精品解析：江苏省无锡市锡北片区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试

锡北片2025春学期期中考试 初一数学学科 注意事项： 1．考试时间为100分钟，试卷满分120分． 2．所有答案必须填涂到答卷纸上相应位置，答案写在试卷其他部分无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是由绕着点O顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那小明沿着小路的正中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（ ） A. 90米 B. 98米 C. 80米 D. 88米 6. 若，则a，b，c的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 6 8. 如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个公式（ ）． A. B. C. D. 9. 已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A. B. C. D. 10. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（ ） A. 512 B. 1024 C. 2048 D. 4096 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示该数据为_______． 12. 若，，的值为________． 13. 已知，，则的值为______． 14. 已知，计算的值为_______． 15. 如图，中，，，沿直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，的周长为，则长为______． 16. 如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片_______张． 17. 如图，在矩形中，，，点分别在上，将矩形沿折叠，使点分别落在矩形外部的点处，则整个阴影部分图形的周长为_______． 18. 若，则x的值为_______． 三、解答题（本大题共8题，共66分．解答需要写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 计算： （1） （2）； （3） （4） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 已知，求的值。 22. （）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． ①计算的面积 ； ②在图（）中作出关于直线对称的； ③若点为直线上的一点，请在图（）中标出使的值最小时点的位置． （）如图（），在的正方形网格中，点在格点（网格线的交点）上． ①请在网格中找出一个格点，使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点有 个． 23. 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像，其余部分铺设草坪（阴影部分）． （1）求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果请化简） （2）若a，b使代数式的值与x的取值无关，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 24. 如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点分别是点． （1）若，求的度数； （2）若，求平移的距离； （3）在（2）的条件下，若三角形的周长为25，求四边形的周长． 25. 若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． （1）判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． （2）设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． （3）已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 26. 把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为；所以；所以；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则 ； 【类题探究】 （2）若m满足．求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锡北片2025春学期期中考试 初一数学学科 注意事项： 1．考试时间为100分钟，试卷满分120分． 2．所有答案必须填涂到答卷纸上相应位置，答案写在试卷其他部分无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础题型，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是正确判断的关键． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，完全平方公式，根据相关运算法则求运算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，计算正确，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式的结构特征逐项判断即可得出答案，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，不能利用平方差公式，故不符合题意； B、，能利用平方差公式，故符合题意； C、，能利用平方差公式，故符合题意； D、，能利用平方差公式，故符合题意； 故选：A． 4. 如图，是由绕着点O顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置．也就是旋转前后图形全等．根据旋转的性质对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：由旋转的性质可知，， A项正确，不符合题意； 由旋转的性质可知，，，， ， ， B项正确，不符合题意； C项正确，不符合题意； D项不一定成立，符合题意； 故选：D． 5. 如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那小明沿着小路的正中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（ ） A. 90米 B. 98米 C. 80米 D. 88米 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可． 【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于， 图是矩形风景欣赏区，长米，宽米， 则小明从出口A到出口所走的路线长为（米），故D正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键． 6. 若，则a，b，c的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方．分别计算、、的值：比较大小可得，即可求解． 【详解】解：，，． ，即． 故选：D． 7. 若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，令的一次项的系数为0，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：， 展开式中不含项， ， ， 故选：D． 8. 如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个公式（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断． 【详解】解：由图1得，阴影部分面积为：， 由图2得，阴影部分面积为：， ∴， 故选：C． 9. 已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 根据可得，再根据同底数幂的乘法可得出结论． 【详解】解：，，， ， 即：， ， ， ， ， 故选：A． 10. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（ ） A. 512 B. 1024 C. 2048 D. 4096 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题，解题关键是从式子中找出其中的变化规律． 根据题意可以得出规律：展开式中所有项的系数为，则展开式中所有项的系数和是，以此求解． 【详解】解：由题可知， 展开式中所有项的系数为1； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； … 得出规律：展开式中所有项的系数为， ∴展开式中所有项的系数和为：， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示该数据为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．掌握科学记数法的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若，，的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的同底数幂的除法法则，解题关键是熟练掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减． 根据同底数幂除法法则的逆运用进行计算即可得解． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 13. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式进行变形求值即可，掌握完全平方公式并能够进行灵活变形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 已知，计算的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算和整体代入求值，把整体代入化简后的结果，求出结果即可，解题的关键是熟练掌握整体代入． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 15. 如图，中，，，沿直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，的周长为，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，由折叠得，，进而由的周长为，可得，即得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠得，，， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片_______张． 【答案】7 【解析】 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据长方形的面积＝长×宽，求出长为，宽为的大长方形的面积是多少，然后的系数即为C类卡片的张数． 【详解】解：∵， ∴系数为7， 故需要C类卡片7张， 故答案为：7． 17. 如图，在矩形中，，，点分别在上，将矩形沿折叠，使点分别落在矩形外部的点处，则整个阴影部分图形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键；由矩形的性质得，，由折叠的性质得，，，进而可得整个阴影部分图形的周长，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠得，，，， ∴整个阴影部分图形的周长 ， 故答案为：． 18. 若，则x的值为_______． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数次幂，乘方的性质， 根据或或（n为偶数），解答即可． 【详解】解：当，且时， 解得； 当时，； 当时，，不符合题意． 所以x的值是或4． 故答案为：或4． 三、解答题（本大题共8题，共66分．解答需要写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 计算： （1） （2）； （3） （4） 【答案】（1）1； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方，负整数指数幂、零指数幂运算即可； （2）根据同底数幂的乘除法，积的乘方运算即可； （3）根据单项式乘多项式和多项式乘多项式的运算法则运算即可； （4）利用积的乘方的逆用进行运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，15 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，先根据乘法公式和单项式与多项式的乘法法则计算，再去括号合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】原式 ， 当时， 原式． 21. 已知，求的值。 【答案】-4. 【解析】 【分析】先根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则把变形为，就可得出m的值，再把代数式根据相关法则计算，就可得出答案． 【详解】解：由题意，得=， 所以 所以， 所以原式． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法和幂的乘方法则，能利用相关法则进行计算. 22. （）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． ①计算的面积 ； ②在图（）中作出关于直线对称的； ③若点为直线上的一点，请在图（）中标出使的值最小时点的位置． （）如图（），在的正方形网格中，点在格点（网格线的交点）上． ①请在网格中找出一个格点，使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点有 个． 【答案】（）①； ②如图所示，即为所求； ③如图所示，点即为所求； （）①如图所示，即为所求； ② 【解析】 【分析】（）①利用割补法计算即可；②根据轴对称图形的性质作图即可；③连接，与直线相交于点，点即为所求； （）①根据轴对称图形的性质画图即可；②根据①所画图形即可求解； 本题考查了利用网格求三角形的面积，作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】解：（）①的面积， 故答案为：； ②略 ③略 （）①略 ②由图可知，符合条件的格点有个， 故答案为：． 23. 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像，其余部分铺设草坪（阴影部分）． （1）求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果请化简） （2）若a，b使代数式的值与x的取值无关，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 【答案】（1）平方米 （2）4050元 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式以及代数式求值，掌握多项式乘多项式的计算方法，完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图形中面积之间的关系进行计算即可； （2）求出a、b的值，代入求出草坪的面积，再根据单价数量总价进行计算即可． 【小问1详解】 解： 平方米； 【小问2详解】 解： ∵代数式的值与x的取值无关 ∴，， ∴ 元． 24. 如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点分别是点． （1）若，求的度数； （2）若，求平移的距离； （3）在（2）的条件下，若三角形的周长为25，求四边形的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的不变性是解题的关键． （1）根据平移的性质结合平行线的性质即可求解； （2）由平移的性质结合得到； （3）由平移的性质可得，四边形的周长，即可化为，即可求解． 【小问1详解】 解：由平移的性质可得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由平移的性质可得， 又∵， ∴， ∴平移的距离为5； 【小问3详解】 解：由平移的性质可得， ∴四边形的周长． 25. 若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． （1）判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． （2）设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． （3）已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 【答案】（1）27是“优美数”， 14与13，6与3都是27的平方差分解 （2） 能，理由： ， ∵能被8整除， ∴由它们构成的“优美数”能被8整除； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用．解题的关键是理解新定义的意思． （1）根据“优美数”的定义进行计算即可； （2）根据“优美数”的定义进行解答即可； （3）通过将原式变形得，根据“优美数”的定义，列出k的方程求得k即可． 【小问1详解】 解：27是“完美数”， ∵， ， ∴27是“完美数”，14与13，6与3都是27的平方差分解； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ； ∴当时，为“优美数”，此时， 故当时，N为“优美数”． 26. 把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为；所以；所以；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则 ； 【类题探究】 （2）若m满足．求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 【答案】（1）3；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）由完全平方公式即可计算； （2）由完全平方公式即可计算； （3）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出，，即可求解 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设，则，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， 解得：， ∴阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $