精品解析：江苏省如皋中学2024-2025学年高三下学期综合练习（二）数学试题

江苏省如皋中学2024—2025学年度第二学期综合练习（二） 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集是实数集R，或，.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由韦恩图知阴影部分为，应用集合的并、补运算求结果. 【详解】由图知：阴影部分为，而或， 所以. 故选：A 2. 若函数为奇函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由求出的值，再根据验证即可. 【详解】由题得，解得：. 所以， ，符合题意. 所以. 故选：D 3. 设等比数列的前项之积为，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可求的值. 【详解】因为，，故，而， 故选：A. 4. 已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同增异减可得的增减性，故可求实数的取值范围. 【详解】设，因为为上的增函数， 而在内单调递增， 故为内的增函数，且在内恒成立， 故，故， 故选：D. 5. 已知向量≠，，对任意实数t，恒有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，进而得，计算可得，逐项计算判断即可. 【详解】由，可得，化简得， 可得，又时恒成立， 所以， 所以，所以， 所以，所以，故A错误； ，故B错误； 所以，所以，所以，故C正确； . ，故D错误. 故选：C. 6. 若圆柱的侧面的展开图的周长为4，则该圆柱体积最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱母线长为，底面半径为，由展开图的周长可得，从而可得，其中，利用导数可求体积的最大值. 【详解】设圆柱母线长为，底面半径为，则， 而圆柱体积，其中 故， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故， 故选：A. 7. 已知数列是各项均不为的等差数列，前项和为，设甲：为等差数列；乙：为常数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，取，即可得到为等差数列推不出为常数列，令，得到，即可得为常数列可以推出为等差数列，即可求解. 【详解】因为数列是各项均不为的等差数列， 取，则，则，满足数列为等差数列，此时不为常列， 即为等差数列推不出为常数列， 若为常数列，则（其中为常数），则，， 所以，又为常数，所以为等差数列， 即为常数列可以推出为等差数列，所以甲是乙的必要条件但不是充分条件， 故选：B. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得，再根据，，计算即可求解. 【详解】因为 ， 由题意可知，，所以， 因为，，， 所以，， 所以，， 因为， ， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，为坐标原点，点对应的复数分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，则，，对于A，利用向量的模长和复数的运算、模长公式，即可求解；对于B和D，利用向量的模长和复数的模长公式，即可求解；对于C，利用向量的坐标运算得，再利用复数的运算及模长公式，即可求解. 【详解】设，则，， 对于选项A，因为，则， 又，则，所以，故选项A正确， 对于选项B，因为，则，所以选项B正确， 对于选项C，因为，则， 又，则，所以选项C错误， 对于选项D，因为，所以选项D正确， 故选：ABD. 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式结合对数函数的单调性求解即可判断A；结合指数运算利用基本不等式求解即可判断B；变形后利用基本不等式求解判断C；结合指数函数单调性利用基本不等式求解判断D． 【详解】对于A，因为，则，故，当且仅当， 即时等号成立，因为在定义域上单调递增， 所以，故A正确； 对于B，由，所以当且仅当， 即时的最小值为8，故B错误； 对于C，由题得，故 ， 所以当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当，即时时等号成立，此时有最小值8，即， 即，又单调递增且，所以，故D正确． 故选：ACD 11. 已知圆：（），直线，则（ ） A. 对任意满足条件的实数与，直线与圆始终相切 B. 对任意满足条件的实数与，直线与圆有公共点 C. 对任意实数，必存在满足条件的实数，使得直线与圆相切 D. 对任意满足条件的实数，必存在实数，使得直线与圆相切 【答案】BD 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得圆心为，半径为，利用点到直线的距离公式，得到圆心到直线为，即可判断选项A和B，再利用直线和圆相切的条件，对C，取，即可判断，对于D，因为存在确定的角，使，即可求解. 【详解】因为圆：（）的标准方程为，圆心为，半径为， 又圆心到直线的距离为，其中， 因为，所以选项A错误，选项B正确， 若直线与圆相切，则有，得到，则， 对于选项C，当，显然不存在实数，使，所以选项C错误， 对于选项D，因为对任意满足条件的实数，总有确定的角，使， 则必然实数存在，使，所以选项D正确， 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，，则______. 【答案】0.1## 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】随机变量服从正态分布，则， . 故答案为：0.1 13. 已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法及根与系数的关系，得，即可求解. 【详解】因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，解得或， 故答案为：或. 14. 在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用勾股定理得到，再由两角和的正切公式及锐角三角函数求出、，最后根据计算可得. 【详解】连接，依题意，设，，则， 又， 即，即， 即，显然，则，即， 又，所以，整理得， 即，解得，所以， 所以 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 3 第二行 4 6 5 第三行 9 12 8 （1）写出，并求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义和表格中数据的特点得到，，，进而求得通项公式； （2）由（1）知，利用分组求和，含有需讨论为偶数与奇数，然后按照等差数列求和. 【小问1详解】 根据等比数列的定义和表格中数据，得到，，， 即数列是首项为，公比为的等比数列，故. 【小问2详解】 因为 当为偶数时， 当为奇数时， 综上所述， 16. 已知函数，若在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）求函数在上的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解，； （2）结合导数分析函数的单调性，然后结合单调性与最值关系可求函数的最大值． 【小问1详解】 因为， 所以， 由题意得， 所以，； 【小问2详解】 由（1）得，， 因为， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故当时，函数取得极大值， 又，， 因为 故函数在上的最大值为． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，等边三角形的边长为，，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 因为是等边三角形，为中点，所以，又， 由都在平面内，则， 又平面，平面，所以平面， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，且都在平面内， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及线面平行的判定证明平面，平面，再应用面面平行的判定证明结论； （2）连接交于点，连接，构建以，，为基底建立如图空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，应用向量法求出平面所成角的余弦值，进而得到正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接交于点，连接， 在平面中，，， 所以是的中垂线，所以为中点，又，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以，，又， 以为原点，，，方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 在直角三角形中，，，所以， 所以，，，， 所以，， 设平面的一个法向量， 由（1）平面平面，所以， 取，平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，则， 所以，故平面与平面所成角的正弦值为. 18. 自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 （1）请用相关系数说明该组数据中变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程； （2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的分布列和数学期望. 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，. 【答案】（1） 由已知，， ， ， 则 ， 因为，说明相关性很强，因此变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合. 关于的线性回归方程为; （2） 分布列为： X 0 1 2 P . 【解析】 【分析】（1）由已知求出，，再公式求出，即可说明相关性很强，因此变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合；利用公式求出，即可得到关于的线性回归方程； （2）由回归方程求出预测值，可得残差的绝对值，判断是否为“次数据”，可得“次数据”和非“次数据”个数，“次数据”个数为，求出对应概率，即可列出分布列求出数学期望. 【小问1详解】 变量与之间的相关性很强，则可以用线性回归模型拟合.理由略. 因为， ， 所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 由（1）回归方程为，样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”， 则由题意，列出下表： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 预测值 3.6 9.2 14.8 20.4 26 残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0 是否为“次数据” 否 是 是 否 否 则“次数据”共有2个，非“次数据”共有3个， 从这5个数据中任取3个，“次数据”个数为， 则，，， 分布列为： X 0 1 2 P 数学期望为. 19. 已知双曲线C：（，）的离心率为，经过点. （1）求双曲线的方程； （2）若等腰直角三角形的三个顶点均在双曲线上，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出基本量后可得双曲线的方程； （2）设点为等腰直角三角形的直角顶点，的斜率为，联立直线方程和双曲线方程后可得的坐标，根据结合在双曲线上可得，从而可用表示的面积，利用换元法结合导数可求面积的最小值. 【小问1详解】 设双曲线的焦距为，因为，，所以， 将点代入方程，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设点为等腰直角三角形的直角顶点， 当的斜率为0时， 因为为等腰直角三角形，所以，无解，不存在这样的点； 设的斜率为，不妨设，且（因为不平行于渐近线），则的斜率为， 联立， 整理可得， 故， 故即即故， 又，即， 则， 同理可得， 因为为等腰直角三角形，所以， 所以，平方可得， 因为，所以. ， 令，，则， 令，，则，， 当时，，当时，, 所以在上单调递增，上单调递减，所以， 所以，当且仅当时取等号， 当时，由可得，无解， 同理可得时无解， 故时，，所以面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如皋中学2024—2025学年度第二学期综合练习（二） 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集是实数集R，或，.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若函数为奇函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设等比数列的前项之积为，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量≠，，对任意实数t，恒有，则（ ） A. B. C. D. 6. 若圆柱的侧面的展开图的周长为4，则该圆柱体积最大为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是各项均不为的等差数列，前项和为，设甲：为等差数列；乙：为常数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，为坐标原点，点对应的复数分别为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆：（），直线，则（ ） A. 对任意满足条件的实数与，直线与圆始终相切 B. 对任意满足条件的实数与，直线与圆有公共点 C. 对任意实数，必存在满足条件的实数，使得直线与圆相切 D. 对任意满足条件的实数，必存在实数，使得直线与圆相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，，则______. 13. 已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是______. 14. 在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 3 第二行 4 6 5 第三行 9 12 8 （1）写出，并求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和. 16. 已知函数，若在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）求函数在上的最大值． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，等边三角形的边长为，，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 18. 自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 （1）请用相关系数说明该组数据中变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程； （2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的分布列和数学期望. 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，. 19. 已知双曲线C：（，）的离心率为，经过点. （1）求双曲线的方程； （2）若等腰直角三角形的三个顶点均在双曲线上，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $