精品解析：2025年云南省昆明市官渡区初中学业水平考试模拟测试数学试题

昆明市官渡区2025年初中学业水平考试模拟测试 数学 试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页，满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可记作，则图2可记作（ ） A. B. C. D. 2. 应用于2025年1月11日正式上线，上线后迅速引起全球关注，成为现象级应用．据财联社报道，应用上线仅21天，日活跃用户数高达22150000，数据22150000．用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线由直线平移得到，直线被直线所截，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若点是反比例函数图象上的一点，则常数k的值为（ ） A. B. C. 12 D. 7. 2025年4月6日中国跳水队员陈芋汐以419．35分的成绩夺得跳水世界杯女子10米台冠军．她在第二跳中展现极高水准，下表为第二跳七位裁判给出的评分情况，则这组得分数据的中位数和众数分别是（ ） 裁判序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 得分 A. B. C. D. 8. 春节于2024年12月4日被列入世界非物质文化遗产名录，这标志着春节不仅是中国的重要传统节日，也是全球文化多样性的重要组成部分．下面与春节相关的剪纸图案中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 9. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正六边形．一个正六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 10. 按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 11. 2025年4月24日，长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功将陈冬、陈中瑞、王杰3名航天员搭载的神舟二十号载人飞船送入太空，标志着中国空间站进入了稳定的常态化运营阶段．如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 12. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且AB＝OB，则∠ACB的度数为（　　） A. 60° B. 45° C. 30° D. 22.5° 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 14. 为认真贯彻《教育强国建设规划纲要》、全国和全省教育大会精神，帮助中小学生增强体质、全面发展，云南省教育厅实施“壮苗行动”，确保中小学生每天体育活动不少于2小时．某校开设了“一人一球”的球类选修课，学生可以从乒乓球、足球、排球、篮球、羽毛球中选择一门课进行学习．某兴趣小组对该校学生球类选修课的选择情况进行随机调查，将收集的数据整理并绘制成如下两幅统计图，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查的学生总数是80人 B. 此次调查中，选择乒乓球的学生人数最多 C. 扇形统计图中，足球所对应的扇形圆心角的度数是 D. 若该校共有学生1000人，则该校选择篮球的学生大约有240人 15. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”．如图，枫叶的叶柄和主叶脉的比值接近黄金比．估计的值应在（ ） A. 0到0.5之间 B. 0.5到1之间 C. 1到1.5之间 D. 1.5到2之间 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：2x2﹣8=_______ 17. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 18. 如图，在中，点分别为上的点，若，则_______． 19. 如图，圆锥的母线长，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积等于_______（结果用含的式子表示）． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，四点共线．求证：． 22. 无人机搭载高分辨率相机与多光谱传感器，能实时捕捉农田病虫害图像与光谱信息，识别病害类型与害虫情况，构建病虫害暴发与扩散模型，实现监测与预警，并利用智能喷洒系统精准施药，提升农药利用率与防治效果．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的8倍，若使用无人机对800亩茶园打药的时间比人工对400亩茶园打药的时间少30小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 23. 宇树科技的人形机器人身披大红袄、脚踏秧歌步、手甩红手绢，惊艳亮相2025年春晚舞台，引爆人形机器人热潮．当前，人工智能驱动的人形机器人已广泛应用于工业制造、商用服务、家庭陪伴三大应用场景．为了加深对人形机器人应用场景的了解，小官和小渡制作了如图所示的三张卡片，分别用字母表示，卡片正面依次是人形机器人工业制造场景、商用服务场景、家庭陪伴场景，卡片除下面内容不一样，其余均相同，将三张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上： A．工业制造 B．商用服务 C．家庭陪伴 小官先从中随机抽取一张，放回洗匀后，小渡再从中随机抽取一张，每种场景被抽到的可能性相等，记小官的选择为x，小渡的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求两名同学选到同一种场景的概率P． 24. 如图，在中，，点D是的中点，连接．过点C作，过点A作相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知的周长为，求平行线与之间的距离． 25. 2025年3月19日下午，习近平总书记在云南丽江考察时，当地居民与游客热情邀请习近平总书记品尝云南咖啡，总书记亲切回应：“云南咖啡还是代表着中国的”．某咖啡专卖店销售甲、乙两种类型的云南咖啡，有关信息如下表： 进货价格（单位：元/盒） 销售价格（单位：元/盒） 甲 x 60 乙 y 75 若该专卖店购进30盒甲种咖啡和20盒乙种咖啡共花费2200元，购进15盒甲种咖啡和8盒乙种咖啡共花费1000元． （1）求的值； （2）该专卖店购进甲、乙两种咖啡共1000盒，其中甲种咖啡的数量不超过800盒，且不少于乙种咖啡数量的．设该专卖店销售这1000盒咖啡获得的总利润为w元，求w的最大值． 26. 已知抛物线的图象经过点． （1）求a的值； （2）点在抛物线上且m为整数，若的值为整数，求点P的坐标． 27. 如图，四边形的外接圆是以为直径的，，点是劣弧上任意一点（不与点重合），连接．延长至点，使． （1）求的度数； （2）求证：直线与相切； （3）点P在运动过程中，的值是否发生变化，若不变，求出这个值；若发生变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市官渡区2025年初中学业水平考试模拟测试 数学 试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页，满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可记作，则图2可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正负数的意义，根据“正放表示正数，斜放表示负数”，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：图2应记作， 故选：B． 2. 应用于2025年1月11日正式上线，上线后迅速引起全球关注，成为现象级应用．据财联社报道，应用上线仅21天，日活跃用户数高达22150000，数据22150000．用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：数据22150000用科学记数法可表示为． 故选：C 3. 如图，直线由直线平移得到，直线被直线所截，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平移的性质、平行线的性质、对顶角相等等知识．根据平移得到，由平行线的性质和对顶角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵直线由直线平移得到，直线被直线所截， ∴， ∴， ∴， 故选：C 4. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三视图判断几何体的形状，即可得出判断． 【详解】由左视图为长方形，俯视图为三角形，结合主视图、左视图知该几何体为三棱柱， 故选：C． 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查了空间想象能力． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项，同底数幂的除法，理清指数的变化是解题的关键．根据各自运算法则对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不合题意； B、，故本选项错误，不合题意； C、，故本选项错误，不合题意； D、，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 6. 若点是反比例函数图象上的一点，则常数k的值为（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点代入反比例函数，即可求解． 【详解】解：∵是反比例函数图象上的一点， ∴． 故选：D． 7. 2025年4月6日中国跳水队员陈芋汐以419．35分的成绩夺得跳水世界杯女子10米台冠军．她在第二跳中展现极高水准，下表为第二跳七位裁判给出的评分情况，则这组得分数据的中位数和众数分别是（ ） 裁判序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 得分 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的含义，找出相应的众数和中位数． 将题目中的数据，按照从小到大排列，即可得到这组数据的众数和中位数． 【详解】解：将7位裁判的成绩（单位：分）按照从小到大排列是：， 故这组数据的众数是，中位数是， 故选：B． 8. 春节于2024年12月4日被列入世界非物质文化遗产名录，这标志着春节不仅是中国的重要传统节日，也是全球文化多样性的重要组成部分．下面与春节相关的剪纸图案中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：A、是轴对称图形，故A选项符合题意； B、不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 9. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正六边形．一个正六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和问题．熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键． 根据正多边形的内角和公式，其中n为边数，即可求解． 【详解】解：， 即一个正六边形的内角和为． 故选：C 10. 按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式中的数字变化规律问题，先确定系数的变化规律：的序号数次方，再确定字母指数的变化规律：x的序号数次方，即可得出答案． 【详解】解：因为， 所以第n个单项式为． 故选：D． 11. 2025年4月24日，长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功将陈冬、陈中瑞、王杰3名航天员搭载的神舟二十号载人飞船送入太空，标志着中国空间站进入了稳定的常态化运营阶段．如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，千米，， ∴千米．   故选：A ． 12. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且AB＝OB，则∠ACB的度数为（　　） A. 60° B. 45° C. 30° D. 22.5° 【答案】C 【解析】 【分析】由AB＝OB，OA＝OB，可得△OAB是等边三角形，即可得∠AOB＝60°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠ACB的度数． 【详解】解：∵AB＝OB，OA＝OB， ∴OA＝OB＝AB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠ACB＝∠AOB＝30°． 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定理与等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 14. 为认真贯彻《教育强国建设规划纲要》、全国和全省教育大会精神，帮助中小学生增强体质、全面发展，云南省教育厅实施“壮苗行动”，确保中小学生每天体育活动不少于2小时．某校开设了“一人一球”的球类选修课，学生可以从乒乓球、足球、排球、篮球、羽毛球中选择一门课进行学习．某兴趣小组对该校学生球类选修课的选择情况进行随机调查，将收集的数据整理并绘制成如下两幅统计图，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查的学生总数是80人 B. 此次调查中，选择乒乓球的学生人数最多 C. 扇形统计图中，足球所对应的扇形圆心角的度数是 D. 若该校共有学生1000人，则该校选择篮球的学生大约有240人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的概念以及它们的关系是解题的关键．利用扇形统计图各项目所占百分比即可判断选项B；利用项目人数为人，所占总体的百分比为，即可求出调查总人数，即可判断选项A；利用扇形统计图圆心角概念即可求解，即可判断选项C；利用样本估计总体即可判断选项D． 【详解】解：由扇形统计图可知：排球项目占的百分比最多，为， 故此次调查中，选择排球项目的学生人数最多， 故选项B错误，不符合题意； 由项目人数为人，所占总体的百分比为， 则此次调查的学生总数是（人）， 故选项A错误，不符合题意； 扇形统计图中，项目所对应的扇形圆心角的度数是， 故选项C错误，不符合题意； 若该校共有学生人，则该校选择篮球项目的学生大约有（人）， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 15. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”．如图，枫叶的叶柄和主叶脉的比值接近黄金比．估计的值应在（ ） A. 0到0.5之间 B. 0.5到1之间 C. 1到1.5之间 D. 1.5到2之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算．由题意知，，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，则， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 17. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 18. 如图，在中，点分别为上的点，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由平行得到，那么得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴（舍负）， 故答案为：． 19. 如图，圆锥的母线长，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积等于_______（结果用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，即可求出答案． 【详解】解：根据题意， ∵圆锥的母线长，底面圆的直径， ∴圆锥的侧面积为： ； 故答案为：； 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数次幂、零次幂、取绝对值和特殊角的三角函数等知识点．先运用负整数次幂、零次幂、取绝对值和特殊角的三角函数对原式化简，然后进行计算即可． 【详解】解： ． 21. 如图，四点共线．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据，可得，可证明，即可求证． 【详解】略 22. 无人机搭载高分辨率相机与多光谱传感器，能实时捕捉农田病虫害图像与光谱信息，识别病害类型与害虫情况，构建病虫害暴发与扩散模型，实现监测与预警，并利用智能喷洒系统精准施药，提升农药利用率与防治效果．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的8倍，若使用无人机对800亩茶园打药的时间比人工对400亩茶园打药的时间少30小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【答案】80亩 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设人工每小时对茶园打药的作业面积为亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为亩，根据使用无人机对800亩茶园打药的时间比人工对400亩茶园打药的时间少30小时建立方程求解即可． 【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积为亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为亩， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则 答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为80亩． 23. 宇树科技的人形机器人身披大红袄、脚踏秧歌步、手甩红手绢，惊艳亮相2025年春晚舞台，引爆人形机器人热潮．当前，人工智能驱动的人形机器人已广泛应用于工业制造、商用服务、家庭陪伴三大应用场景．为了加深对人形机器人应用场景的了解，小官和小渡制作了如图所示的三张卡片，分别用字母表示，卡片正面依次是人形机器人工业制造场景、商用服务场景、家庭陪伴场景，卡片除下面内容不一样，其余均相同，将三张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上： A．工业制造 B．商用服务 C．家庭陪伴 小官先从中随机抽取一张，放回洗匀后，小渡再从中随机抽取一张，每种场景被抽到的可能性相等，记小官的选择为x，小渡的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求两名同学选到同一种场景的概率P． 【答案】（1）9种 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）依据题意即可列表； （2）找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：列表得： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表得，共有9种等可能的结果； 【小问2详解】 解：由（1）可知，共有9种等可能的结果， 其中两名同学选择到同一种场景的有3种，分别为（A，A），（B，B），（C，C） ∴． 24. 如图，在中，，点D是的中点，连接．过点C作，过点A作相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知的周长为，求平行线与之间的距离． 【答案】（1） 证明∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，点是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． （1）先证出四边形是平行四边形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，进而即可得证； （2）如图，连接，先利用直角三角形的性质得出，再利用勾股定理得出，进而利用菱形的性质得出，最后利用菱形的面积公式代换即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在菱形中， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ， 设平行线与之间的距离为， ， ， ， ∴平行线与之间的距离为4． 25. 2025年3月19日下午，习近平总书记在云南丽江考察时，当地居民与游客热情邀请习近平总书记品尝云南咖啡，总书记亲切回应：“云南咖啡还是代表着中国的”．某咖啡专卖店销售甲、乙两种类型的云南咖啡，有关信息如下表： 进货价格（单位：元/盒） 销售价格（单位：元/盒） 甲 x 60 乙 y 75 若该专卖店购进30盒甲种咖啡和20盒乙种咖啡共花费2200元，购进15盒甲种咖啡和8盒乙种咖啡共花费1000元． （1）求的值； （2）该专卖店购进甲、乙两种咖啡共1000盒，其中甲种咖啡的数量不超过800盒，且不少于乙种咖啡数量的．设该专卖店销售这1000盒咖啡获得的总利润为w元，求w的最大值． 【答案】（1） （2）22000 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用及一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系和不等关系，列出方程组和不等式求解． （1）由题意得甲种咖啡的采购单价是元，乙种咖啡的采购单价是元，根据购进30盒甲种咖啡和20盒乙种咖啡共花费2200元，购进15盒甲种咖啡和8盒乙种咖啡共花费1000元，列出方程组求解即； （2）设购买甲种咖啡盒，购买乙种咖啡盒，根据“甲种咖啡的数量不超过800盒，且不少于乙种咖啡数量的”，列出不等式求解出a的取值范围，再根据，利用一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得 ； 【小问2详解】 解：设购买甲种咖啡盒，购买乙种咖啡盒， ， 解得 又∵ ∴，且a为正整数， ， 随a的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为， 答：w的最大值为22000． 26. 已知抛物线的图象经过点． （1）求a的值； （2）点在抛物线上且m为整数，若的值为整数，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为：或或或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键， （1）把代入表达式求出结论即可； （2）先得出表达式，把代入表达式，根据分析得出可取，进而求出结论． 【小问1详解】 解：把代入中得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴， ， ∵为整数， ∴为整数， 又∵的值为整数， ∴为整数， ∴可取， ①当时，此时， ∴， ②当时，此时， ∴， ③当时，此时， ∴， ④当时，此时， ∴， 综上所述，点P的坐标为：或或或． 27. 如图，四边形的外接圆是以为直径的，，点是劣弧上任意一点（不与点重合），连接．延长至点，使． （1）求的度数； （2）求证：直线与相切； （3）点P在运动过程中，的值是否发生变化，若不变，求出这个值；若发生变化，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切； （3）不变，． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆内接四边形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由圆内接四边形的性质即可求出的度数； （）先证明，由是的直径，则所以，然后由相似三角形性质可得，最后由切线的判定方法即可求证； （）过点作，交于点，则，通过圆周角定理得，即，通过两角相等的三角形相似证明，最后通过相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的值不改变，，理由如下： 过点作，交于点，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $