精品解析：天津市第四十七中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

天津市第四十七中学2024—2025第二学期高二年级期中考试 数学试卷 第Ⅰ卷（共两部分；满分150分） 一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的定义及导数的几何意义计算作答. 【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为，则， 所以. 故选：D 2. “>1”是“ex－1<1”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据分式不等式的解法以及根据指数函数的单调性求解指数型不等式的解，之后从集合的包含关系来判断充分必要性即可得结果. 【详解】由可得，解得， 由可得，解得， 根据，所以“”是“”的充分不必要条件， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要明确从集合的角度如何处理，掌握当A是B的真子集时，A是B的充分不必要条件，同时B是A的必要不充分条件，从而得到结果. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除BD，根据时函数值的正负可排除A求解. 【详解】由于的定义域为，关于原点对称，且， 故为奇函数，此时可排除BD, 当时，，此时排除A， 故选：C 4. 已知定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数单调性得的单调性，再比较出即可. 【详解】因为均是在上单调增函数， 则在上也单调递增， 因为，，即，， 则，则，即， 故选：A. 5. 下列命题错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B. 设，且，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 随机变量，若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用相关关系判断A；由正态分布的性质判断B；由线性回归直线的性质判断C；由随机变量条件建立方程组解出即可判断D. 【详解】根据相关系数意义可知，两个随机变量的线性相关性越强， 相关系数的绝对值越接近于， 故A正确； 由，知， 即概率密度函数的图像关于直线对称， 所以， 则， 故B错误； 根据线性回归直线的性质可知， 线性回归直线一定经过样本点的中心， 故C正确； 随机变量，若， 则， 故D正确； 故选：B. 6. 中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案种数为（ ） A. 150 B. 180 C. 240 D. 300 【答案】A 【解析】 【分析】先按照两种比例进行分组，再将分好的三组进行工作分配，最后按照两种计数原理计算即可. 【详解】按照1:1:3的比例分组，共有种分组方法， 按照2:2:1的比例分组，共有种分组方法， 将分好的三组安排除“炉火”活计之外的三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是. 故选：A 7. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，利用导数求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，则，其中， 令，解得，令，解得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以，， 因为在上恒成立，所以，，解得. 故选：B. 8. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的对称性可得，且四边形为平行四边形，由数量积的定义，结合余弦定理代入计算，即可得离心率. 【详解】 由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， 则 ， 即，，所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： 一：求出，代入公式计算； 二：只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）. 9. 若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数分别求得与相切的切线方程，可得，进而可得有解，从而利用导数可求的范围. 【详解】设直线与相切于点，因为， 所以切线方程，即， 设直线与相切于点， 因为，所以切线方程，即， ， 所以有解， 令，， 所以函数在，上单调递减，在，上单调递增， 因为，，所以，所以， 的范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 曲线在点处切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 11. 已知为正数，的展开式中各项系数的和为1，则常数项为___________. 【答案】60 【解析】 【分析】先利用已知条件求出参数，再展开式的通项公式找出常数项，然后用公式计算即可. 【详解】因为的展开式中各项系数的和为1，且为正数， 所以，则， 故的展开式的通项为， 令，解得， 所以的展开式中常数项为， 故答案为：60. 12. 已知直线与圆相交于两点，且，则实数_______ 【答案】7 【解析】 【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可. 【详解】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：. 故答案为：. 13. 随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为________．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据古典概型的计算方法可求两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率；设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”，先求出，，在利用条件概率公式即可求第二空. 【详解】设事件表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”， 则； 设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”， 则，， ∴． 故答案为：． 14. 已知函数，其中，，若，则的最小值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】首先求出导函数，得，然后利用 “1”的代换结合基本不等式求最值即可 【详解】由，得， 又，即，，， 故 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的最小值为18 故答案为：18 15. 设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先作出图象，利用换元法，结合题意得到方程在内有两个不同的实数根，再利用二次函数根的分布得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程化为， 要使关于的方程恰好有六个不同的实数解， 则方程有个不同的实数解，结合图象可知，此时， 则方程在内有两个不同的实数根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随机地摸出3个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. （1）若不放回摸球，求的分布列； （2）若有放回摸球，求的分布列和均值. 【答案】（1）分布列见解析 （2）分布列见解析，均值为1 【解析】 【分析】（1）先由条件判断服从超几何分布，由概率计算公式计算即得分布列 ； （2）由条件判断服从二项分布，运用概率计算公式计算即得分布列与均值. 【小问1详解】 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布，的分布列为 0 1 2 【小问2详解】对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的，因此. 的分布列为. 0 1 2 3 . 17. 如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，． （1）求证：∥平面PBC； （2）求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值； （3）求点A到平面PBC的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）点D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的法向量，然后利用向量法求解两平面夹角的余弦值； （3）利用点到平面的向量距离公式求解即可. 【小问1详解】 如图所示， 建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， ， 则 设平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 因为， 所以，且平面，即∥平面； 【小问2详解】 设平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量， 则点A到平面PBC的距离， 所以点到平面的距离为． 18. 设椭圆的上顶点为，左焦点为，已知椭圆的离心率，． （1）求椭圆方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，由，可求得的值，从而得到椭圆方程： （2）设，与椭圆方程联立可得点的坐标，进而可得点的坐标，求出点的坐标，由点的坐标求出直线的方程，求出点的坐标，由可构造方程求得的值，由此可得直线方程. 【小问1详解】 由可得：，，， 又，，， 椭圆方程为：. 【小问2详解】 由（1）知：，设直线， 由得：，则， ，即，， 即，； 在直线的方程中，令可得，， ，则直线， 令可得：，， ， 即，整理可得：，解得：， 直线或． 19. 已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，. （1）求和的通项公式； （2）设，，求数列的前项和； （3）设，求数列前项和. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）公式法解决即可；（2）由（1）得，错位相减求和即可；（3）由题得，当为奇数时，，裂项相消，分组求和结合解决即可. 【小问1详解】 由题知数列是公差为1的等差数列，且， 所以，得， 所以， 因为数列是等比数列，且，， 所以，解得， 所以， 所以和的通项公式为，， 【小问2详解】 由（1）得为，， 所以， 所以数列的前项和 ， 所以， 所以 ， 所以 【小问3详解】 由（1）得为，， 所以， 因为当为奇数时，， 所以求列的前项和为 . 20. （1）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围； （2）已知当时，函数． （ⅰ）若恒成立，求的值； （ⅱ）求证：对任意正整数（），都有（其中为自然对数的底数）． 【答案】（1）；（2）（i）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）本题可先根据在区间上不存在极值求出的取值范围，再结合求解入的取值范围. （2）（ⅰ）由恒成立，得对恒成立．记（），对分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出. （ⅱ）由（ⅰ）可知：，（当且仅当时等号成立）．令，则，利用累加求和方法即可得出. 【详解】（1），由， 由于函数在区间上不存在极值，所以或， 由于存在满足，所以， 对于函数，对称轴， ①当或，即或时，， 由，结合或可得：或； ②当，即时，， 由，结合可知：不存在； ③当，即时，； 由，结合可知：， 综上可知，的取值范围是． （2）（ⅰ）由，得对恒成立． 记（），， 1°若，则恒成立，在上单调递减， 当时，，不符合题意． 2°若，令，得， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， ． 记（），． 令得， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增． ，即（当且仅当时取等号）， ．又因为，故． （ⅱ）由（ⅰ）可知：，（当且仅当时等号成立）． 令，则，（）． ， 即， 也即， 所以， 故对任意正整数()，都有． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十七中学2024—2025第二学期高二年级期中考试 数学试卷 第Ⅰ卷（共两部分；满分150分） 一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. “>1”是“ex－1<1”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B. 设，且，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 随机变量，若，则 6. 中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为（ ） A. 150 B. 180 C. 240 D. 300 7. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 9. 若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 曲线在点处的切线方程为__________． 11. 已知为正数，的展开式中各项系数的和为1，则常数项为___________. 12. 已知直线与圆相交于两点，且，则实数_______ 13. 随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为________．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率________． 14. 已知函数，其中，，若，则的最小值为______． 15. 设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是__________. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随机地摸出3个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. （1）若不放回摸球，求的分布列； （2）若有放回摸球，求分布列和均值. 17. 如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，． （1）求证：∥平面PBC； （2）求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值； （3）求点A到平面PBC的距离． 18. 设椭圆上顶点为，左焦点为，已知椭圆的离心率，． （1）求椭圆方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程． 19. 已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，. （1）求和的通项公式； （2）设，，求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和. 20. （1）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围； （2）已知当时，函数． （ⅰ）若恒成立，求的值； （ⅱ）求证：对任意正整数（），都有（其中为自然对数底数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $