精品解析：广东省江门市广德实验学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

江门市广德实验学校 2024-2025 学年第二学期期中考试 高二年级数学试题 命题人：吴雨洲 审题人：易里豪 试卷共4页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列，，，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法的种数为（ ） A. 7 B. 12 C. 81 D. 64 3. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 4 C. 1 或 3 D. 3 或4 4. 若函数，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 5. “仁义礼智信”为儒家“五常”．由孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，且“礼智”不相邻的排法有（ ）种． A. 48 B. 36 C. 72 D. 96 6. 若数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含数字的三位数的个数为（ ） A. 10 B. 20 C. 36 D. 38 二、选择题：本题共3小题，每一题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二项式的展开式中的系数是，则其中正确命题的序号是（ ） A. B. 展开式中含项的系数是 C. 展开式中含项 D. 展开式中常数为40 11. 已知等差数列的前项和为，公差是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ）． A. B. C. 当或时，取得最大值 D. 当时，的最大值为20 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. A，B，C，D四人站成一排，其中A不站排头，共有___________种不同站法. 13. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 14. 设等差数列的前n项和为，且，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求的前n项和及的最小值. 16. 已知函数，. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值. 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为. 18. 已知函数在处取得极小值． （1）求实数的值； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围． 19. 已知数列满足，且. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）在数列中，，，求的通项公式； （3）记数列满足，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市广德实验学校 2024-2025 学年第二学期期中考试 高二年级数学试题 命题人：吴雨洲 审题人：易里豪 试卷共4页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列，，，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】选项A. ,当时，无意义.所以A不正确. 选项B. ,当时，，故B不正确. 选项C. ，，， 所以满足.故C正确. 选项D. ,当时, ,故D不正确. 故选：C 2. 将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法的种数为（ ） A. 7 B. 12 C. 81 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】 第一步，第一封信可以投到4个邮箱中的任意一个，有4种投法；第二步，第二封信可以投到4个邮箱中的任意一个，有4种投法；第三步，第三封信可以投到4个邮箱中的任意一个，有4种投法，根据分步乘法计数原理得出结果. 【详解】解：第一步，第一封信可以投到4个邮箱中的任意一个，有4种投法 第二步，第二封信可以投到4个邮箱中的任意一个，有4种投法 第三步，第三封信可以投到4个邮箱中的任意一个，有4种投法. 根据分步乘法计数原理，得不同的投法的种数为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，属于基础题. 3. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 4 C. 1 或 3 D. 3 或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的性质计算可得. 【详解】因为，所以或， 解得或，经检验符合题意. 故选：C 4. 若函数，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再令计算可得. 【详解】因为，所以， 则，解得. 故选：A 5. “仁义礼智信”为儒家“五常”．由孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，且“礼智”不相邻的排法有（ ）种． A. 48 B. 36 C. 72 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】先将“仁义信”排列后有4个空，然后将“礼智”去插空，可得结果. 【详解】解：先对“仁义信”进行排列，有种方法，此时有4个空，然后用“礼智”去插空，有种方法，由乘法原理可知共有种 故选：C 【点睛】此题考查的是排列组合中的插空法，属于基础题. 6. 若数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析归纳出数列的周期，利用周期可得答案. 【详解】∵数列满足，，∴， ∴，，，， ∴是周期为3的周期数列，而，故． 故选：A 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系求出单调区间即可求解. 【详解】由，则， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故时，， 而，， 所以. 故选：D 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究函数的单调性，考查了基本计算能力，属于基础题. 8. 中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含数字的三位数的个数为（ ） A. 10 B. 20 C. 36 D. 38 【答案】D 【解析】 【分析】依题意根算筹可以分为，，三种情况，再分别确定相应的三位数的个数，即可得解. 【详解】依题意，一根算筹只能表示；两根算筹可以表示、， 三根算筹可以表示、，四根算筹可以表示、； 依题意根算筹可以分为，，三种情况： 若为，则有个三位数； 若为，则有个三位数； 若为，则有个三位数； 综上可得一共有个三位数. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每一题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据求导法则及简单复合函数的求导法则计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：BCD 10. 二项式的展开式中的系数是，则其中正确命题的序号是（ ） A. B. 展开式中含项的系数是 C. 展开式中含项 D. 展开式中常数为40 【答案】AB 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项公式,令x的指数为2,求出r值,从而可得x2的系数,进而可求得a值,即可判断选项A; 令x的指数为6,求出r值,即可判断选项B; 令x的指数为-1,求出r值,即可判断选项C; 令x的指数为0,求出r值,从而可求得常数项,即可判断选项D 【详解】二项式的展开式的通项公式为 对于A：令8-2r=2,解得r=3,所以展开式中x2的系数，解得，故A正确； 对于B：二项式即，展开式的通项公式为. 令8-2r=6,解得r=1,所以展开式中含x6项的系数是，故B正确； 令8-2r=-1；解得；不为整数；故展开式中不含项；故C错误； 令8-2r=0,解得r=4,所以展开式中常数项为，故D错误. 故选：AB. 11. 已知等差数列的前项和为，公差是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ）． A. B. C. 当或时，取得最大值 D. 当时，的最大值为20 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知，利用等差数列的通项公式及等比中项的性质列方程求基本量，再写出，结合二次函数性质、一元二次不等式的解法判断各项正误. 【详解】由公差，可得，整理得， 由是与的等比中项，可得，即， 则，即， 综上，可得，A错，B对； ，， 所以当或时，取得最大值为110，C对； 若，即，故的最大值为20，D对. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. A，B，C，D四人站成一排，其中A不站排头，共有___________种不同站法. 【答案】18 【解析】 【分析】先求总排列数再减去A站排头的排列数即可． 【详解】A，B，C，D四人站成一排总排列数有 其中A站排头的排列数有，所以所求的排列数为 故答案为： 13. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 14. 设等差数列的前n项和为，且，，则______． 【答案】100 【解析】 【分析】由等差数列的性质，也是等差数列计算得出. 【详解】因为数列是等差数列，所以仍然是等差数列， 所以也是等差数列， 因为，， 所以， ， 故答案为：100 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求的前n项和及的最小值. 【答案】（1） （2），取最小值为 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式列方程求出，.由此能求出的通项公式. （2）由（1）的结果，利用等差数列的求和公式即可求出，进而求出最小值. 【小问1详解】 解：在等差数列中，， 设数列的公差为d， 则， 解得，. ∴的通项公式. 【小问2详解】 解：∵，d=2. ∴的前n项和 ∴当n=6时，取最小值为. 16. 已知函数，. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）的单调递减区间是，单调递增区间是和；（Ⅱ）在上的最大值为3，最小值为-1. 【解析】 【分析】（1）利用导数求的单调区间即可；（2）结合（1）的单调性即可知，结合的端点值即可确定上的最大值和最小值； 【详解】（Ⅰ）∵，∴. 当，即或时，函数单调递增. 令，即时，函数单调递减. ∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是和. （Ⅱ）由（Ⅰ）知函数在区间上单调递减，在上单调递增. 所以函数的极小值也为最小值. 两端点，，即最大值为. 故函数在上的最大值和最小值分别为3和-1. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，根据单调区间以及指定区间的端点值求该区间的最值，属于简单题； 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令求得，当时，根据第一种情况的式子和该情况的式子联立即可求解； （2）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 因为①，当时可得，即， 当时，②， 由①-②得， 即，即是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， ， 两式相减得，， 即， 故. 18. 已知函数在处取得极小值． （1）求实数的值； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）分析可知，直线与函数的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，则， 由题意可得，解得， 当，时，， 显然，函数在处可取得极值. 因此，. 【小问2详解】 解：问题等价于有三个不等的实数根，求的范围. 由，得或， 由，得， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 则函数的极大值为，极小值为，如下图所示： 由图可知，当，直线与函数的图象有个交点， 因此，实数的取值范围是. 19. 已知数列满足，且. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）在数列中，，，求的通项公式； （3）记数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） ， 变形得：， 又，故， 所以是首项为3，公比为3的等比数列. 从而，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式结合等比数列定义证明，再应用通项公式求解； （2）累加法求数列通项公式； （3）先分奇偶项求和再应用错位相减法计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得， 所以当时，，，，， 上式累加可得， ， 又，所以， 当时，满足上式， 所以 【小问3详解】 由（1）、（2）知， 则在前项中， , , 作差得 . . 从而. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $