精品解析：上海市金山中学2024-2025学年高三下学期3月素养测试数学试卷

2024-2025学年上海市金山中学高三年级下学期学科素养数学试卷 2025.3 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 已知集合，，且，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 2. 若，则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】简单计算得到，然后判断即可得到结果. 【详解】由题意知：，所以由复数相等的定义知. 3. 函数的定义域是_________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据函数的解析式列出不等式组，进而解出答案即可. 【详解】由题意，. 故答案为：. 4. 若平面向量，满足，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】平方化简即得解. 【详解】由得 所以. 故答案为： 5. 已知，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】原式两边平方后，即可计算的值. 【详解】因为，两边平方后， ， 所以. 故答案为： 6. 某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）得相关性．在生产过程中收集4组对应数据如表所示，已知关于的经验回归方程为，则表中的值为__________，在样本点处的离差为__________． 3 4 5 6 2.5 3 4 【答案】 ①. 4.5 ②. 【解析】 【分析】根据回归直线过样本中心点得出，再根据定义计算离差即可. 【详解】，， 当时，，则离差为． 故答案为：；. 7. 直线截圆所得弦长为2，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知直线经过圆心，即，再根据结合基本不等式即可得出答案. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径为1， 因为直线截圆所得弦长为2， 所以直线经过圆心，即，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故答案为：6． 8. 如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出圆锥的展开图，由小虫爬行的最短距离，求出圆锥底面圆半径，推出圆锥的高，进而可求出结果. 【详解】画出该圆锥的展开图，如图所示， 则该小虫爬行的最短路程为，即， 又圆锥母线长为， 所以，因此， 则弧的长为， 设圆锥底面圆半径为，圆锥的高为， 则，解得， 所以， 因此该圆锥的体积为：. 故答案为：. 9. 在如图所示的等腰梯形中，，以点和点为焦点，过点和点的椭圆的长轴长是，以点和点为焦点，过点和点的双曲线的实轴长是，由椭圆和双曲线的定义角度研究，可知__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据椭圆及双曲线定义结合图形特征计算求解即可. 【详解】由椭圆的定义可得，双曲线的定义可得， 由等腰梯形可得，则， 作， 可得 ， 即有，则． 故答案为：1. 10. 某种疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，每人的诊断结果互不影响．若设事件：阳性，事件：患病，则__________，则诊断结果是阳性概率__________，若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为__________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】将每种事件的概率表示出来，利用条件概率公式与全概率公式求解即可. 【详解】设“阳性”，“阴性”，“患病”，“不患病”，“诊断结果正确”，“诊断结果不正确”， 由题知：某种疾病的患病率为，则， 通过验血诊断该病的误诊率为，则， 因为漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为， 所以， 任选1人进行验血，诊断结果为阳性的概率为 则， 若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为， 由前面的计算过程可知：， 所以． 故答案为：①；②；③. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分） 11. “”是“”成立的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】求解一元二次不等式，由充分必要条件的概念判断即可. 【详解】， 所以，若成立，不一定成立，即充分性不成立； 若成立，一定成立，即必要性成立， 所以“”是“”成立的必要非充分条件， 故选：B． 12. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项. 【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 13. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，且成首项为0.114的等差数列，若直线的斜率为0.414，则该数列公差等于（  ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将题目转化为等差数列，按照等差数列性质计算即可. 【详解】不妨设则 由题意知即 设数列公差为， ， 解得. 故选：B. 【点睛】将题目数学信息提取，转化为等差数列是本题的难点和突破点. 14. 已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题可得、、三点共线，进而可得的最小值为到边上的高，根据几何关系求出，将化成，通过几何关系求出的最小值即可. 【详解】设，故，若， 由，则，，共线，故， 由图得，当时有最小值，又， ∴，即，即为等边三角形． 由余弦定理，， 设M为BC中点，， ∴当取最小值时，有最小值， ∵为边上任意一点， ∴当时，有最小值， 设，过点作于点，则， 又，为的中位线， ∴，即， ∴． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：、构造等边三角形且，，共线，设M为BC中点，由，（先求出），数形结合判断最小与相关线段位置关系. 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 15. 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2） 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）证明：为等腰三角形． （2）若D是边BC的中点，，求的面积． 【答案】（1）证明：因为由正弦定理得 因为，由余弦定理得， 代入化简可得 所以为等腰三角形。 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理的推论进行计算可得，证明等腰三角形； （2）利用余弦定理推论求得，再计算三角形的面积； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知因为D是边BC的中点，， 在和中，利用余弦定理的推论得 代入，可得 由得 则的面积 17. 某蛋糕厂商在两个社区分别开了连锁店和，通过一段时间的经营统计，店和店每日销售的蛋糕数的分布列如表： 3 4 5 6 2 4 6 （1）求店在3天共卖出15个蛋糕的概率； （2）为了防止食品浪费，保障国家粮食安全，《中华人民共和国反食品浪费法》自2021年4月29日起施行，蛋糕保质期短，当日没销售出去只能作垃圾处理．该蛋糕厂商积极响应国家要求，决定今后每日仅生产10个蛋糕给两家连锁店， ①若分配给店4个蛋糕，店6个蛋糕，求该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望； ②那么在市场需求不变的情况下如何分配这10个蛋糕最优？请说明理由 【答案】（1）； （2）①； ② 由题意可知， 因为店、店均是最多卖个蛋糕，则有三种情况： （i）店4个，店6个；（ii）店5个，店5个；（iii）店6个，店4个． （i）若分配给占4个，占6个，由①可知该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望； （ii）若分配店5个，店5个， 则店和店每日销售的蛋糕数的分布列如下： 3 4 5 所以； （iii）若分配给店6个，店4个， 则店和店每日销售的蛋糕数的分布列如下： 3 4 5 6 所以． 因为， 所以在市场需求不变的情况下，分配给A店4个，B店6个或A店5个，B店5个最优 【解析】 【分析】（1）分三种情况：三天分别卖5，5，5个；4，5，6个；3，6，6个，然后由相互独立事件的概率乘法公式以及分类计数原理求解即可， （2）①求出店和店每日销售的蛋糕数的分布列，从而求出数学期望；②分（i）店4个，店6个；（ii）店5个，店5个；（iii）店6个，店4个三种情况讨论，分别求出相应的数学期望，即可判断． 【小问1详解】 店在3天共卖出15个蛋糕，共有三种情况： 三天分别卖个，个，个， 所以所求概率； 【小问2详解】 ①若分配给店4个，店6个， 则店和店每日销售的蛋糕数的分布列如下： 3 4 2 4 6 所以， 即该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望； ②略 18. 已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为. （1）求的方程； （2）过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向， （ⅰ）若，求直线的斜率， （ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形. 【答案】（1） （2）（i）， （ii）由得，∴在点处的切线方程为，即 ，令，得，即，∴， 而， 于是， 因此是锐角，从而是钝角， 故直线绕点旋转时，总是钝角三角形. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可求得的焦点坐标为，再利用公共弦长为即可求解； （2）（i）设直线的斜率为，则的方程为，由得，根据条件可知，从而可以建立关于的方程，即可求解；（ii）根据条件可说明，因此是锐角，从而是钝角，即可得证 【小问1详解】 由：知其焦点的坐标为， ∵也是椭圆的一焦点， ∴ ①， 又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为， 由此易知与的公共点的坐标为， ∴②， 联立①，②，得，， 故的方程为； 【小问2详解】 如图，，，，， （i）∵与同向，且，∴， 从而，即， 于是③， 设直线的斜率为，则的方程为， 由，得， 而，是这个方程的两根，∴，④， 由得， 而，是这个方程的两根，∴，⑤， 将④⑤代入③，得，即， ∴，解得，即直线的斜率为. （ii）略 【点睛】 19. 若的定义域为，数列满足，则称为的“倍点列”. （1）若为的“2倍点列”，求的前项和； （2）若为的“1倍点列”且，求证：为定值； （3）若，判断是否存在，使得为的“倍点列”，并证明你的结论. 【答案】（1） （2） 证明：因为， 所以. 设，则，当且仅当即时等号成立， 所以单调递增，且， 所以, 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为为的“1倍点列”，则， 不妨设， ， 所以的图象关于直线对称，当时，有2个不同实根， 所以. （3）不存在， 因为，且为的“倍点列”， 可得，即且， 设，则， 在上单调递增，且， 所以时，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以且时， 所以不存在，使得， 即不存在，使得为的“倍点列”. 【解析】 【分析】（1）理解题目中的“2倍点列”的概念，由可求出， 利用等差数列的前 项和公式即可求解； （2）先用半角公式化简函数 ，通过对函数求导得出其单调性，再由题中的“1倍点列”的定义，可求得的图象关于直线对称，可得，从而得证； （3）理解题目中的“倍点列”的定义，可得且，设，通过对函数求导得出其单调性，从而可得出不存在，使得为的“倍点列”. 【小问1详解】 解：因为为的“2倍点列”， 所以，即， 所以 所以， 当时，， 显然满足， 故综上， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：充分理解题目中的“倍点列”的定义是解题关键，本题考查函数与数列的新定义，利用导数研究函数的单调性，数列与函数的综合应用，考查函数与方程思想以及逻辑思维能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市金山中学高三年级下学期学科素养数学试卷 2025.3 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 已知集合，，且，则实数的值为__________. 2. 若，则_______. 3. 函数的定义域是_________. 4. 若平面向量，满足，，，则________. 5. 已知，则_________ 6. 某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）得相关性．在生产过程中收集4组对应数据如表所示，已知关于的经验回归方程为，则表中的值为__________，在样本点处的离差为__________． 3 4 5 6 2.5 3 4 7. 直线截圆所得弦长为2，则的最小值为______． 8. 如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为__________. 9. 在如图所示的等腰梯形中，，以点和点为焦点，过点和点的椭圆的长轴长是，以点和点为焦点，过点和点的双曲线的实轴长是，由椭圆和双曲线的定义角度研究，可知__________． 10. 某种疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，每人的诊断结果互不影响．若设事件：阳性，事件：患病，则__________，则诊断结果是阳性概率__________，若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为__________． 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分） 11. “”是“”成立的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 12. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ） A. B. C. D. 13. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，且成首项为0.114的等差数列，若直线的斜率为0.414，则该数列公差等于（  ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 14. 已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 15. 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）证明：为等腰三角形． （2）若D是边BC的中点，，求的面积． 17. 某蛋糕厂商在两个社区分别开了连锁店和，通过一段时间的经营统计，店和店每日销售的蛋糕数的分布列如表： 3 4 5 6 2 4 6 （1）求店在3天共卖出15个蛋糕的概率； （2）为了防止食品浪费，保障国家粮食安全，《中华人民共和国反食品浪费法》自2021年4月29日起施行，蛋糕保质期短，当日没销售出去只能作垃圾处理．该蛋糕厂商积极响应国家要求，决定今后每日仅生产10个蛋糕给两家连锁店， ①若分配给店4个蛋糕，店6个蛋糕，求该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望； ②那么在市场需求不变的情况下如何分配这10个蛋糕最优？请说明理由 18. 已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为. （1）求的方程； （2）过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向， （ⅰ）若，求直线的斜率， （ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形. 19. 若的定义域为，数列满足，则称为的“倍点列”. （1）若为的“2倍点列”，求的前项和； （2）若为的“1倍点列”且，求证：为定值； （3）若，判断是否存在，使得为的“倍点列”，并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $