精品解析：山东省济南市商河弘德中学2024-2025学年高一下学期阶段性教学质量检测（第二次）数学试题

保密★启用并使用完毕前 商河弘德中学高中2024级高一阶段性教学质量检测（第二次） 数学试题 学科组长： 命题人： 考试时间：2025年4月 第I卷（选择题 共58分） 注意事项：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不涂在答题卡上，只答在本卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 2. 在中，设，，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，与同向的单位向量为，，，的夹角为120°，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在长方体中，已知，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知三棱锥是球的内接三棱锥，其中是等腰直角三角形，平面，，，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 50米 D. 米 7. 如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，则点C到平面的距离为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 8. 如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 当，时，在复平面内对应的点在第一象限 B. 当且仅当时，为纯虚数 C. 当时， D. 表示在复平面内对应的点的轨迹是圆 10. 在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若的周长为，内切圆半径为，则 C. 若，，则有两解 D. 若，则外接圆的面积为 11. 如图，已知在长方体中，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，则下列命题正确的是（ ） A. 当点在棱上的移动时，恒有 B. 在棱上总存在点，使得平面 C. 四棱锥的体积为定值 D. 四边形的周长的最小值是 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项：第Ⅱ卷所有题目的答案，考生必须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在区域外答题或在试卷上答题均无效. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________ 13. 某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为______． 14. 正三棱锥中，，，则直线和平面所成的角的正弦值为___． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求的值. （2）设，向量与的夹角为，求的大小. 16. 当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？ （1）实数； （2）纯虚数； （3）在复平面内表示的点位于第四象限． 17. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. （1）求圆柱的侧面积; （2）求三棱柱的体积. （3）求直三棱柱的外接球的体积. 18. 已知，，分别是的内角，，的对边，且. （1）求; （2）若,且的面积为，求的周长. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且. （1）证明：； （2）在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用并使用完毕前 商河弘德中学高中2024级高一阶段性教学质量检测（第二次） 数学试题 学科组长： 命题人： 考试时间：2025年4月 第I卷（选择题 共58分） 注意事项：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不涂在答题卡上，只答在本卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部. 【详解】由，可得，所以，所以， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 在中，设，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的减法结合已知等式计算求解. 【详解】在中，设，， 因为，，所以， 即得，即 则. 故选：B. 3. 已知，与同向的单位向量为，，，的夹角为120°，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量在向量方向上的投影向量的定义表达式计算即得. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为. 故选：D. 4. 如图，在长方体中，已知，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的求夹角的余弦值即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标， 因为，E为的中点， 所以， 所以， 假设异面直线与所成的角为， 则. 故选：D. 5. 已知三棱锥是球的内接三棱锥，其中是等腰直角三角形，平面，，，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，，，再将三棱锥补成长方体，利用三棱锥的外接球就是长方体的外接球求解即可. 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，， 又因为是等腰直角三角形，，所以， 所以可将三棱锥补成长方体，如图： 则三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 长方体外接球的直径等于长方体的对角线， 即， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 6. 桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 50米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】利用仰角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，,, 设米，则 在中，米， 在中，米. 由余弦定理可得，即，解得. 因为米，所以米. 故选：B. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，则点C到平面的距离为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等体积转化求点到平面的距离. 【详解】由条件可知，平面，平面，所以， ， 设点到平面的距离为，由， 所以，解得：. 故选：D 8. 如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可. 【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG， 因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以， 因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以. 故选：C. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 当，时，在复平面内对应的点在第一象限 B. 当且仅当时，为纯虚数 C. 当时， D. 表示在复平面内对应的点的轨迹是圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的概念、复数的模及其几何意义一一判断各选项，即可得答案. 【详解】A选项，因为在复平面内对应的点的坐标为，，， 所以对应的点在第一象限，因此A正确； B选项，为纯虚数，则且（提示：纯虚数满足实部为0，虚部不为0），因此B错误； C选项，，而，因此，因此C正确； D选项，，因此， 即轨迹是圆心为，半径为1的圆，因此D正确. 故选:ACD． 10. 在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若的周长为，内切圆半径为，则 C. 若，，则有两解 D. 若，则外接圆的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求出，结合三角形面积及正弦定理逐项求解判断. 【详解】在中，由及正弦定理得， 则， 整理得， 即，而，则， 则，而，， 解得，因此，A正确； 对于B，若的周长为6，内切圆半径为，由，得，B正确； 对于C，当时，满足，有两解， 此时，即，有两解，C正确； 对于D，由，得外接圆半径，此圆面积为，D错误. 故选：ABC 11. 如图，已知在长方体中，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，则下列命题正确的是（ ） A. 当点在棱上的移动时，恒有 B. 在棱上总存在点，使得平面 C. 四棱锥的体积为定值 D. 四边形的周长的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可判断A；利用特殊位置可判断B；将四棱锥的体积转化为三棱锥体积，根据等体积法可判断C；利用侧面展开可求得四边形的周长的最小值，判断D. 【详解】对于A，当点为棱上的移动时，平面， 由于平面，故，故A正确； 对于B，当点在时，平面，故B错误； 对于C，在长方体中，平面平面, 平面平面,平面平面, 故，同理，则四边形为平行四边形； 故， 由于，故， 故，故C正确； 对于D，如图，将长方体展开，使四个侧面在同一个平面内， 连接（左侧）交于F点，由于, 则F为的中点，同理E为的中点， 则四边形的周长的最小值是,则D正确， 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项：第Ⅱ卷所有题目的答案，考生必须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在区域外答题或在试卷上答题均无效. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角为钝角的条件，借助数量积公式来确定实数的取值范围. 【详解】因为向量，，与的夹角为钝角， 所以且，即且， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合斜二测法可得圆台上、下底面半径及母线长度，结合圆台性质与圆锥的侧面积公式计算即可得该圆台的侧面积. 【详解】由题可得，，，， 则所得圆台上底面为以为半径的圆，下底面为以为半径的圆，高为， 其母线为， 故其侧面积. 14. 正三棱锥中，，，则直线和平面所成的角的正弦值为___． 【答案】## 【解析】 【分析】先作出直线和平面所成的角，进而利用三角函数求得该角的正弦值. 【详解】取正中心为O，连接并延长交于D，连接， 则D为中点，平面， 则为直线和平面所成的角， 中，，，，则， 中，，，， 则， 则. 则直线和平面所成的角的正弦值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求的值. （2）设，向量与的夹角为，求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两向量共线的充要条件坐标表示式计算即得； （2）利用数量积运算律化简等式求出的值，再利用向量夹角的坐标表示式即可求得. 【小问1详解】 由可得，解得，； 【小问2详解】 由可得，，即，解得， 此时，，，， 则，因，故. 16. 当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？ （1）实数； （2）纯虚数； （3）在复平面内表示的点位于第四象限． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若为实数，可知虚部为0，列式求解即可； （2）若为纯虚数，可知虚部不为0，实部为0，列式求解即可； （3）由题意可知虚部小于0，实部大于0，列式求解即可. 【小问1详解】 若为实数，则，解得或． 【小问2详解】 若为纯虚数，则，解得． 【小问3详解】 若复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得． 17. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. （1）求圆柱的侧面积; （2）求三棱柱的体积. （3）求直三棱柱的外接球的体积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据圆柱的体积和结构特点求圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的侧面积公式求解. （2）根据柱体的体积公式求解. （3）先求三棱柱的外接球半径，再利用球体体积公式求解. 【小问1详解】 设底面圆的直径为，则其高也为; 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为. 【小问2详解】 因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为，因此边长， 所以三棱柱的体积. 【小问3详解】 设三棱柱的外接球半径为， 则， 所以三棱柱的外接球体积为：. 18. 已知，，分别是的内角，，的对边，且. （1）求; （2）若,且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由和差角公式可得求解， （2）根据同角关系可得，进而由面积公式得，利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得:，则， 即，即， 由正弦定理得，即; 【小问2详解】 由，,得， 则，得， 由余弦定理得， 即，整理得， 即，解得， 则， 所以的周长为. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且. （1）证明：； （2）在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：设交于点O，连接，正方形中，则，， 又，则，又平面， 因此平面，而平面， 所以. （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）设交AC于点O，由题意可得PO⊥AC，，可证得平面，进而证得结论. （2）在线段PE取一点G，使得，由题意可得，可证得平面，进而可得平面平面，再证得，可得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 侧棱上存在一点F，满足条件， 证明如下：如图，正方形中，， 在线段取一点G，使得，由，得， 连接，则，而平面，平面， 则平面，由平面，，平面， 得平面平面，而平面平面，平面平面， 于是，， 所以＝. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $