乘方逆用是解题的关键； 根据积的乘方和幂的乘方的逆用变形得，然后代入即可解答． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ． 类型七、零、负指数幂 【解惑】下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了负整数指数幂以及零指数幂的运算，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的运算法则是解题关键． 直接利用负整数指数幂以及零指数幂的运算法则计算，进而可作出判断即可． 【详解】解：A、，此式无意义，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，实数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方等知识化简、、、，然后比较大小即可解答． 【详解】解：，，，， ， 故选：A． 2．计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了零次幂和负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算零次幂和负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，负整数指数幂，零指数幂和算术平方根，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算立方根，负整数指数幂，零指数幂和算术平方根，然后计算加减即可． 【详解】 ． 类型八、单项式乘单项式 【解惑】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘法，涉及同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据积的乘方法则及单项式乘以单项式的法则对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了单项式乘以单项式．先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可． 【详解】解： 故选：A 2．已知单项式与的积与是同类项，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查单项式乘单项式和同底数幂的乘法，同类项的概念，根据单项式乘单项式和同底数幂的乘法计算，再结合同类项的概念可求和n的值． 【详解】解：根据题意得，． 因为与是同类项， 所以，，解得， 故答案为：1，2． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘法，掌握积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，是解题的关键． （1）先根据积的乘方和幂的乘方计算括号，再计算单项式乘以单项式即可求解； （2）根据积的乘方和幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 类型九、单项式乘多项式 【解惑】如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故选：D． 【融会贯通】 1．下列运算正确的是（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【分析】本题考查了整式的单项式乘多项式，掌握其运算法则是解题的关键．根据单项式乘以多项式的计算法则计算即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D ． 2．小明发现一道题：．☐的地方被墨水污染了，☐处应填写 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键；单项式乘多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算即可． 【详解】解：依题意，， ∴☐处应填写， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算，掌握运算的步骤是解题的关键．先计算单项式乘多项式、然后合并同类项进行化简． 【详解】解： ． 类型十、多项式乘多项式 【解惑】已知，则的值是（   ） A．5 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式计算，然后根据，求出即可，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 【详解】解： ， ， ， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键； 根据多项式乘以多项式分别计算与，然后做差比较即可； 【详解】解：， ； ， 则； 故选：C 2．甲乙二人共同计算由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为；由于乙漏抄了2，得到的结果为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组等知识点．先按甲、乙错误的做法得出的系数的数值求出a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：依题意得， ∴，即， ， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 3．推理能力：已知关于x的多项式的化简结果为，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘多项式，将多项式化简，根据化简结果即可求得a，b，c的值，再代入所求式子即可求解． 【详解】解：原式 ． ∵的化简结果为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【一览众山小】 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的方法进行计算，逐一判断即可． 本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项符合题意； C．中等号右边不是积的形式，故本选项不符合题意； D．故本选项不符合题意． 故选：B． 2．把分解因式，提出公因式后，另一个因式不再有公因式，则提出的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据即可得出答案，找出公因式是解此题的关键． 【详解】解：， 把分解因式，应提取的公因式是， 故选：D． 3．杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 4．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了零指数幂的意义，根据非零数的零指数幂等于1进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 5．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法因式分解是解题的关键． 运用提取公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 6．计算：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方和单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 7．已知，，且的值与无关，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算，准确熟练进行计算是解题的关键． 把待入值计算，结合多项式的值与x的取值无关，即可求出答案． 【详解】解： ∵的值与x无关， ∴， ∴． 8．计算： 【答案】5 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、零指数幂、负整数指数幂． 先求算是平方根，绝对值，负整数幂和零指数幂，再算加减法即可求解 【详解】原式 9．请根据下面小智同学整式的化简求值过程，完成下面各项任务： 先化简，再求值：，其中． 解：原式         步骤1                 步骤2                            步骤3 当时，原式   步骤4 任务一（填空）：以上解题过程中，从步骤______开始出现错误，错误的原因是______； 任务二：请把正确的解答过程完整地写出来． 【答案】任务一：一；括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号；任务二：见解析 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握其运算法则． 任务一：根据运算过程即可求解； 任务二：按去括号法则，合并同类项法则，正确运算即可求解． 【详解】解：任务一：小智的解题过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是：括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号， 故答案为：一；括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号； 任务二：解：原式 ， 当时， 原式． 10．若，，用含的代数式表示． 【答案】． 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算法则是解此题的关键．由题意可得，然后利用幂的乘方的逆运算变形，然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 整式乘法与因式分解思维导图 【类型覆盖】 类型一、判定是否是因式分解 【解惑】下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 3．以下等式：①；②；③；④；⑤．从左到右的变形属于因式分解的是 ． 类型二、科学记数法 【解惑】由国际宇航联合会主办的第75届国际宇航大会于2024年10月14日至18日在意大利米兰举办，在此次大会中中国探月工程嫦娥六号任务从月球背面采样返回带来的月壤首次面向全球展出，展示的月壤样品重75毫克，即0.075克，将0.075用科学记数法表示应是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将0.00000000034用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．国产芯片龙头通富微电，成功突破5纳米工艺，拿下了来自美国芯片巨头的大量订单，订单甚至排到了2026年，5纳米等于0.000000005米，数据“0.000000005”用科学记数法为 ． 3．若用科学记数法表示为，则的值是 ． 类型三、同底数幂的乘法 【解惑】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．计算所得的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．（1）已知，求的值； （2）已知，求t的值． 类型四、同底数幂的除法 【解惑】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若，则 的值为（   ） A． B．8 C．7 D．6 2．计算的结果是 ． 3．（1）已知， ①求的值； ②求 （2）已知，，求 ①的值； ②的值． 类型五、幂的乘方 【解惑】下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．若，则满足的关系式是 ． 3．已知，，求的值． 类型六、积的乘方 【解惑】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则 （填“”“”或“”）． 3．若，，求的值． 类型七、零、负指数幂 【解惑】下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 类型八、单项式乘单项式 【解惑】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．的结果为（   ） A． B． C． D． 2．已知单项式与的积与是同类项，则 ， ． 3．计算： (1)； (2)． 类型九、单项式乘多项式 【解惑】如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列运算正确的是（   ） A．； B．； C．； D．； 2．小明发现一道题：．☐的地方被墨水污染了，☐处应填写 ． 3．计算：． 类型十、多项式乘多项式 【解惑】已知，则的值是（   ） A．5 B． C．7 D． 【融会贯通】 1．已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 2．甲乙二人共同计算由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为；由于乙漏抄了2，得到的结果为，则 ． 3．推理能力：已知关于x的多项式的化简结果为，求的值． 【一览众山小】 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．把分解因式，提出公因式后，另一个因式不再有公因式，则提出的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．分解因式： ． 6．计算：（1） ；（2） ． 7．已知，，且的值与无关，求的值． 8．计算： 9．请根据下面小智同学整式的化简求值过程，完成下面各项任务： 先化简，再求值：，其中． 解：原式         步骤1                 步骤2                            步骤3 当时，原式   步骤4 任务一（填空）：以上解题过程中，从步骤______开始出现错误，错误的原因是______； 任务二：请把正确的解答过程完整地写出来． 10．若，，用含的代数式表示． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$